淺談概率課堂教學中的傳道解惑

王敏玲

摘 要： 概率論的難學，和教材、內(nèi)容有關。內(nèi)容抽象、教材文字過于精煉，它的“硬傷”幾乎掩蓋了自身內(nèi)容體系的邏輯性光芒，讓學生望而卻步。教師要完成傳道解惑的任務，應從哪些方面入手呢？本文試就此問題展開討論。

關鍵詞： 概率課堂教學 傳道解惑 教材 內(nèi)容

概率論和高等數(shù)學、線性代數(shù)是大學里普遍開設的三門公共數(shù)學課程（但個別文科專業(yè)如外語、文學等相關專業(yè)免學），學習難度上可以說是三門課之最。分析原因，和概率論的教材、內(nèi)容有關。

先說教材。不少理科數(shù)學的教材都以文字精練、內(nèi)容準確著稱，這當中也包括概率教材。從定義到性質(zhì)，然后是例題、思考題，文字組織做到盡可能的精煉；沒有了歷史來源，看不到學派爭鋒，順帶抹殺了學生讀書的趣味，直接把他們推到照葫蘆畫瓢的題目訓練中，固化了學生的思維。相對來說，文科的教材讀起來就有趣很多[1]。

再說內(nèi)容。從古典概率到隨機變量，從理論到現(xiàn)實規(guī)律的映射，以及后續(xù)數(shù)理統(tǒng)計的基本知識，可謂從簡單到深刻，環(huán)環(huán)相扣，富于邏輯性。但是概率本身也有抽象和精煉的特點，這給學生的自主學習設置了一道實實在在的門檻，以至于學生不得不寄希望于老師幫助排除疑難。

所以，在概率論的課堂上，我認為教師應擔負主導者的角色，做好課堂規(guī)劃，設置好留給學生的部分時間，引導他們閱讀概念，練習題目；這期間，教師應完成傳道解惑的基本任務。自己的基本任務完成了，剩下的思維訓練、舉一反三就是學生的任務了，就交給學生去完成。雖然教學改革中的一種說法是，網(wǎng)絡遠程授課是一個趨勢；但是限于配套設施的不完備，目前的階段還是教師承擔著高校授課的主要角色。

那么，教師要完成傳道解惑的任務，那就是要把課講清楚，盡量用學生可接受的語言來講解。教師的解釋延伸到哪里，學生的理解和領悟就延伸到哪里。我對自己的授課做了歸納，建議老師們不妨從以下幾點入手，把知識傳授給學生的時候，傳授得“簡單”一點。

一、挖掘隱含信息，表述清楚，層層遞推

舉例。題目如下：概率論的課堂上現(xiàn)有120107和120108兩個班級，簡稱7班和8班；兩班的人數(shù)分別是49、46。現(xiàn)在隨機選取20名學生，問其中只有5名7班學生的概率是多少？

我們?nèi)匀挥玫仁矫枋鲱}目信息就是：共計95名學生=49名7班+46名8班；事件A：任選20名學生=5名7班+15名8班。

問題1：事件A已經(jīng)很明確了，要考慮事件A的實現(xiàn)方式。換句話說，為了實現(xiàn)事件A，怎么選取學生？有幾種選取方式？

問題2：所有可能結果稱為樣本空間，那么樣本空間中可能的結果總數(shù)有多少種？

問題3：古典概率的計算公式是——A中包含樣本點的數(shù)目和樣本空間S中包含樣本點數(shù)目的比值，那么本題的結果是多少？

上面問題1是關鍵。所以此處只是說明問題1。其實書[1]此題前面的若干例子已經(jīng)表明：古典概率中選取對象的方式包括排列、組合兩種；切換到本題，就是要明確一點：選取的20名同學，是要綜合考察選取的所有排列還是簡單考慮選取組合？

實際上，為了達成事件A的具體實現(xiàn)方式有多種，比如：第一次選7班的同學，第二次8班的同學，或者相反，總之，要保證有5名7班的同學。只要講清楚，盡管具體實現(xiàn)過程多樣，但本題并不涉及具體過程的細節(jié)，只關注了不計班級次序的選取結果。也就是說，不考慮排列，只考慮組合，那么問題1的答案就很明朗了。

