導數學習中的常見誤區

夏春南

摘 要： 導數是高中數學中非常重要的知識點，也是解決函數問題非常重要的一種方法.本文首先指出了學生在導數學習中存在的一些常見誤區，然后結合案例分析了錯因，最后總結出特殊情況代入檢驗的方法，學生相對易操作.

關鍵詞： 導數 學習誤區 檢驗

導數是高中數學中非常重要的知識點，也是解決函數問題的一種非常重要的方法.隨著新課程的不斷深入，導數已從解決問題中的輔助地位上升到分析問題和解決問題必不可少的工具，特別是解決一些復雜的函數問題，有它獨到之處.學生在各級各類考試中經常遇到，但在理解上存在一些常見的誤區.

誤區1：函數單調遞增時導數值一定是f′（x）≥0嗎？

題1：若函數f（x）=3x +ax在（1，+∞）上單調遞增，求實數a的取值范圍.

導數求解方法：求導得f′（x）=6x+a，等價于6x+a≥0在（1，+∞）上恒成立，變量分離得a≥-6x，故a≥-6.利用導數研究含有參數的單調性問題時，為避免學生漏掉等號取得的情況，如本題中經常會漏掉f′（x）=0的情況，因此教師反復強調的是含參問題時導數值應滿足f′（x）≥0.但學生課后問了我這樣一道題，讓我感覺意外和驚訝.

題2：函數y= 在區間（-2，+∞）上為增函數，求實數a的取值范圍.

學生解法1：求導得y′= = ，由y′≥0得a≥ ，標準答案是a> ，錯在哪里呢？導數方法中含參問題單調遞增要求f′（x）≥0，有問題嗎？為了找尋正確答案，而后我和學生一起分別從圖像變換角度和單調性定義兩個方面分析計算得a> .

解法2：分離系數得y= = =a+ 在（-2，+∞）上單調遞增，由反比例函數圖像變換得1-2a<0，故a> .

解法3：（定義法）設x ，x 為（-2，+∞）上的任意兩個數，且x

f（x ）-f（x ）= - = =

由f（x）在（-2，+∞）上為增函數，故f（x ）-f（x ）<0，1-2a<0，故a> .

【分析】通過檢驗我們發現：當a= 時，y= = 是一個常數函數，不滿足嚴格單調遞增，但f′（x）=0恒成立，也就滿足f′（x）≥0成立，為此查閱了大學中數學分析的課本.

定理1：若函數f（x）在區間（a，b）內可導，則f（x）在（a，b）內遞增（遞減）的充要條件為f′（x）≥0

f′（x）≤0，x∈（a，b）.

定理2：若函數f（x）在區間（a，b）內可導，則f（x）在（a，b）內嚴格遞增（遞減）的充要條件為

（1）對一切x∈（a，b），都有f′（x）≥0（f′（x）≤0）；

（2）在（a，b）內的任何子區間上f′（x）不恒等于0.

定理1中的遞增包括了嚴格單調遞增和常數函數兩種，運用定理2的充要條件時我們常常忽略了第（2）點常數函數的情形.

誤區2：導數為0一定極值點嗎？

熟知的反例有y=x ，在x=0處導數值為0，但這點不是極值點，y′=3x ≥0恒成立，但很多學生遇到具體題目時卻經常會忽視考慮這種情況.

題目3：若關于的函數f（X）=- x +bx +cx+bc，若函數f（x）在x=1處有極值- ，求b，c.

學生解法：求導得f′（x）=-x +2bx+c，由f′（1）=0f（1）=- 得c=-1b=1或c=3b=-1.

【分析】學生往往解到這里就完了，但是事實上，經檢驗：當c=-1，b=1時，f′（x）=-x +2x-1=-（x-1） ≤0恒成立，函數在（-∞，+∞）上單調遞減，因此沒有極值點，故導數為0不一定是極值點，導數為0是為該點為極值點的必要條件.

誤區3：函數不單調等價于導函數方程有解嗎？

題目4：已知函數f（x）=x -3kx在x∈[-1，1]上不單調，求k的取值范圍.

學生解法：求導得f′（x）=3x -3k，函數在[-1，1]上不單調，即在[-1，1]上有極值點，則方程3x -3k=0在x∈[-1，1]上有解，轉化為求函數k=x ，x∈[-1，1]的值域，則k∈[0，1].

【分析】這是很多學生的解法，但事實上檢驗可知：當k=0時，f（x）=x 在x∈[-1，1]為單調遞增函數，故k≠0；當k=1時，f（x）=x -3x在x∈[-1，1]為單調遞減函數，故k≠1，故k∈（0，1）.

函數在[-1，1]上有極值點等價于導函數方程有解嗎？極值點還需滿足附近導數符號為異號.

導數是大學微積分的重要內容，雖然高中教材中引入了導數，但很多時候教師只能照本宣科，或拿結論做題，就題論題，這從一定程度上客觀造成了學生理解上的缺失.因此，一方面，教師要對教材心領神會，對導數的來龍去脈清清楚楚，要知其所以然.另一方面，在解題過程中要教給學生檢驗的方法，特殊值可以特殊對待，滿不滿足代入試試看，這樣的方法簡單易操作.

參考文獻：

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