復合制導導引頭開機截獲概率估算①

張大元，雷虎民，李海寧，邵 雷，李 炯

(空軍工程大學防空反導學院，西安 710051)

0 引言

復合制導體制是中遠程防空導彈最為常用的制導體制，可提高武器系統跟蹤和射擊的目標數，從而改善導彈性能［1－2］。復合制導的關鍵技術之一是中末交接班技術，在中末交接段最為重要的是導引頭截獲。因此，導引頭截獲目標概率是復合制導導彈設計的重要指標，一般采用蒙特卡羅方法進行仿真研究和計算［3－5］，但這種方法需要進行多次彈道仿真計算;文獻［5］研究了中遠程空空導彈在一次彈道計算中完成目標截獲概率計算的方法，其主要思想就是將各種誤差轉換到對目標指示的誤差上，從而利用各誤差服從的概率分布，實現目標截獲概率計算。借鑒文獻［5］的研究思路，首先研究了主要誤差源影響目標截獲概率的作用機理，并對其進行了分類，利用等效轉化的思想，將所有的誤差統一到導彈位置散布和偏差上來。在此基礎上，提出一種計算導引頭開機截獲概率的新方法，推導了計算導引頭開機截獲概率的計算公式。

1 誤差分析和轉化

在復合制導中制導段，導彈一般向著預測命中點飛行，當彈目距離小于導引頭開機距離時，導引頭開機進行距離捕獲，若此時目標位于導引頭視野范圍內，且導引頭接收的反射信號足夠強，導引頭完成角度捕獲，然后經過頻率搜索，實現速度捕獲后，就實現了目標捕獲。其中，距離和速度捕獲較為容易，角度捕獲是最難完成的，因為各種噪聲和誤差會引起導彈位置偏離和目標指示誤差。在本文研究中，認為只要角度實現捕獲，其他兩項就能完成捕獲。下面分析影響導引頭開機截獲概率的主要誤差源和作用機理。

1.1 影響目標截獲概率的誤差源

影響截獲概率的主要誤差源有［5］:

(1)發射前主慣導對彈上慣導裝訂誤差;

(2)加速度計測量誤差;

(3)陀螺儀測量誤差;

(4)雷達測量誤差(測角、測距誤差);

(5)目標機動引起的誤差。

其中，前3項誤差會引起導彈位置散布角σm(以地面制導站為基準)，雷達測量誤差會引起導引頭指向散布角σs，目標機動則引起導引頭指向偏差角γs，根據上述誤差的作用機理，可將誤差引起的效果做如下分類:

其中，各散布角服從均值為零的正態分布，各誤差的定義和作用效果的幾何示意如圖1和圖2所示。

圖1 彈位置散布角和導引頭指向散布角Fig.1 Spread angle of missile position and homer oriented direction

此外，導引頭視場角E使得導彈存在一個允許散布范圍，如圖3所示，是以C點為圓心，以E為錐角的圓錐截面SL。

1.2 誤差轉換原理

圖3給出了實現角度捕獲的條件及誤差轉化原理，建模將多次用到該原理。

圖2 目標機動引起的偏差Fig.2 Deviation caused by target maneuver

圖3 角度捕獲的幾何關系及等效轉化Fig.3 Geometric relationship of angle acquisition and the equivalent method

由圖3右下角小圖可知，在導引頭開機時刻，只有當目標落入以導引頭C為頂點、以E為錐角(半波束寬度)的天線波束內時，才能完成角度捕獲;當基準點選為目標B時，等價于導彈(導引頭)位于以目標B為頂點、錐角為E的范圍內，才能實現角度捕獲。導彈位置一般是以地面制導站為測量基準的。因此，希望將導彈能夠截獲目標的空間分布區域SL用以地面制導站O為頂點、以E′為錐角的錐體截面表示。

