雙旋制導火箭彈運動特性分析①

李 偉，王志剛

(1.西北工業大學 航天學院，西安 710072;2.航天飛行動力學技術重點實驗室，西安 710072)

0 引言

通過滾轉軸承連接的雙旋彈體是火箭彈加裝制導設備的一種新型彈體結構，這種新型彈體結構可采用鴨舵對前段實施滾轉控制，以保證捷聯慣導的精度和解決GPS接收機在高速滾轉情況下不利于接收衛星信號的難題［1－2］。有關雙旋制導火箭彈的穩定性研究，目前國內外所發表的文獻較少。與火箭彈穩定性研究相關的文獻，大多是針對常規剛性彈體的自旋火箭彈［3－7］。也有針對雙自旋航天器動力學問題展開研究的文獻［8－10］，但大多數研究不考慮其氣動特性。對于在大氣層內飛行的雙旋制導火箭彈，氣動力和力矩起到主要作用，決定了火箭彈的飛行品質。因此，有必要開展雙旋火箭彈的穩定性問題研究。

Mark和Allen［11］提出了雙旋無控火箭彈的線性化理論，在此基礎上分析了動態穩定因子和陀螺穩定因子對其穩定性的影響，文中給出的動態穩定因子沒有考慮前后段的極轉動慣量比，也就忽略了雙旋彈體結構對火箭彈穩定性的影響因素，這對于穩定性的分析來說是不全面的。Dr Philippe Wernert［12］在文獻［11］的基礎上，進一步研究了加舵的雙旋火箭彈的穩定性問題。但文中給出的陀螺穩定因子并未考慮赤道阻尼力矩對其影響，且沒有針對各個氣動系數對穩定性的影響展開進一步分析。

本文將從復數形式的角運動方程出發，采用微分方程特征根求取雙旋制導火箭彈的動穩定因子和陀螺穩定因子。給出雙旋制導火箭彈穩定性判據的數學解析解，并與常規剛體火箭彈穩定因子進行比較，分析二者的不同特性。

1 雙旋制導火箭彈動力學模型

鑒于雙旋制導火箭彈的特殊彈體結構，其運動模型包含3個平移運動和4個旋轉運動。3個平移運動分別是整彈質心位置矢量的3個分量;4個旋轉運動分別是俯仰運動、偏航運動、前段和后段的滾轉運動。所用到的坐標系定義參看文獻［13－14］。

1.1 質心運動動力學方程

由于火箭彈伸出鴨舵時處于火箭彈被動段，因此在動力學方程中僅考慮重力、空氣動力。則質心運動動力學方程為

式中 u、v、w為火箭彈速度V在準彈體坐標系中的分量;－rtanψ、q、r為準彈體坐標系相對地面慣性坐標系的角速度在準彈體系中的分量;ψ為偏航角;m為整彈質量;Fx4、Fy4、Fz4為作用力F在準彈體坐標系中的分量。

1.2 繞質心轉動動力學方程

由文獻［15］可知，前段和后段的俯仰、偏航運動同整彈是一致的，僅在滾轉方向不同。因此，雙旋制導火箭彈繞質心轉動的動力學方程為

式中 C為火箭彈繞縱軸x的極轉動慣量;A為繞體軸y和z的赤道轉動慣量;Mx4、My4、Mz4為火箭彈受到的外力矩M在準彈體坐標系中投影;下標f代表前段，下標a代表后段;A=Af+Aa;C=Cf+Ca。

2 力和力矩的復數形式

火箭彈角運動模型是用來描述火箭彈彈軸的擺動運動特性，故力和力矩的復數形式是由其在準彈體坐標系中oy4軸和oz4軸中的分量構成，其中重力、氣動力和氣動力矩的分量表達式可參見文獻［13］，則火箭彈受到的力和力矩的復數形式如下:

重力復數式為

式中 g為重力加速度;?為俯仰角。

阻力復數式為

式中 ρ為大氣密度;S為火箭彈特征面積(即火箭彈最大橫截面積);Cx為火箭彈阻力系數，Cx＞0;Vr為火箭彈相對于空氣的速度;V為火箭彈速度矢量V的模;α*、β*分別為準攻角和準側滑角;W=［Wx4Wy4Wz4］T為當時當地(火箭彈質心處)的風速矢量在準彈體坐標系下的投影。

