數列極限定義的教學思考

蔡 鋼，羅 萍

（重慶師范大學 數學學院，重慶 401331）

數列極限定義的教學思考

蔡 鋼，羅 萍

（重慶師范大學 數學學院，重慶 401331）

數列極限是數學分析課程中一個重要的概念，它也是學好數學分析的必備知識。本文對數列極限定義的教學方法做了一些分析和思考。

數學分析；極限；定義；數列

極限是數學分析的基礎，是數學分析課程中重要的概念之一，它也是研究微分學和積分學的必備工具。在數列極限的教學中，有很多學生總感到理解數列極限概念很困難，認為ε-N定義中的符號關系復雜，不易理解。本文對數列極限概念的教學過程進行了如下設計。

一、介紹極限發展歷史

極限思想的萌芽可以追溯到中國戰國時期和古希臘時期，但極限概念首次出現于沃利斯的《無窮算數》中，牛頓在其《自然哲學的數學原理》一書中明確使用了極限這個詞并作了闡述。18世紀下半葉，達郎貝爾等人認識到把微積分建立在極限概念的基礎之上，微積分才是完善的，柯西最先給出了極限的描述性定義，之后，魏爾斯特拉斯給出了極限的嚴格定義。

教師通過對極限發展歷史的簡單介紹，能加強學生對極限概念的感性認識。

二、列舉極限相關的例子，為引入極限定義作鋪墊

例1[1]：古代哲學家莊周的《莊子·天下篇》引用過一句話：一尺之棰，日取其半，萬世不竭。其含義是：一根長為一尺的木棒，每天截下一半，這樣的過程可以無限制地進行下去。

分析：把每天截下部分的長度列出如下（單位為尺）：第一天截下，第二天截下，……，第n天截下，……，這樣就得到一個數列。觀察易知，數列的通項隨著n的無限增大而無限地接近于0。

例2[2]：介紹劉徽創立的“割圓術”。

我國古代杰出的數學家劉徽于魏景元四年（公元263年）創立的“割圓術”，他通過借助于圓的一串內接正多邊形的周長數列的穩定變化趨勢定義了圓的周長。其作法是：首先作圓的內接正六邊形，其次平分每個邊所對的弧，作圓的內接正十二邊形，以下用同樣的方法，繼續作圓的內接正二十四邊形，圓的內接正四十八邊形，等等。這樣我們就得到了一串·圓的內接正多邊形的周長數列：P6，P12，其中通項表示第n次作出的圓的內接正2n-1·6邊形的周長。觀察，我們知道圓的內接正多邊形的邊數成倍無限增加時，這一竄圓的圓的內接正多邊形的周長數列趨向于某個常數C。于是我們可以將C定義為該圓的周長。

通過對以上三個例題的分析，讓學生對數列極限有個初步認識。

三、數列極限定義

定義：設{an}為數列，a為常數。若對任給的正數ε，總存在正整數N，使得當n＞N時有|an-a|＜ε，則稱數列{an}收斂于趨向于1，（-1）n則在-1，+1之間擺動，a，a稱為數列{an}的極限，并記作若數列數列{an}沒有極限，則稱{an}不收斂，或稱{an}為發散數列。

為了更好地理解極限的定義，我們給出以下注意事項。

注：1.ε的雙重性。首先ε具有絕對的任意性，這樣就保證了數列{an}無限趨向與a。另外一方面，ε具有相對的固定性，一旦取定ε，我們就可以估算an與a的接近程度。ε的雙重性使得數列極限的ε-N定義，既能從近似轉化為精確，又能從精確轉化為近似，它是掌握極限定義的關鍵。

2.N的存在性。在極限定義中，重在N的存在性，且N的存在性是與ε相關的。定義中并沒有要求N的唯一性，也就是說一旦ε任意給定后，我們只要能夠找到滿足條件的N即可。

3.極限的幾何意義。在平面坐標系中，數列{an}對應于數軸上的一竄點，對于任意的ε，存在正整數N，使得當n＞N時，所有點an均在開區間（a-ε，a+ε）內。故至多N個點an在這區間外。

4.收斂與發散的數學符號敘述。

數列 {an}收斂??a∈R，?ε＞0，?N∈N+，?n＞N，有|an-a|＜ε。

數列{an}發散??a∈R，?ε0＞0，?N∈N+，?n0＞N，有|an0-a|≥ε。

四、例題講解

通過上面兩個例題的詳細講解，總結出求數列極限的一般步驟，并強調證明數列極限過程重在尋找合適的，我們可以采取“限定”和“放大”的方法來尋找N。然后再講解幾個求數列極限的證明題，照總結的證明步驟，一步一步證明，以此加深學生對知識的理解。最后在學生對證明數列極限方法有了一定的熟練后，再舉兩個證明數列發散的題目。通過嚴格的分析證明，結出證明數列發散的一般步驟，對比證明數列收斂的步驟，找出他們各自的證明難點，從而加深對數列極限的理解。

五、總結知識，布置作業

教師要帶領學生回顧數列極限的定義及其理解的難點，理清證明數列收斂和發散的一般步驟，讓學生做到心中有數。最后，教師布置幾個證明數列極限收斂和發散的作業，以此來考察學生對知識的掌握程度及其遇到的問題。

[1]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]劉玉璉，傅沛仁，等.數學分析講義[M].北京：高等教育出版社，2003.

O171

A

1674-9324（2014）28-0093-02

蔡鋼（1984-），男，重慶巴南區人，講師，博士生，主要從事泛函分析研究。