淺談解數(shù)學(xué)開放題的策略

陳杰龍

摘要：數(shù)學(xué)開放題與當(dāng)前大力推廣的素質(zhì)教育緊密相連.本文通過對(duì)數(shù)學(xué)開放題的類型和解題策略的研究，介紹了常見的數(shù)學(xué)開放題類型，以及各種題型的解題策略，并對(duì)其進(jìn)行深一步的研究，挖掘出其中包含的數(shù)學(xué)思想方法.

關(guān)鍵詞：開放題；探索；策略

中圖分類號(hào)：G633.6？搖 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）03-0094-02

通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠初步學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察分析現(xiàn)實(shí)社會(huì)，去解決日常生活中和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí).開放的數(shù)學(xué)題其目的就是培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的多方面活動(dòng)能力與數(shù)學(xué)思維能力，體現(xiàn)“以學(xué)生的終身發(fā)展為本”的理念.

開放探索性問題是相對(duì)傳統(tǒng)的有“已知——求證”固定模式的題型，即對(duì)有完備的條件和固定結(jié)論的封閉性試題而言的，它的條件、結(jié)論之一未明顯寫出.常見的開放、探索問題：探索、補(bǔ)充條件；探索、確定結(jié)論；探索存在性；有關(guān)方案設(shè)計(jì)與動(dòng)手操作的題目（如作圖、畫圖及圖形的剪、拼、折疊等）.解開放探索性問題的基本思路：探索條件類的解法類似于分析法，假定結(jié)論成立，逐步探索其成立的條件；探索結(jié)論類的解法是：根據(jù)條件，結(jié)合以學(xué)的知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法，通過分析、歸納逐步得出結(jié)論，或通過觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、論證的方法求解；探索存在性時(shí)，常常遵循從特殊（特殊點(diǎn)、特殊值、特殊位置、特殊圖形等）到一半的規(guī)律，可采用“假設(shè)檢驗(yàn)法”，即先假設(shè)結(jié)論成立，看是導(dǎo)致矛盾，還是達(dá)到與已知條件的溝通，從而確定探索的元素是否存在.解開放探索性問題基本策略：

1.由因探果，順推分析.這類開放題是指提供一定的條件，可以是既滿足條件，且所得結(jié)論的意義相同的問題.也可以是提供一定的條件，滿足條件的結(jié)論方面往往有多種答案的題型.這需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)，善于突破常規(guī)，進(jìn)行直覺、想象、猜想、創(chuàng)造等活動(dòng)才能解決問題.對(duì)這類開放型問題，只需根據(jù)給定的條件尋求相應(yīng)的結(jié)論.

例1 若四面體各棱的長是1或2，且該四面體不是正四面體，則其體積的值是 .

分析：由于四面體的各棱長未一一給出，因此首先需探求出符合提設(shè)的空間圖形，然后才能按照?qǐng)D形求體積.

解：由于四面體不是正四面體，所以其棱長分別為1和2，其次，各棱必須構(gòu)成三角形，才能構(gòu)成四面體，所以同一個(gè)面中不能出現(xiàn)兩條棱為1，一條棱為2的情形，這樣，滿足本題條件的四面體共有下列三種（即長為1的棱分別是一條、兩條、三條）.分別計(jì)算三種四面體的體積依次為■，■，■，按要求只填一種即可.

2.執(zhí)果索因，逆推分析.對(duì)條件開放題問題，需要探求其結(jié)論成立的條件時(shí)，可執(zhí)果索因，將題設(shè)和結(jié)論視為已知條件，倒推分析，導(dǎo)出所需的條件.

例2 直三棱柱A1B1C1-ABC中，BC=CC1，當(dāng)?shù)酌妗鰽1B1C1滿足什么條件時(shí)，有AB1⊥BC1.（注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況）

分析：把結(jié)論AB1⊥BC1看作已知條件.