明確了事件A中的樣本點是20名學生的一個組合后，為了實現(xiàn)事件A，不管選取的班級次序，只需要選到5名7班的學生和15名8班學生。共有49名7班學生，選5名學生作為一組，這樣的組合數(shù)共有C 種方式；再給組合選入15名8班學生，8班學生有46個學生可以選擇，共有C 種選擇方式。事件A的實現(xiàn)方式可以組織為2個步驟完成，每個步驟均按組合選取。事件A描述的20名學生的取法實現(xiàn)方式有C ·C 種。

最終，我們得到選取20名學生、其中只有5名7班學生的概率是一個超幾何公式：C ·C /C 。得到這個公式的前提是7班和8班同學沒有公共子集。回到原來的產(chǎn)品隨機抽取的題目，相信也能夠很快得到答案。

上述步驟，也被稱為“讀題”，就是把隱含的信息挖出來。

二、背景介紹，不可或缺

關于隨機變量的引入，教材以樣本點的函數(shù)作為隨機變量的定義。那么我們可以在這之前來一段背景說明會更好。

概率論最早研究的對象是古典概率。17世紀，牛頓和萊布尼茨各自發(fā)明了微積分。而微積分的研究對象是變量和函數(shù)。微積分很快被用到各領域中，概率也不例外。概率論這門課本身就是研究描述自然界事物發(fā)展規(guī)律，同時周圍的世界變量無處不在。要研究概率論，必須研究變量。而研究變量，也就成就了對概率論這門學科的研究。引入隨機變量之后，古典變量的幾乎全部概念——條件概率、獨立性等，統(tǒng)統(tǒng)使用變量重新加以刻畫；并且引入新的概念和方法，促進了概率論的蓬勃發(fā)展。

三、把握對比，尋找差異

在概率論中，有一個概念是“概率密度函數(shù)”，也簡稱“概率密度”。這和物理中的密度有關系嗎？引用物理學中的符號，令m：質(zhì)量，ρ：密度，v：體積，則有m=ρv。換成平面金屬薄板，則有m=ρs，其中，s：面積。由于加工工藝中的冷熱受熱不均，金屬薄板的厚薄程度不一致，造成它的密度不均勻。一點附近的密度越大，說明這點附近的質(zhì)量越大；反過來，一點附近的質(zhì)量越大，說明這點的密度也較大。這個密度，是質(zhì)量的密度。但當時我們沒有接觸其他密度，所以簡稱為密度，不會引起混淆。

到了這里，我們得到一個公式：

p=P（x -h

在x 鄰域U（x ，h）的概率p和數(shù)值f（x ）成正比。數(shù)值f（x ）越大，x 鄰域U（x ，h）內(nèi)的概率也越大；反之亦然。那么這個f（x ）反映了概率在x 鄰域U（x ，h）的分布密集程度，可以類比的稱其為——概率的密度。

就幾何圖形而言，y=f（x）的圖像是一條連續(xù)曲線或者分段連續(xù)曲線，函數(shù)值y越大，說明相應的自變量x處附近聚集的概率也越大；反之，函數(shù)值y越小，說明相應的自變量x處附近聚集的概率也越小。

至此，物理中的密度，我們稱為質(zhì)量的密度。

再談談一維隨機變量和二維隨機變量的一點區(qū)別。

設X代表在校本科生的年齡，在x軸上取值。以隨便給X施加一個約束范圍，如16

到了二維連續(xù)隨機變量，概率密度f（x，y）的幾何圖像是一個曲面；同質(zhì)量的密度一樣，這是一個不真實存在、假象的曲面。每一次隨機試驗，會得到隨機向量（X，Y）的一組取值（x，y），這組取值這次是（x ，y ，下次是（x y ，取值具有隨機性，是XOY直角坐標平面上的一個動點。假定X：身高，Y：體重。隨便給（X，Y）一個約束條件，如：100

