民航航材庫存模型預(yù)測(cè)控制研究

華曉旭

（中國(guó)國(guó)際航空公司天津分公司，天津 300300）

我國(guó)民用航空處于快速發(fā)展階段，目前各機(jī)隊(duì)的主力機(jī)型大都以波音、空客等飛機(jī)為主，國(guó)產(chǎn)大型客貨機(jī)較少。因此，大量航材件都依賴進(jìn)口，且?guī)齑鏃l件要求高，造成維修成本和庫存成本很高。同時(shí)，當(dāng)機(jī)務(wù)維修需求時(shí)，航材資源不足會(huì)影響航班正常運(yùn)行，甚至危及飛行安全，產(chǎn)生消極的社會(huì)影響。因此，將庫存量控制在合理的水平上，對(duì)保證安全飛行，提高航空公司經(jīng)濟(jì)效益起著重要作用。

目前航空公司廣泛使用定量訂貨法和定期訂貨法兩種庫存控制方法[3-4]，雖然操作比較簡(jiǎn)便，穩(wěn)定的訂貨量使供應(yīng)商比較容易接受，可行性強(qiáng)，但不能與生產(chǎn)實(shí)際的運(yùn)行動(dòng)態(tài)密切結(jié)合，存在一定的弊端。

商務(wù)運(yùn)行的民航航線是固定的，航空公司運(yùn)行受到嚴(yán)格的法規(guī)、條例的約束，非常規(guī)范，可以將“維修保障―庫存―航材補(bǔ)充”系統(tǒng)視為廣義物理系統(tǒng)，應(yīng)用控制理論實(shí)現(xiàn)航材庫存量?jī)?yōu)化控制，文獻(xiàn)[1-2]是前期研究結(jié)果。本文采用模型預(yù)測(cè)控制的方法，進(jìn)一步提高了對(duì)系統(tǒng)模型不確定的適應(yīng)性。

1 航材庫存系統(tǒng)優(yōu)化目標(biāo)和受控系統(tǒng)建模

以輪胎庫存為例分析庫存量的優(yōu)化目標(biāo)。設(shè)飛機(jī)輪胎庫存量分布為正態(tài)分布，輪胎不足造成的損失L為

總成本為輪胎庫存不足造成的損失與庫存總成本之和為

式中：N0為平均庫存量，σ為庫存量均方差，G1為每只輪胎的庫存成本（設(shè)為100元），G2為由一只輪胎庫存不足而造成延誤的損失 （本例設(shè)為10000元），k為輪胎數(shù)序號(hào)，F(xiàn)為總成本，輪胎供應(yīng)不上為小概率事件，輪胎庫存平均成本為N0G1。實(shí)際庫存不會(huì)出現(xiàn)超過5個(gè)輪胎供應(yīng)不上的極端情況。

從式（2）可以看出N0增加則第一項(xiàng)增加，第二項(xiàng)減小；而當(dāng)N0減少，第一項(xiàng)減小，第二項(xiàng)增加。當(dāng)庫存均方差一定時(shí)，可以求出平均庫存量的最優(yōu)值（令F對(duì)N0求導(dǎo)等于0，求解N0）。表1給出了不同的庫存均方差對(duì)應(yīng)的最優(yōu)平均庫存量。

表1 不同庫存均方差對(duì)應(yīng)的最優(yōu)平均庫存量Tab.1 Different inventory variance corresponding optimal average inventory

從計(jì)算結(jié)果可以看出，庫存均方差增加，最優(yōu)庫存量直線上升，庫存成本增加。因此，采用減小σ的控制策略，可以減小最優(yōu)庫存均值，進(jìn)而壓縮庫存成本，提高運(yùn)行效益。

輪胎庫存模型與管理水平、庫存條件等因素密切相關(guān)具有不確定性；輪胎磨損或損壞的更換量需要也是隨機(jī)量，因此航材（輪胎）庫存系統(tǒng)是一個(gè)不確定性系統(tǒng)。通過對(duì)數(shù)家航空公司幾種機(jī)型的輪胎損耗和庫存情況進(jìn)行的數(shù)據(jù)采集和分析，建立了系統(tǒng)模型和優(yōu)化目標(biāo)[1-2]。設(shè)y為輪胎庫存量，r為耗損量，f為輪胎補(bǔ)充（翻新、購入）量，受控過程模型如式（3）和式（4）。圖1為航空公司航材控制原理圖。

式中：a，c11，c12，c13為庫存系統(tǒng)參數(shù)；d 為翻新購入時(shí)間延遲；N（k）為高斯白噪聲。建模參數(shù)分別為a∈［0.9，0.99］，d=2，c11∈［0.06，0.5］，c12∈［0.5，1.9］，c13∈［0.1，0.3］。