由圖3可知，以O點為頂點、E′為錐角的錐體與以B為頂點、E為錐角的錐體相交形成橢圓面SC。O點對面積SC的夾角相當于導彈位置的散布角E′，

過兩錐體其中一個交點d作各自錐體的圓截面SM和SL，則SL與SM的夾角為導彈前置角θML，設橢圓平面SC與SL和SM的夾角分別為 θL、θM，則

式(1)之所以使用約等號是因為橢圓面對兩個圓面的投影并不是正投影，而是存在一定角度偏差。由式(1)得

其中:

因此

由于E和E′均屬于小量，因此

這樣，就將導引頭視線角引起的導彈允許位置散布，等效轉化為以地面制導站為基準的導彈位置散布角。

1.3 誤差轉換計算

下面將各誤差統一轉換成導彈位置散布角或偏差角，從而建立導引頭開機截獲概率計算模型。

根據1.1節對5個誤差源作用機理的分析可知，前3項誤差的作用引起導彈位置散布角，所以無需轉化，這是本文與參考文獻［5］區別的一個重要方面，這樣減少了誤差轉換次數，降低了誤差轉換帶來的新誤差。

(1)雷達測量誤差引起導引頭指向散布角σs轉換為導彈等效位置散布角σs'

利用1.2節給出的等效轉換原理，可將σs轉換為導彈等效位置散布角σs':

(2)目標機動引起的導引頭指向偏差

在導彈對目標的某次攔截過程中，目標機動是確定的，引起的偏差值也是確定的，所以目標機動引起導彈位置散布的系統偏差值，即等效位置偏差角 ，轉化過程如圖4所示。

圖4 等效偏差角求解Fig.4 Solver of Equivalent deflection angle

圖4中，BC和B′C′是平行的，原因如下:BC方向是導彈飛行到預定交接點時預定的導引頭指向，但目標實際位置處在B′點。因此，為使導引頭按照預定指向截獲目標，導彈應位于過 B′點的BC方向相距RL處，即 C′點，也即 BC∥B′C′。根據 1.2 節給出的等效轉換原理:

2 導引頭開機截獲概率計算模型

2.1 導引頭開機截獲概率模型推導

經過上述等效變換，影響目標截獲概率的主要因素就轉換為導彈位置散布角和偏差角。

交接時，導彈預定位置為C點;發射前，主慣導對彈上慣導裝訂誤差、加速度計測量誤差、陀螺儀測量誤差以及雷達測量誤差引起的導引頭指向散布角一起引起導彈相對預定位置的散布角，其大小為

假定導彈位于Sb時能夠捕獲目標，則Sb由導引頭視野角確定，其等效的導彈允許散布角為E′;目標機動引起的導引頭指向偏差γs引起的導彈等效位置偏差為γ′s，該偏差值決定能夠捕獲目標的導彈位置中心 C′。

Sa和Sb如圖5所示。

圖5 導引頭開機截獲概率計算Fig.5 Solver of the probability of target acquisition

根據目標角度截獲定義，當導彈能夠截獲目標時應位于Sb中，而實際上導彈位置應位于Sa中，Sa與Sb公共面積內進行概率積分，就得到導引頭開機截獲概率(TAP)估算值，即導引頭開機截獲概率的計算模型。

上述過程中，對導彈散布區域進行了近似處理。由圖3可知，由于導彈前置角θML的存在(若θML=0，則A點和B點重合，2個錐體中心線在一條直線上，交面為圓形)，使得橢圓面SC長短軸之比為:

在導彈前置角θML＜30°時，該橢圓和以橢圓短軸為半徑的圓形面積之比為因此，可將橢圓近似等價為圓形。式(8)中的圓面積Sa和Sb就是兩個錐體相交橢圓面積的近似假設。

2．2 計算模型的簡化

由以上分析可知，要求出導引頭開機截獲概率，需要求解Sa與Sb相交面積上的概率密度積分值，這是較困難的。因此，本節使用一種近似的方法進行簡化。

因Sa和Sb平面夾角較小，可近似認為兩平面共面，如圖6所示，用等面積的正方形近似代替2個圓面，2個正方形相應邊平行，且一邊平行于兩圓心連線，另一邊垂直于圓心連線，這樣可將導彈位置分布轉換為兩個獨立的一維分布。設Sa圓面半徑為ra，Sb圓面半徑為rE，則