在概率論的教學中，需要細心體會，總結差異，這樣才能帶給學生左右逢源的開朗境地。

四、對隨機變量的分布進行模擬

前面提到，概率論的教材具有抽象性。比如，在對概率密度的引入上，教材采取了先引入分布函數(shù)F（x）的定義、再借助關系式

F（x）=f（t）dt

而引入概率密度f（x）。這里，分布函數(shù)與概率密度的關系是明確的，但遺憾的是對于學生來說，寥寥數(shù)語的介紹，無異于蜻蜓點水，沒有清晰度可言。

如何把抽象的內(nèi)容變得具體化？可以對隨機變量的分布進行統(tǒng)計模擬。包括一維隨機變量、二維隨機變量、大數(shù)定律和中心極限定理等的統(tǒng)計模擬。概率的很多結論均來源于統(tǒng)計，統(tǒng)計是概率知識的來源之一。我們用統(tǒng)計模擬概率結論，某種程度上說，是回到“源頭”認識概率論。

下面我們將分別模擬經(jīng)驗分布函數(shù)和頻率直方圖，并粗略驗證兩者的關系。

引入問題背景。設X：表示銀行排隊的等待時間，服從參數(shù)為5的指數(shù)分布。那么隨機生成20個數(shù)據(jù)，排序并計算經(jīng)驗分布函數(shù)。EXCEl繪制的經(jīng)驗分布函數(shù)散點圖如圖1。

這是一個非單調(diào)下降的圖形。下界取0，上界取1。分布函數(shù)的相關性質(zhì)均可在圖1中顯示出來。

提問：在圖一中，比較X=1和X=6，哪個點附近聚集的概率較大？為什么？

上述問題對應著函數(shù)變化快慢的問題；而表征函數(shù)變化快慢的量就是斜率——導數(shù)，從而我們再模擬出這個“斜率”圖形。概率中與斜率對應的就是概率密度；放到統(tǒng)計學中，我們可以用直方圖來模擬。采用EXCEL模擬的大致過程為：設置X軸范圍[0，14]，等分為14個小區(qū)間；計算每個小區(qū)間上數(shù)據(jù)點的頻率，作為縱坐標y，以小區(qū)間的中點作為橫坐標x；將x序列和y序列描點連線作圖即得。

對比可發(fā)現(xiàn)，圖2是圖1的導數(shù)的反映，盡管不夠百分百準確。比如（0，1）區(qū)間內(nèi)，經(jīng)驗分布函數(shù)F（x）的斜率相對是偏大的，吻合圖2中X在0.5處取得（0，1）區(qū)間上頻率最大值。另外，因為是模擬指數(shù)分布，故此圖形是一條（近似）單調(diào)下降的曲線。

明顯可以看到：圖2中，所有的頻率值的總和為1，對應了概率密度在實數(shù)軸上的累計總概率為1，即（x）dx=1。

這樣一來，學生就知道了分布函數(shù)的定義和性質(zhì)，以及概率密度的由來。原來這些定義均來源于實際的統(tǒng)計勞動，而非憑空設想臆斷。

關于其他背景下的模擬，本文不再贅述。

五、引入課程設計，作為考核方式之一

目前的考核方式主要是平時成績、期末成績的加權配比計分制，缺少實踐和實踐考核方式。有必要引入課程設計，采用平時、期末、課程設計三位一體的計分制。

引入課程設計的好處，既促使了學生的自主思考，又提升了學生的寫作水平，有利于學生的均衡發(fā)展。關于課程設計的題目，考慮到概率論課程和其他橫向課程的聯(lián)系，比如與數(shù)學建模課程、統(tǒng)計課程等的聯(lián)系，可以寫將概率論的內(nèi)容作為數(shù)學建模的討論對象解題，或者將概率論與統(tǒng)計的聯(lián)系作為討論對象。另外，使用EXCEL軟件模擬概率論的結論也可以納入課程設計題目范疇，不過這類題目需要以學生對EXCEL軟件能夠靈活使用為前提，這不屬于概率論課程的教學內(nèi)容，所以能夠鍛煉學生的課外實踐能力，給那些感興趣的學生提供一次練習的機會。

參考文獻：

[1]張國楚.大學文科數(shù)學（第二版）.高等教育出版社，2007（3）.

[2]盛驟等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計（第四版）.高等教育出版社，2008（6）：12.

[3]徐稼紅.高中數(shù)學新課程叢書Excel、word與數(shù)學教學.江蘇教育出版社，2006（4）.

廣東省普通高校專業(yè)綜合改革——信息與計算科學資助項目。