解：連結(jié)BC1，由BC=CC1，可得B1C⊥BC1，因此，要AB1⊥BC1，則只要BC1⊥平面AB1C，即只要AC⊥BC1，有直三棱柱可知，只要AC⊥BC，因A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只有A1C1⊥B1C1即可.

3.假設(shè)存在，肯定順推.就是事先假設(shè)問題所研究的對(duì)象存在或成立，然后依條件順推，探求結(jié)論.

例3 給定雙曲線x2-■=1，過點(diǎn)B（1，1）能否作直線L，使L與所給雙曲線交于兩點(diǎn)Q1Q2，且點(diǎn)B是線段Q1Q2的中點(diǎn)？這樣的直線如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由.

分析：存在性問題，一般先肯定結(jié)論存在或成立，若不存在，證明方法通常用反證法，若存在，就找出結(jié)論來，或根據(jù)有關(guān)定理予于說明.

解：設(shè)所求的直線m存在，并設(shè)斜率為k，則y-1=k（x-1），即y=kx+1-k.代入到2x2-y2-2=0中，得（2-k2）x2-2k（1-k）x-k2+2k-3=0.2-k2≠0，■=■=1，解得k=2。當(dāng)k=2時(shí)，Δ=4k2（1-k）2-4（2-k2）（-k2+2k-3）=-2<0，若k存在，顯然不滿足條件，所以滿足條件的直線m不存在.

4.否定結(jié)論，反證逆推.否定逆推就是將所研究的對(duì)象事先予于否定，即假設(shè)不存在或不成立，然后利用相關(guān)條件逆向分析推理，探求結(jié)論.

例4 已知f（x）=x2+bx+c，是否存在實(shí)數(shù)a，b，c，使得f（1），f（2），f（3）中至少有一個(gè)不小于■.

分析：當(dāng)探求結(jié)論或條件從正面難以成功時(shí)，“否定逆推”是首選的解題策略.即從反面入手，逆向分析推理，從而判定結(jié)論或條件.

解：否定逆推，假設(shè)f（1），f（2），f（3）都小于■，則：

f（1）=1+b+c<■f（2）=4+2b+c<■f（3）=9+3b+c<■？圯-■

由（1）+（3）得-11<4b+2c<-9即-■<2b+c<-■ （4），顯然（4）與（2）相矛盾，所以原假設(shè)不成立，故存在實(shí)數(shù)a，b，c，使得f（1），f（2），f（3）中至少有一個(gè)不小于■.

5.數(shù)形結(jié)合，等價(jià)轉(zhuǎn)化.有些數(shù)學(xué)開放問題的題設(shè)所給的數(shù)或式有明顯的幾何意義，可以巧妙地轉(zhuǎn)換思維角度，將有利用問題的解決.

例5 設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，集合A={（x，y）|y2-x-1=0}，B={（x，y）|16x2+8x-2y+5=0|}，C={（x，y）|y=kx+b}，問是否存在自然數(shù)k，b，使（A∪B）∩C=Φ？

解析：由題設(shè)條件聯(lián)系其條件所體現(xiàn)的幾何背景，我們轉(zhuǎn)換思維角度知原命題等價(jià)于是否存在自然數(shù)k，b，使直線y=kx+b與拋物線y2=x+1或y2=8x2+4x+■沒有交點(diǎn).由于y2=x+1，y=8x24x+■在軸上的正截距為1，■，故必有b=2，又由于y=kx+2y2=x+1無實(shí)數(shù)解，得1-■

總之，開放型數(shù)學(xué)問題由于選擇范圍廣，覆蓋知識(shí)面大，具有較強(qiáng)的綜合性和邏輯性，對(duì)使用的解題方法也有較高的要求，因此必須要求學(xué)生自己去探索，結(jié)合已有條件，進(jìn)行觀察、分析、比較、概括，不但要會(huì)演繹法，也必須會(huì)歸納法，不但要掌握嚴(yán)密的演繹推理，也必須掌握合情推理.