升力復數式為

式中 C＇y為升力系數對相對攻角τr的導數，τr為相對速度Vr與彈軸之間的夾角;Vrx4、Vry4、Vrz4表示相對速度Vr在準彈體坐標系下的投影。

馬格努斯力復數式為

式中 d為火箭彈橫向參考長度(即彈徑長度)、C″z為火箭彈馬格努斯力系數分別對無量綱自旋速度p－和相對攻角τr的二階導數?？刂屏蛿敌问綖?/p>

式中 Sc是鴨舵的表面積;δy=(δ1+δ3)/2是1號舵和3號舵平均舵偏;δz=(δ2+δ4)/2是2號舵和4號舵平均舵偏是每片舵法向力系數對速度與舵之間夾角的導數是修正準攻角，該角度是速度在準彈體坐標系中ox4y4平面內的投影與彈軸之間的夾角。

靜力矩復數式為

式中 l為火箭彈縱向參考長度(即彈長);m＇z為火箭彈靜力矩系數對相對攻角的導數。

赤道阻尼力矩復數式為

式中 m＇zd為火箭彈赤道阻尼力矩系數對無量綱的擺動角速度 的導數，m＇zd＞0。

馬格努斯力矩復數式為

控制力矩復數形式為

式中 xc=xg－xcanard，是鴨舵轉軸在彈軸上的位置到整彈質心的距離，其中xg是質心到彈頂的距離，xcanard是鴨舵轉軸在彈軸上的位置到彈頂的距離。

由式(3)～式(13)可得，雙旋制導火箭彈力和力矩的復數形式為

3 雙旋火箭彈角運動模型

研究擾動運動，特別是火箭彈飛行穩定性問題，最關心的是攻角變化律。圖1描述了攻角的幾何關系。速度矢量V在準彈體系中的三分量與總攻角τ的二分量α*和β*有關。

圖1 總攻角的幾何描述Fig.1 Geometric description of general attack angle

在小攻角情況下，可近似認為

對式(16)求導，并略去 α*、β*、q、r、ψ 小量的乘積項，可得

對方程組(2)中最后兩式變形，并略去小量乘積項，可得

簡化后的方程組直接求解較困難，可將角運動方程組表示為復數形式。定義復數形式的攻角Δ=α*－iβ*、角速度 μ=q+ir、復數形式舵偏角 δc=δz+iδy、復數形式垂直風 W┴=Wy4+iWz4，結合式(17)、式(18)，整理得

將式(19)和式(20)自變量變為彈道弧長s。對任意變量X，有:

記X″、X＇分別為變量X對s的二階導數和一階導數。為方便分析攻角運動穩定性，不考慮氣動系數和舵偏角隨時間的變化，g┴、W┴近似認為恒定不變。則角運動方程為

4 運動穩定性分析

式(21)是攻角運動的線性形式，可近似描述雙旋制導火箭彈的攻角運動特性。根據齊次方程特征根實部的正負，可判斷攻角運動穩定性。令方程特征根為

其通解為二圓模式［13］。故攻角運動在復平面上呈現快、慢圓運動的疊加，其幅值的變化趨勢依賴于阻尼指數dj的正負。復攻角運動收斂要求快、慢圓運動阻尼指數均小于零。

4．1 穩定性判據

為了研究雙旋制導火箭彈快、慢圓運動的收斂性，需得到H、P、M、T與頻率和阻尼指數間的關系，它們使空氣動力系數與火箭彈運動參數直接聯系起來，令:

當B＞0時，可得齊次方程的根為

當B＜0時，可得齊次方程的根

當B=0時，可得齊次方程的根

從式(23)～式(26)看出，無論B是正是負，快圓的圓頻率和慢圓的圓頻率都是不變的，B=0時，兩圓運動的頻率相同，但3種情況下的阻尼指數有所不同。當H≤0時，可看出雙旋制導火箭彈彈軸的圓運動是不穩定的，只有當H＞0時，才有可能出現穩定的運動。將式中的H變形得