圖1 航空公司航材控制原理Fig.1 Schematic diagram of aviation supplies control

2 航材庫存模型預(yù)測(cè)控制

2.1 滾動(dòng)優(yōu)化控制

考慮使用基于過程階躍響應(yīng)的預(yù)測(cè)控制算法。設(shè)采樣時(shí)間為T，系統(tǒng)在NT時(shí)刻后階躍響應(yīng)基本達(dá)到穩(wěn)定，N個(gè)點(diǎn)的單位階躍響應(yīng)為ai=a（iT），i=1，2，…，N。 在 k 時(shí)刻 u（k）=u（k-1）+Δu（k-1）不變，對(duì)未來 N 點(diǎn)輸出預(yù)測(cè)值為y?0（k+i∣k），i=1，2，…，N。當(dāng)k時(shí)刻控制量有增量Δu（k）時(shí)，系統(tǒng)未來時(shí)刻的輸出值為y?1（k+i∣k）＝y(tǒng)?0（k+i∣k）+aiΔu（k），i=1，2，…，N。y的下標(biāo)0表示保持k-1時(shí)刻輸入量時(shí)的輸出，下標(biāo)1表示在k時(shí)刻一個(gè)時(shí)間點(diǎn)有輸入增量，類推從k時(shí)刻開始M個(gè)時(shí)間點(diǎn)有輸入增量時(shí)，輸出為

如果輪胎庫存期望均值為 w（i）=w，i=1，2，…，N，在系統(tǒng)性能中僅考慮前P點(diǎn)輸出的偏差 （M≤P≤N），則k時(shí)刻的目標(biāo)函數(shù)可設(shè)為

其中：qi，ri分別為對(duì)輸出偏差和控制量的加權(quán)值。記Q=diag（q1，…，qp）；R=diag（r1，…，rM），可求得最優(yōu)控制量[5]為

亦可表示為，ΔUM（k）=［Δu（k），…，Δu（k+M-1）］。 在預(yù)測(cè)控制中采用“滾動(dòng)優(yōu)化”的方法，即只采用即時(shí)的控制增量Δu（k），在下一時(shí)刻再計(jì)算新的優(yōu)化控制增量 Δu（k+1）。 記 CT=［1，0，…，0］，則有：

由控制增量Δu（k）可以求出在其作用下未來N個(gè)時(shí)間點(diǎn)的預(yù)測(cè)值。即

2.2 反饋校正算法

由于系統(tǒng)模型和擾動(dòng)都存在不確定性，需要利用下一步輸出實(shí)際檢測(cè)量y（k+1）與其預(yù)測(cè)量y?1（k+1∣k）相比較，對(duì)控制量進(jìn)行校正。誤差 e（k+1）=y（k+1）-y?1（k+1∣k）可以反映出不確定因素的作用。用對(duì)e（k+1）加權(quán)后修正預(yù)測(cè)值：

考慮k+1+N時(shí)刻已經(jīng)超出預(yù)測(cè)范圍，用k+N時(shí)刻的預(yù)測(cè)值替代，則有：

2.3 控制算法

系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)的一部分參數(shù)可以離線計(jì)算，其中包括使用建模后的系統(tǒng)模型計(jì)算出理想階躍響應(yīng)向量［a1，…，aN］T；由系統(tǒng)模型和目標(biāo)函數(shù)計(jì)算出優(yōu)化控制策略 dT=［d1，…，dN］T；校正向量 h（需要經(jīng)過試算檢驗(yàn)）。

從以上論述可以看出，模型預(yù)測(cè)控制有多個(gè)可以調(diào)整的設(shè)計(jì)參數(shù)，如：模型長(zhǎng)度N，預(yù)測(cè)時(shí)域P，控制時(shí)域M，誤差權(quán)矩陣Q，控制權(quán)矩陣R，校正參數(shù)h等。可調(diào)整參數(shù)的增加可以更加靈活地根據(jù)控制性能進(jìn)行參數(shù)調(diào)整，使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)更好的性能；但是也增加了設(shè)計(jì)過程的復(fù)雜性。需要經(jīng)過反復(fù)仿真實(shí)驗(yàn)，逐步尋找到與控制過程實(shí)際相適應(yīng)的設(shè)計(jì)參數(shù)。對(duì)于民航，由于航空公司大小不一，國(guó)內(nèi)外東西南北航線條件差異較大，航材的損耗和庫存條件各不相同，較多的設(shè)計(jì)參數(shù)更有利于尋找合理、適當(dāng)?shù)目刂埔?guī)則和參數(shù)。

3 仿真計(jì)算結(jié)果

使用Matlab對(duì)上述系統(tǒng)設(shè)計(jì)進(jìn)行了仿真計(jì)算。由于輪胎購入只能是整數(shù)，仿真計(jì)算時(shí)對(duì)控制量u進(jìn)行量化處理。由于擾動(dòng)是隨機(jī)量，計(jì)算方差時(shí)用10次計(jì)算的平均值進(jìn)行比較。

3.1 Q，R加權(quán)陣選取的影響

仿真計(jì)算時(shí)取 a=0.95，N=80，P=20，M=10，Q=diag（0，0，1，…，1），調(diào)整 R=r×I（I為單位矩陣）進(jìn)行比較，如表2所示。