摘要：數(shù)學(xué)開放題與當(dāng)前大力推廣的素質(zhì)教育緊密相連.本文通過對(duì)數(shù)學(xué)開放題的類型和解題策略的研究，介紹了常見的數(shù)學(xué)開放題類型，以及各種題型的解題策略，并對(duì)其進(jìn)行深一步的研究，挖掘出其中包含的數(shù)學(xué)思想方法.

關(guān)鍵詞：開放題；探索；策略

中圖分類號(hào)：G633.6？搖 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）03-0094-02

通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠初步學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察分析現(xiàn)實(shí)社會(huì)，去解決日常生活中和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí).開放的數(shù)學(xué)題其目的就是培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的多方面活動(dòng)能力與數(shù)學(xué)思維能力，體現(xiàn)“以學(xué)生的終身發(fā)展為本”的理念.

開放探索性問題是相對(duì)傳統(tǒng)的有“已知——求證”固定模式的題型，即對(duì)有完備的條件和固定結(jié)論的封閉性試題而言的，它的條件、結(jié)論之一未明顯寫出.常見的開放、探索問題：探索、補(bǔ)充條件；探索、確定結(jié)論；探索存在性；有關(guān)方案設(shè)計(jì)與動(dòng)手操作的題目（如作圖、畫圖及圖形的剪、拼、折疊等）.解開放探索性問題的基本思路：探索條件類的解法類似于分析法，假定結(jié)論成立，逐步探索其成立的條件；探索結(jié)論類的解法是：根據(jù)條件，結(jié)合以學(xué)的知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法，通過分析、歸納逐步得出結(jié)論，或通過觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、論證的方法求解；探索存在性時(shí)，常常遵循從特殊（特殊點(diǎn)、特殊值、特殊位置、特殊圖形等）到一半的規(guī)律，可采用“假設(shè)檢驗(yàn)法”，即先假設(shè)結(jié)論成立，看是導(dǎo)致矛盾，還是達(dá)到與已知條件的溝通，從而確定探索的元素是否存在.解開放探索性問題基本策略：

1.由因探果，順推分析.這類開放題是指提供一定的條件，可以是既滿足條件，且所得結(jié)論的意義相同的問題.也可以是提供一定的條件，滿足條件的結(jié)論方面往往有多種答案的題型.這需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)，善于突破常規(guī)，進(jìn)行直覺、想象、猜想、創(chuàng)造等活動(dòng)才能解決問題.對(duì)這類開放型問題，只需根據(jù)給定的條件尋求相應(yīng)的結(jié)論.

例1 若四面體各棱的長是1或2，且該四面體不是正四面體，則其體積的值是 .

分析：由于四面體的各棱長未一一給出，因此首先需探求出符合提設(shè)的空間圖形，然后才能按照?qǐng)D形求體積.

解：由于四面體不是正四面體，所以其棱長分別為1和2，其次，各棱必須構(gòu)成三角形，才能構(gòu)成四面體，所以同一個(gè)面中不能出現(xiàn)兩條棱為1，一條棱為2的情形，這樣，滿足本題條件的四面體共有下列三種（即長為1的棱分別是一條、兩條、三條）.分別計(jì)算三種四面體的體積依次為■，■，■，按要求只填一種即可.

2.執(zhí)果索因，逆推分析.對(duì)條件開放題問題，需要探求其結(jié)論成立的條件時(shí)，可執(zhí)果索因，將題設(shè)和結(jié)論視為已知條件，倒推分析，導(dǎo)出所需的條件.

例2 直三棱柱A1B1C1-ABC中，BC=CC1，當(dāng)?shù)酌妗鰽1B1C1滿足什么條件時(shí)，有AB1⊥BC1.（注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況）

分析：把結(jié)論AB1⊥BC1看作已知條件.