因為 bx＞0，by＞0，kzd＞0，bc＞0，因此 H 的正負取決于式(29)右端前2項。顯然，當火箭彈處于推力段時，即H＞0;當推力段結束，會出現的情況，但火箭彈速度較快(Ma＞1)的量級相比式(29)右端后4項之和小100倍左右，如圖2所示，給出式(29)右端前2項之和與by項在火箭彈整個飛行過程中的變化曲線，從圖2可看出，在火箭彈飛行過程中，總有 H＞0。

當B＞0時，慢圓運動是穩定的，快圓運動不一定穩定;當B＜0時，快圓運動是穩定的，慢圓運動不一定穩定。為使快、慢圓運動都是穩定的，必須滿足如下關系式:

當B=0時，為使兩圓運動都穩定，必須滿足如下關系式:

圖2 系數對比Fig.2 Comparison of coefficient

定義陀螺穩定因子Sg=P2/4M，動穩定因子Sd=2T/H－1，則有

根據文獻［13］知，式(32)為動態穩定性判據，式(33)為陀螺穩定性判據?？梢?，動態穩定的雙旋制導火箭彈必然陀螺穩定，但陀螺穩定的彈不一定動態穩定，故式(32)即為雙旋制導火箭彈動穩定性判據。

4.2 穩定性分析

工程計算中，可對H、P、M、T進行適當的簡化:不考慮馬格努斯力bz的作用(馬格努斯力不到法向力的5%);不考慮幾何非線性，η＇≈0，η=u/V≈1;由式(29)的分析可知，V＇/V遠小于H等式右端后4項，因此可忽略。通過這些簡化，可得到如下近似表達式:

式(34)～式(37)給出的陀螺穩定因子、動穩定因子以及穩定性判據，與文獻［12］給出的相應結果比較，在形式上本文給出的結果引入了控制力對赤道阻尼力矩的影響，即kzdbc項。

在使用式(36)和式(37)進行穩定性判定時，還需確定兩判據適用于快圓運動還是慢圓運動。因此，需引入B:

從式(38)可看出，B的正負P和Sd有關。簡化后的 P=(Cfγ＇f+Caγ＇a)/A，正負取決于雙旋火箭彈后段的轉速(前段轉速遠小于后段)。因此，以下給出的結論是在P≥0(即后段自旋速度為正)的條件下得到的。至于P＜0的情況分析方法與P≥0相同，在此不再詳述。P≥0的情況下，當B≥0，即Sd≥0，式(36)是快圓運動的穩定性判據;當 B＜0，即 Sd＜0，式(37)是慢圓運動的穩定性判據。根據雙旋制導火箭彈的布局結構可知，鴨舵安裝在火箭彈前段，即 xc＞0，kc＞0。因此，可得出如下結論:

(1)靜力矩系數kz。kz系數與導彈中靜穩定系數作用相同，代表雙旋制導火箭彈的靜穩定性。通常情況下，加裝鴨舵后不會影響整彈的靜穩定性，因此有|kc|＜|kz|。從式(36)和式(37)可看出，雙旋制導火箭彈的靜穩定性越強(kz＜0)，越有利于不等式(36)和式(37)成立，即有利于動穩定性;反之，靜不穩定時，會對火箭彈的動穩定性產生不利影響。一般情況下，靜力矩是雙旋制導火箭彈角運動的主要作用，在各作用中影響最大。

(2)赤道阻尼力矩系數kzd:kzd系數在飛行過程中都是大于零的，從式(36)可以看出kzd系數對快圓運動總起穩定作用。但對慢圓運動所起作用取決于kzd系數對應項的正負，即當雙旋制導火箭彈是靜穩定的，kzd系數有利于慢圓運動的穩定性;若火箭彈是靜不穩定的，則kzd系數不利于慢圓運動的穩定性。

(3)法向力系數bN。從式(37)可看出，bN系數對慢圓運動的穩定性總是有利的。當火箭彈是靜穩定的，bN系數對快圓運動的穩定性是有利的;當火箭彈是靜不穩定的，bN系數會對快圓運動的穩定性產生不利影響。