圖6 導引頭開機截獲概率的簡化計算Fig．6 Simple solver of the probability of target acquisition

圖6中:

以Sb圓心為原點，則導彈飛行軌跡分布服從均值為d，均方差為ra的正態分布，用Φ表示標準正態分布的分布函數，則

則導彈落入Sb等價正方形的概率(導引頭開機截獲概率)，可表示為

其物理意義如下:

圖6中使用等面積正方形替代圓形區域時，導彈位置在垂直于2個圓心連線的方向(不一定是Y方向，如圖6中的下圖)散布服從均值為零、均方差為ra的正態分布，在該方向導彈位置分量位于(－lE/2，lE/2)(導引頭等效視場內)概率為

導彈在平行于兩個圓心連線的方向(不一定是X方向)散布服從均值為d、均方差為ra的正態分布，X坐標位于(－lE，lE)的概率為

導彈位置兩個分量處于捕獲區域的事件相互獨立，則概率等于兩者乘積，即式(14)。

3 簡化計算模型的應用

由上面的分析可知，為計算導引頭開機截獲概率，需對主要的5種誤差源進行估計。

3．1誤差估計

(1)慣導系統初始對準引起的導彈位置散布角

慣導初始基準角是指發射時刻慣導的初始角度基準，分為方位和俯仰角。防空導彈武器系統一般具有較高的機動性，發射具有快速性。因此，方位初始基準常使用發射車上自帶的尋北儀測量，存在尋北儀測量誤差、安裝誤差和發射車到導彈的傳遞誤差，精度較低。文獻［7］指出，該值可按30′(3σ)估算，假定導彈基本按直線飛行，方位初始基準誤差引起的導彈方位方向誤差均方差為

俯仰初始基準角在發射前用加速度計進行校準，精度較高，可按3′(3σ)算，引起的俯仰方向誤差均方差為

為簡化計算，取二者較大值［8］，即方位偏差為初始裝訂誤差引起的導彈位置誤差均方差，即

(2)慣性器件誤差引起的導彈位置散布角

［5］，慣性測量器件誤差服從零均值正態分布，且互不相關，設加速度計零位偏差為σa0，刻度因子誤差為σak，整個飛行過程中，導彈的平均過載為a－

y、a－

z，導彈交接時，飛行時間為tf，則加速度計引起的導彈位置測量誤差均方差為

為簡化計算，取二者較大值作為加速度計測量誤差引起的導彈位置散布角均方差為

設陀螺隨機漂移誤差為σsp，刻度因子誤差為σsk，導彈的角速度為ω，根據參考文獻［7］給出則陀螺測量誤差引起的導彈位置散布角均方差值為

這樣，由初始裝訂誤差和慣性元件測量誤差造成的導彈位置測量誤差均方差σm為

(3)雷達測量誤差引起的導引頭指向散布角

設雷達測距誤差為 σΔR(1σ)，測角誤差為σr(1σ)，則目標測量偏差rmax按式(22)計算:

上式符號含義和計算原理如圖7所示。

圖7 雷達測量誤差引起的導引頭指向誤差Fig.7 Homer oriented direction error caused by radar error

假設導彈在開機時，導引頭指向與最大偏差|TT′|或|TT′2|方向平均夾角為45°，則目標測量誤差導引頭指向的角偏差的均方差值約為

(4)目標機動引起的導引頭指向偏差

在計算導引頭開機截獲概率時，目標機動引起的導引頭指向偏差角可按式(24)近似計算:

其中，Δt表示中制導目標數據更新周期(數據鏈數據更新周期)，aH表示垂直于雷達目標連線平面內的目標總加速度值。該式可直接由幾何關系推得。

(5)導引頭作用距離RL、視場角E

導引頭作用距離與目標截面積、工作波長等因素有關［9］。導引頭視場角(即天線半功率波瓣寬度2θ0.5)取決于許多因素，減小視場角可增大作用距離、提高角靈敏度和角分辨率，增強抗干擾能力，但對導引頭尺寸和捕獲大機動目標不利，雷達導引頭最佳視場角范圍約為［9］