解：連結(jié)BC1，由BC=CC1，可得B1C⊥BC1，因此，要AB1⊥BC1，則只要BC1⊥平面AB1C，即只要AC⊥BC1，有直三棱柱可知，只要AC⊥BC，因A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只有A1C1⊥B1C1即可.

3.假設(shè)存在，肯定順推.就是事先假設(shè)問題所研究的對(duì)象存在或成立，然后依條件順推，探求結(jié)論.

例3 給定雙曲線x2-■=1，過點(diǎn)B（1，1）能否作直線L，使L與所給雙曲線交于兩點(diǎn)Q1Q2，且點(diǎn)B是線段Q1Q2的中點(diǎn)？這樣的直線如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由.

分析：存在性問題，一般先肯定結(jié)論存在或成立，若不存在，證明方法通常用反證法，若存在，就找出結(jié)論來，或根據(jù)有關(guān)定理予于說明.

解：設(shè)所求的直線m存在，并設(shè)斜率為k，則y-1=k（x-1），即y=kx+1-k.代入到2x2-y2-2=0中，得（2-k2）x2-2k（1-k）x-k2+2k-3=0.2-k2≠0，■=■=1，解得k=2。當(dāng)k=2時(shí)，Δ=4k2（1-k）2-4（2-k2）（-k2+2k-3）=-2<0，若k存在，顯然不滿足條件，所以滿足條件的直線m不存在.

4.否定結(jié)論，反證逆推.否定逆推就是將所研究的對(duì)象事先予于否定，即假設(shè)不存在或不成立，然后利用相關(guān)條件逆向分析推理，探求結(jié)論.

例4 已知f（x）=x2+bx+c，是否存在實(shí)數(shù)a，b，c，使得f（1），f（2），f（3）中至少有一個(gè)不小于■.

分析：當(dāng)探求結(jié)論或條件從正面難以成功時(shí)，“否定逆推”是首選的解題策略.即從反面入手，逆向分析推理，從而判定結(jié)論或條件.

解：否定逆推，假設(shè)f（1），f（2），f（3）都小于■，則：

f（1）=1+b+c<■f（2）=4+2b+c<■f（3）=9+3b+c<■？圯-■

由（1）+（3）得-11<4b+2c<-9即-■<2b+c<-■ （4），顯然（4）與（2）相矛盾，所以原假設(shè)不成立，故存在實(shí)數(shù)a，b，c，使得f（1），f（2），f（3）中至少有一個(gè)不小于■.

5.數(shù)形結(jié)合，等價(jià)轉(zhuǎn)化.有些數(shù)學(xué)開放問題的題設(shè)所給的數(shù)或式有明顯的幾何意義，可以巧妙地轉(zhuǎn)換思維角度，將有利用問題的解決.

例5 設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，集合A={（x，y）|y2-x-1=0}，B={（x，y）|16x2+8x-2y+5=0|}，C={（x，y）|y=kx+b}，問是否存在自然數(shù)k，b，使（A∪B）∩C=Φ？

解析：由題設(shè)條件聯(lián)系其條件所體現(xiàn)的幾何背景，我們轉(zhuǎn)換思維角度知原命題等價(jià)于是否存在自然數(shù)k，b，使直線y=kx+b與拋物線y2=x+1或y2=8x2+4x+■沒有交點(diǎn).由于y2=x+1，y=8x24x+■在軸上的正截距為1，■，故必有b=2，又由于y=kx+2y2=x+1無實(shí)數(shù)解，得1-■

總之，開放型數(shù)學(xué)問題由于選擇范圍廣，覆蓋知識(shí)面大，具有較強(qiáng)的綜合性和邏輯性，對(duì)使用的解題方法也有較高的要求，因此必須要求學(xué)生自己去探索，結(jié)合已有條件，進(jìn)行觀察、分析、比較、概括，不但要會(huì)演繹法，也必須會(huì)歸納法，不但要掌握嚴(yán)密的演繹推理，也必須掌握合情推理.