(4)馬格努斯力矩系數kfy、kay。鑒于彈體的特殊結構，雙旋制導火箭彈前段由于滾轉軸承的作用，大大減弱了其自旋速度，馬格努斯力矩系數對火箭彈穩定性的影響主要取決于后段。由式(36)和式(37)可知，無論kay取正負，它的存在總會對兩圓運動中的其中一個穩定性產生不利影響。因此，馬格努斯力矩總是一個不穩定的因素。

(5)馬格努斯力系數bhz、baz。通常情況下，馬格努斯力不到法向力的5%，研究可不考慮。

(6)控制力系數bc。當火箭彈是靜穩定的，則bc系數對快圓運動的穩定性是有利的;當火箭彈靜不穩定時，bc系數對快圓運動的穩定性是不利的。對于慢圓運動而言，bc系數對其穩定性總是有利的。

(7)控制力矩系數kc。從式(36)和式(37)可看出，kc系數總對火箭彈的動穩定性產生不利影響。

4.3 穩定因子比較

為了進一步研究雙旋彈體結構對火箭彈運動特性的影響，現引入改型前相同外形尺寸的常規無控火箭彈，將二者的穩定因子進行分析比較。由式(32)可看出，動穩定因子在動穩定性判據中不是獨立存在的，其中含有陀螺穩定因子，在對比2種火箭彈之間的動穩定性時，僅通過對比2種動穩定因子的大小是無法確定其動穩定邊界的大小。因此，以下僅針對雙旋制導火箭彈和常規無控火箭彈的陀螺穩定因子進行對比分析。

［13］，可得到常規無控火箭彈在無風干擾情況下的陀螺穩定因子:

假設常規無控火箭彈的自旋角速度與雙旋制導火箭彈的后段自旋角速度相同，即·γ≈·γa;二者的總轉動慣量和質心位置相同;相對速度大小近似為Vr=V－W，W為風速矢量W的模，則式(34)除以式(39)，并整理得

從式(40)可看出，影響雙旋制導火箭彈陀螺穩定性的因素有3個:

綜上分析，雙旋制導火箭彈和常規無控火箭彈的陀螺穩定因子比可改寫為

由式(41)可看出，簡化后的結果與文獻［12］給出的結果一致。本文研究的雙旋制導火箭彈，其鴨舵的外形尺寸和位置是給定的，即 xc=0.885 m，Sc=20 cm2。因此，接下來的討論基于以下兩點開展:

(1)不考慮鴨舵尺寸和位置的變化;

(2)轉動慣量Cf和Ca的變化不影響雙旋制導火箭彈整彈質心位置的變化。

式(41)中，l=3 m，S=116 cm2，且由于CNδ＞0，所以當雙旋制導火箭彈和常規無控火箭彈是旋轉穩定彈時(即 m＇z＞0)，則即鴨舵的引入會不利于雙旋制導火箭彈的陀螺穩定性。當雙旋制導火箭彈和常規無控火箭彈是靜穩定彈時(即m＇z＜0)，則即鴨舵的引入會有利于雙旋制導火箭彈的陀螺穩定性。

如圖3所示，S1曲面為陀螺穩定因子比隨轉動慣量比和滾轉角速度比變化的曲面圖，當Cf/Ca=0和=1時，曲面S1上的2條交線組成的平面為S2，可看出，平面S2和Sg/Syg=1的平面S3不相等，這是由于鴨舵的影響，使得火箭彈的陀螺穩定性發生了改變。位于平面S3以上的曲面S1部分表示此時的雙旋制導火箭彈的陀螺穩定性高于同外形尺寸的常規無控火箭彈。

當轉動慣量比一定時，可通過提高滾轉角速度比的大小來加強陀螺穩定性;也可令前后段滾轉方向相反，增加的值來提高陀螺穩定性，但這種方案需要前段滾轉速度的絕對值遠大于后段，此時就會不利于導航設備正常工作。因此，在導航設備能夠正常工作的轉速情況下，保持前后段轉速方向一致，通過加大前段轉速或減小后段轉速，可提高雙旋制導火箭彈的陀螺穩定性。