表2 Q，R矩陣選取對(duì)庫存均方差的影響Tab.2 Influence of matrix Q，R selection for stock variance

從計(jì)算結(jié)果可以看出減小對(duì)u的約束，可以使庫存量的方差減小。R=0.1與r=100對(duì)應(yīng)的庫存量方差相差一倍，對(duì)應(yīng)的庫存量均值也相差一倍，效益可觀。

3.2 校正向量選取的影響

采取了8種校正向量，仿真結(jié)果如表3所示，表中σ為庫存均方差。

表3 校正向量h選取對(duì)庫存方差的影響Tab.3 Influence of the vector h to Inventory variance

當(dāng)h元素全取1時(shí)，庫存方差為2.45。

從仿真計(jì)算結(jié)果可以看出，h的選取對(duì)庫存量方差影響比較大。較大的方差是較小方差的4～5倍。對(duì)應(yīng)的庫存量均值也相差較大，適當(dāng)?shù)剡x取可以獲得較大的效益。

3.3 模型預(yù)測(cè)控制魯棒性檢驗(yàn)

系統(tǒng)模型中a∈［0.9，0.99］，選取效果比較好的校正向量 h（i）=1+0.5∧（i-1），r＝1，其他參數(shù)同3.1的選取。仿真計(jì)算結(jié)果如表4所示，表中σ為庫存方差。

表4 模型預(yù)測(cè)控制魯棒性檢驗(yàn)Tab.4 Model predictive control robustness test

從計(jì)算結(jié)果看，最大庫存方差為最小庫存方差的1.3倍。說明按照設(shè)計(jì)控制參數(shù)運(yùn)行系統(tǒng)，當(dāng)實(shí)際系統(tǒng)的模型在較大范圍變化時(shí)，影響不太大，是可以接受的。

3.4 與魯棒方差控制計(jì)算結(jié)果的比較

文獻(xiàn)[2]給出了采用魯棒方差控制的研究結(jié)果，本文的庫存系統(tǒng)與文獻(xiàn)[2]的庫存系統(tǒng)相同，目標(biāo)和擾動(dòng)等條件也完全相同。在不考慮反饋控制時(shí)，系統(tǒng)輸出方差為22.60左右；采用魯棒方差控制可使系統(tǒng)輸出方差控制在3.11～3.20之間。而從以上采用模型預(yù)測(cè)控制仿真結(jié)果可看出，適當(dāng)?shù)剡x擇設(shè)計(jì)參數(shù)，可將方差降低到2.3左右，且魯棒性可接受。

4 結(jié)語

以輪胎庫存系統(tǒng)為對(duì)象，以航空公司實(shí)際運(yùn)行數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，將“維修保障―庫存―航材補(bǔ)充”系統(tǒng)視為廣義物理系統(tǒng)，研究模型預(yù)測(cè)控制的應(yīng)用，效果較為滿意。航空公司航材損耗存在較大的不確定性，適當(dāng)選取模型預(yù)測(cè)控制的設(shè)計(jì)參數(shù)，綜合考慮對(duì)輪胎庫存量方差的影響，進(jìn)而根據(jù)庫存量方差大小，確定庫存的標(biāo)準(zhǔn)量，將航材庫存量控制在較低的水平上，達(dá)到減小維修成本和航空公司運(yùn)行成本的目的。與其他控制方法相比較可以看出采用模型預(yù)測(cè)控制使系統(tǒng)的性能進(jìn)一步提高。

各航空公司機(jī)隊(duì)的機(jī)型不完全相同、維修管理的理念和方法也不相同，系統(tǒng)設(shè)計(jì)結(jié)果必然有差別，系統(tǒng)參數(shù)設(shè)計(jì)需要適應(yīng)。但是盡管情況有差別，系統(tǒng)設(shè)計(jì)原理和算法還是一致的。

本文中采集的輪胎損耗數(shù)據(jù)是合作研究航空公司提供的，是實(shí)際運(yùn)行數(shù)據(jù)，研究思路和結(jié)果已經(jīng)得到了合作方的共識(shí)，可供航空公司庫存管理參考。

[1] 華克強(qiáng)，屈文芳.航材庫存數(shù)據(jù)分析及最優(yōu)庫存量研究[J].航空維修與工程，2010（4）：68-71.

[2] 張鵬，黃玉明，華克強(qiáng)，等.航材庫存系統(tǒng)魯棒方差控制[J].控制工程，2011，18（6）：893-896.

[3] Zhang Tiezhu，Wang Yuepeng.Simulation research on the stock control strategy of VMI combined revenue sharing[J].Information Processing（ISIP），2008 International Symposiums on Digital Object Identifier，2008（10）：657-661.

[4] 楊曉.淺談航材庫存管理策略[J].航空維修與工程，2005（2）：38-39.

[5] 錢積新.預(yù)測(cè)控制[M].北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2007.■