摘要：數(shù)學(xué)開放題與當(dāng)前大力推廣的素質(zhì)教育緊密相連.本文通過對(duì)數(shù)學(xué)開放題的類型和解題策略的研究，介紹了常見的數(shù)學(xué)開放題類型，以及各種題型的解題策略，并對(duì)其進(jìn)行深一步的研究，挖掘出其中包含的數(shù)學(xué)思想方法.

關(guān)鍵詞：開放題；探索；策略

中圖分類號(hào)：G633.6？搖 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）03-0094-02

通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠初步學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察分析現(xiàn)實(shí)社會(huì)，去解決日常生活中和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí).開放的數(shù)學(xué)題其目的就是培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的多方面活動(dòng)能力與數(shù)學(xué)思維能力，體現(xiàn)“以學(xué)生的終身發(fā)展為本”的理念.

開放探索性問題是相對(duì)傳統(tǒng)的有“已知——求證”固定模式的題型，即對(duì)有完備的條件和固定結(jié)論的封閉性試題而言的，它的條件、結(jié)論之一未明顯寫出.常見的開放、探索問題：探索、補(bǔ)充條件；探索、確定結(jié)論；探索存在性；有關(guān)方案設(shè)計(jì)與動(dòng)手操作的題目（如作圖、畫圖及圖形的剪、拼、折疊等）.解開放探索性問題的基本思路：探索條件類的解法類似于分析法，假定結(jié)論成立，逐步探索其成立的條件；探索結(jié)論類的解法是：根據(jù)條件，結(jié)合以學(xué)的知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法，通過分析、歸納逐步得出結(jié)論，或通過觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、論證的方法求解；探索存在性時(shí)，常常遵循從特殊（特殊點(diǎn)、特殊值、特殊位置、特殊圖形等）到一半的規(guī)律，可采用“假設(shè)檢驗(yàn)法”，即先假設(shè)結(jié)論成立，看是導(dǎo)致矛盾，還是達(dá)到與已知條件的溝通，從而確定探索的元素是否存在.解開放探索性問題基本策略：

1.由因探果，順推分析.這類開放題是指提供一定的條件，可以是既滿足條件，且所得結(jié)論的意義相同的問題.也可以是提供一定的條件，滿足條件的結(jié)論方面往往有多種答案的題型.這需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)，善于突破常規(guī)，進(jìn)行直覺、想象、猜想、創(chuàng)造等活動(dòng)才能解決問題.對(duì)這類開放型問題，只需根據(jù)給定的條件尋求相應(yīng)的結(jié)論.

例1 若四面體各棱的長是1或2，且該四面體不是正四面體，則其體積的值是 .

分析：由于四面體的各棱長未一一給出，因此首先需探求出符合提設(shè)的空間圖形，然后才能按照?qǐng)D形求體積.

解：由于四面體不是正四面體，所以其棱長分別為1和2，其次，各棱必須構(gòu)成三角形，才能構(gòu)成四面體，所以同一個(gè)面中不能出現(xiàn)兩條棱為1，一條棱為2的情形，這樣，滿足本題條件的四面體共有下列三種（即長為1的棱分別是一條、兩條、三條）.分別計(jì)算三種四面體的體積依次為■，■，■，按要求只填一種即可.

2.執(zhí)果索因，逆推分析.對(duì)條件開放題問題，需要探求其結(jié)論成立的條件時(shí)，可執(zhí)果索因，將題設(shè)和結(jié)論視為已知條件，倒推分析，導(dǎo)出所需的條件.

例2 直三棱柱A1B1C1-ABC中，BC=CC1，當(dāng)?shù)酌妗鰽1B1C1滿足什么條件時(shí)，有AB1⊥BC1.（注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況）

分析：把結(jié)論AB1⊥BC1看作已知條件.