當滾轉角速度比一定時，可通過提高轉動慣量比Cf/Ca的大小來加強雙旋制導火箭彈的陀螺穩定性。

圖3 陀螺穩定因子比隨轉動慣量比和滾轉角速度比變化的曲面圖Fig.3 Ratio of gyroscopic stability coefficients vs inertia moment ratio and spin rates ratio

5 結論

(1)雙旋制導火箭彈的靜力矩系數是角運動的主要作用，靜穩定的火箭彈對動穩定性是有利的;赤道阻尼力矩系數對快圓運動總起穩定作用，而法向力系數對慢圓運動的穩定性總是有利的;對于雙旋制導火箭彈，馬格努斯力矩總是一個不穩定的因素;鴨舵的引入所帶來的控制力系數對其慢圓運動總起有利作用，而控制力矩系數則相反，它總對雙旋制導火箭彈的動穩定性產生不利影響。

(2)采用雙旋彈體方案的改型彈與改型前的火箭彈相比，在轉動慣量比一定時，保持前后段轉速方向一致，可通過加大前段轉速或減小后段轉速來提高雙旋制導火箭彈陀螺穩定性，但前段轉速不能超過導航系統正常工作的轉速上限。

(3)與改型前的火箭彈相比，改型后的雙旋制導火箭彈在轉速比一定時，可通過提高轉動慣量比的大小來加強雙旋制導火箭彈的陀螺穩定性。例如，在研制初樣階段前，可通過改變戰斗部的大小來調整前后段尺寸，達到增加穩定性、提高命中精度的目的。

參考文獻:

［1］David A Bittle，Gary A Hall，Roswell W.Nourse III roll isolation bearing design and testing for low cost precision kill missile system［R］.AIAA 98-5418.

［2］Kreeger Richard E，Brian Landrum D.Spinning tall aerodynamics of a low cost precision guided missile［C］//21st Applied Aerodynamics Conference.Orlando，Florida:American Institute of Aeronautics and Astronautics，2003:1-8.

［3］Gene Cooper，Frank Fresconi，Mark Costello.Flight stability of an asymmetric projectile with activating canards［J］.Journal of Spacecraft and Rockets，2012，49(1):130-135.

［4］Yan Xiao-yong，Yang Shu-xing，Zhang Cheng.Coning motion of spinning missiles induced by the rate loop［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2010，33(5):1490-1499.

［5］Yan Xiao-yong，Yang Shu-xing，Xiong Fen-fen.Stability limits of spinning missiles with attitude autopilot［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2011，34(1):278-283.

［6］任天榮，馬建敏.基于陀螺力學的旋轉導彈錐形運動分析［J］.宇航學報，2010，31(9):2082-2087.

［7］王華畢，吳甲生.火箭彈錐形運動穩定性分析［J］.兵工學報，2008，29(5):562-566.

［8］Hall Christopher D，Rand Richard H.Spinup dynamics of axial dual-spin spacecraft［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，1994，17(1):30-37.

［9］Or A C.Resonances in the despin dynamics of dual-spin spacecraft［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，1991，4(2):321-329.

［10］John E Cochran，Ping huei Shu，Stephen D Rew.Attitude motion of asymmetric dual-spin spacecraft［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，1982，5(1):37-42.

［11］Mark Costello，Allen Peterson.Linear theory of dual-spin projectile in atmospheric flight［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2000，23(5):789-797.

［12］Dr Philippe Wernert.Stability analysis for canard guided dual-spin stabilized projectiles［C］//AIAA Atmospheric Flight Mechanics Conference.Chicago，Illinois USA，2009-5843.

［13］徐明友.火箭彈外彈道學［M］.哈爾濱，哈爾濱工業大學出版社，2004:136-143.

［14］錢杏方，林瑞雄，趙亞男.導彈飛行力學［M］.北京:北京理工大學出版社，2008:64-74.

［15］王志剛，李偉.滾轉隔離結構制導火箭彈蒙特卡洛法仿真研究［J］.計算機仿真，2012，29(11):99-103.