“尺規”往事

一、你知道“尺規”在我國古代的另一名稱嗎？

在我國古代又把“尺規”叫做“規矩”.有句俗語，叫做“不以規矩，不成方圓”，那么究竟什么叫“規”？什么叫“矩”呢？

“規”我們都已經知道，就是圓規，就是用來畫圓的工具.但你知道在我國古代甲骨文中就已經有“規”這個字嗎？它在甲骨文中就像手執規畫圓的樣子.

“矩”其實就是我們現在所見到的木工使用的角尺，由長短兩尺相交成直角而成，兩者間用木桿連接以使其牢固.其中短尺叫勾，長尺叫股.引申到我們現在也可指“沒有刻度的直尺”了.

圖1為我國東漢初（1世紀）山東歷城武梁祠石室造像中“伏羲氏手執矩，女媧氏手執規”圖的“矩”.

矩的使用是我國的一個發明，它不但可以畫直線、直角，加上刻度可以測量，還可以代替圓規.甲骨文中也有矩字，且可追溯到傳說中的大禹治水（公元前2000年）時.

《史記》卷二記載大禹治水時“左準繩，右規矩”.趙爽注《周髀算經》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高下之勢，……乃勾股之所由生也”.意即禹治洪水，要先測量地勢的高低，就必定要用勾股的道理.這也說明矩起源于很遠的古代.

春秋時代也有不少著作涉及規矩的論述.《墨子》卷七中說：“輪匠（制造車子的工匠）執其規矩，以度天下之方圓.”《孟子》卷四中說：“離婁（傳說中目力非常強的人）之明，公輸子（即魯班，傳說是木匠的祖師）之巧，不以規矩，不能成方圓.”可見，在春秋戰國時代，規矩已被廣泛地應用于作圖、制作器具等方面了，由于我國古代的矩上已有刻度，因此使用范圍較廣，具有較強的實用性.

二、你知道“尺規”在古代希臘的情況嗎？

是誰首先提出了尺規作圖？最早提出幾何作圖要有尺規限制的是古希臘的哲學家安那薩哥拉斯，傳說，這是他在牢房里思考作圖問題而引起的.

我們知道，古代希臘人較重視規、矩在數學中訓練思維和智力的作用，當然他們就忽視規矩的實用價值了.因此，在作圖中對規、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺規作圖問題.

到底什么是尺規作圖呢？所謂尺規作圖，就是只準有限次地使用沒有刻度的直尺和圓規進行作圖.

安那薩哥拉斯首先提出作圖要有尺規限制.他因政治上的糾葛，被關進了監獄，并被判處死刑.傳說，在監獄里，他思考改圓成方以及其他有關問題，用來打發令人苦惱的無所事事的生活.他不可能用規范的作圖工具，只能用一根繩子畫圓，用隨便找來的破木棍、竹片之類作直尺，當然這些尺上就不可能有刻度.另外，對他來說，時間不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺規解決問題.后來以理論形式具體明確這個規定的是歐幾里得，他在《幾何原本》中對作圖作了三條規定（公設）.由于《幾何原本》的巨大影響，希臘人所崇尚的尺規作圖也一直被遵守并流傳下來.

我們已經知道，由于對作圖工具的限制，使得一些貌似簡單的幾何作圖問題無法解決.最著名的是被稱為幾何三大問題的三個古希臘古典作圖難題：立方倍積問題、三等分任意角問題和化圓為方問題.當時很多有名的希臘數學家，都曾著力研究過這三大問題，雖然借助于其他工具或曲線這三大難題都可以解決，但由于尺規作圖的限制，卻一直未能如愿以償.以后近2 000年來，幾十代人為之絞盡腦汁，均以失敗告終.

你知道是誰何時證實了“三大難題”在所給的條件下是不可能解決的嗎？1637年笛卡兒創建了解析幾何，尺規作圖的可能性才有了準則；1837年，萬芝爾證明了立方倍積和三等分任意角問題都屬尺規作圖不可能問題；1882年林德曼證明了π是超越數，化圓為方問題不可能用尺規作圖解決，這才終于結束了歷時2 000年的數學難題公案.

一個未知量能由已知量用尺規作出的必要條件是什么呢？是該未知量能由已知量用有限次的加、減、乘、除及開平方算出.若問題中要求作出的未知量的表達式的運算超出了以上運算的范圍，就不可能用尺規作圖作出，該問題即屬尺規作圖不可能問題了.

關于這些著名作圖題的起因雖有各種說法，但數學史家推測，實際上這些作圖題是希臘人在解出了一些作圖題之后才想起的.因任意角可二等分，自然就想搞三等分.因以正方形對角線為一邊的正方形有兩倍于前者的面積，就理所當然地提出相應的立方體問題.化圓為方問題是希臘人求作一定形狀的圖形使之與給定圖形等面積這類問題中的典型問題.此外還有求作正七邊形或更多邊數的正多邊形問題就不那么出名了.但這也是在作出正方形、正五邊形、正六邊形之后引申出來的問題.