解：連結(jié)BC1，由BC=CC1，可得B1C⊥BC1，因此，要AB1⊥BC1，則只要BC1⊥平面AB1C，即只要AC⊥BC1，有直三棱柱可知，只要AC⊥BC，因A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只有A1C1⊥B1C1即可.

3.假設(shè)存在，肯定順推.就是事先假設(shè)問題所研究的對(duì)象存在或成立，然后依條件順推，探求結(jié)論.

例3 給定雙曲線x2-■=1，過點(diǎn)B（1，1）能否作直線L，使L與所給雙曲線交于兩點(diǎn)Q1Q2，且點(diǎn)B是線段Q1Q2的中點(diǎn)？這樣的直線如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由.

分析：存在性問題，一般先肯定結(jié)論存在或成立，若不存在，證明方法通常用反證法，若存在，就找出結(jié)論來，或根據(jù)有關(guān)定理予于說明.

解：設(shè)所求的直線m存在，并設(shè)斜率為k，則y-1=k（x-1），即y=kx+1-k.代入到2x2-y2-2=0中，得（2-k2）x2-2k（1-k）x-k2+2k-3=0.2-k2≠0，■=■=1，解得k=2。當(dāng)k=2時(shí)，Δ=4k2（1-k）2-4（2-k2）（-k2+2k-3）=-2<0，若k存在，顯然不滿足條件，所以滿足條件的直線m不存在.

4.否定結(jié)論，反證逆推.否定逆推就是將所研究的對(duì)象事先予于否定，即假設(shè)不存在或不成立，然后利用相關(guān)條件逆向分析推理，探求結(jié)論.

例4 已知f（x）=x2+bx+c，是否存在實(shí)數(shù)a，b，c，使得f（1），f（2），f（3）中至少有一個(gè)不小于■.

分析：當(dāng)探求結(jié)論或條件從正面難以成功時(shí)，“否定逆推”是首選的解題策略.即從反面入手，逆向分析推理，從而判定結(jié)論或條件.

解：否定逆推，假設(shè)f（1），f（2），f（3）都小于■，則：

f（1）=1+b+c<■f（2）=4+2b+c<■f（3）=9+3b+c<■？圯-■

由（1）+（3）得-11<4b+2c<-9即-■<2b+c<-■ （4），顯然（4）與（2）相矛盾，所以原假設(shè)不成立，故存在實(shí)數(shù)a，b，c，使得f（1），f（2），f（3）中至少有一個(gè)不小于■.

5.數(shù)形結(jié)合，等價(jià)轉(zhuǎn)化.有些數(shù)學(xué)開放問題的題設(shè)所給的數(shù)或式有明顯的幾何意義，可以巧妙地轉(zhuǎn)換思維角度，將有利用問題的解決.

例5 設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，集合A={（x，y）|y2-x-1=0}，B={（x，y）|16x2+8x-2y+5=0|}，C={（x，y）|y=kx+b}，問是否存在自然數(shù)k，b，使（A∪B）∩C=Φ？

解析：由題設(shè)條件聯(lián)系其條件所體現(xiàn)的幾何背景，我們轉(zhuǎn)換思維角度知原命題等價(jià)于是否存在自然數(shù)k，b，使直線y=kx+b與拋物線y2=x+1或y2=8x2+4x+■沒有交點(diǎn).由于y2=x+1，y=8x24x+■在軸上的正截距為1，■，故必有b=2，又由于y=kx+2y2=x+1無實(shí)數(shù)解，得1-■

總之，開放型數(shù)學(xué)問題由于選擇范圍廣，覆蓋知識(shí)面大，具有較強(qiáng)的綜合性和邏輯性，對(duì)使用的解題方法也有較高的要求，因此必須要求學(xué)生自己去探索，結(jié)合已有條件，進(jìn)行觀察、分析、比較、概括，不但要會(huì)演繹法，也必須會(huì)歸納法，不但要掌握嚴(yán)密的演繹推理，也必須掌握合情推理.