(6)導引頭開機時刻導彈飛行距離RM、導彈前置角θML

這2個量在導引頭開機時刻動態確定。

3.2 計算模型的使用

前面推導了簡化計算模型和主要誤差源的計算方法，這樣就可在彈道計算過程中進行截獲概率的計算了。計算步驟如下:

步驟1:設定導引頭參數RL、E，計算預測遭遇點A;

步驟2:在導彈飛行仿真過程中，按照式(15)～式(24)估算或積分計算慣測器件的誤差值;

步驟3:當導彈和目標距離小于導引頭開機距離時，計算導彈前置角θML，記錄導引頭開機時導彈飛行距離RM、目標斜距RT，計算σs;按照式(5)～式(7)計算誤差的轉換值，按照式(8)～式(14)計算導引頭開機截獲概率。

這樣，在一次彈道計算過程中，就完成了導引頭開機截獲概率的計算。

4 仿真算例及結果分析

算例一:導引頭開機交接概率計算

仿真條件:目標在20 km高空作機動過載為12 g的圓弧形機動，彈道傾角為0°，初始斜距60 km，初始方位角45°，速度400 m/s。導彈指向預測命中點發射，導引頭作用(開機)距離12 km，半波束寬度假定為3.5°，地空通信數據鏈更新周期假定為1s。參照文獻［10］假定制導雷達測量誤差，參照文獻［11］設定慣性測量器件的誤差系數，如表1所示。

使用本文提出的計算方法，經計算得:

導彈在 29.6 s開機，開機時導彈 RM≈37.627 km，目標距離 RT≈49.369 km，導彈前置角 θML=10°，lE≈3 109.9 m，ra≈647.45 m，0.5lE/ra≈2.401 6，(0.5lE－d)/ra≈2.179 8，γs=0.286 5°，γ's=0.218 7°，d=143.62 m，則導引頭開機截獲概率為

同時，建立該導彈較為精確的仿真模型，進行400次仿真計算，結果如圖8所示。

表1 各誤差源假定參數Table 1 Parameter of error source

圖8 雷達測量誤差引起的導引頭指向誤差Fig.8 Homer oriented direction error caused by radar error

經蒙特卡洛仿真計算的導彈中末制導開機交接概率為95.5%。可見，本文計算模型的精度基本能達到估算的目的。

算例二:采用本文提出的方法研究數據鏈周期對導引頭開機截獲概率的影響。其中，目標做水平面內過載為2的蛇形機動，其余條件同算例一。

由表2可知，提高地空數據鏈數據更新速率，能提高導引頭開機截獲概率。這是因為數據更新速率的提高，可減小由于目標機動帶來的偏差，從而提高開機截獲概率，這個結論也可從式(24)得出。

表2 數據鏈周期對導引頭開機截獲概率的影響Table 2 Influence of data-link period on TAP

5 結論

(1)分析了影響導引頭開機截獲概率的主要誤差源作用機理，將作用效果歸結為導彈飛行散布區和導彈截獲目標散布區，從而利用其服從的概率分布和兩個區域的交集，計算導引頭開機截獲概率。與文獻［5］相比，選擇導彈散布而不是目標指示散布為基準，誤差轉換更加合理，可減小誤差轉換次數帶來的轉換誤差。如初始對準誤差和慣性測量誤差，它們實際引起的是導彈的位置散布，在本文的計算模型中，無需進行轉化就可使用。

(2)對一些需要積分導彈飛行過程參數才能獲得的誤差采用工程經驗估算，計算精度能滿足工程計算需求，同時減小了計算量。

(3)通過一次彈道計算，就可確定多次蒙特卡洛仿真才能得到的結果，計算簡便，其精度能滿足工程需求。

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