一元非線性回歸方程系數的通解

□ 別必鑫魏世麗

（1.武漢市洪山區房管局測繪隊，湖北武漢430070；

2.太原理工大學測繪科學與技術系，山西太原030024）

一元非線性回歸方程系數的通解

□ 別必鑫1魏世麗2

（1.武漢市洪山區房管局測繪隊，湖北武漢430070；

2.太原理工大學測繪科學與技術系，山西太原030024）

一元非線性回歸是一種應用很廣泛的統計分析方法，其基本處理方法是通過數學變換，以直接觀測值的函數作為因變量，將非線性模型轉換成線性模型，然后用最小二乘法（LS法）計算回歸系數。本文討論了一元非線性回歸模型的通解，并以九種相對常見的一元非線性模型為例，給出了它們回歸系數解的具體表達式。

一元非線性回歸；回歸系數；通解

0.引言

回歸分析作為一種最基礎、最重要的統計分析方法,在眾多學科領域包括測繪[1]領域得到了重要而廣泛的應用。在建立實驗模型和理論模型的檢驗系統中，回歸分析起著不可或缺的作用。在統計學中，回歸分析包括進行建模和分析幾個變量的任何技術，其焦點在于一個因變量和一個或多個自變量之間的關系。根據自變量和因變量之間的關系類型，回歸分析可以分為線性回歸模型和非線性回歸模型[2]。在實踐中，一些簡單實用的非線性模型應用很廣泛[3-4]。相對常見的非線性模型包括指數模型、冪指數模型、正態分布模型、增長模型和雙曲線模型等。一元非線性回歸的常用處理方法是通過數學變換，以直接觀測值的函數作為因變量，將非線性模型轉換成線性模型，然后用最小二乘法（LS法）計算回歸系數[5-6]。本文探討了一元非線性回歸方程系數的通解，并以指數函數等九種相對常見的一元非線性回歸方程為例，給出了它們回歸系數解的具體表達式。

1.一元線性回歸方程的通解

設線性回歸方程的一般形式

數學模型是

由最小二乘法得線性回歸的法方程

式（4）和式（5）是線性回歸方程式（1）的回歸系數解的一般形式。根據線性回歸方程的一般形式，可直接寫出不同回歸模型的一元線性回歸和可轉換成一元線性回歸的非線性回歸的解。

2．常用一元非線性回歸方程的解

一元非線性回歸模型線性化處理的基本方法是通過數學變換，以直接觀測值的函數作為因變量，所得到的改正數是觀測值函數的改正數。這也是將一元非線性回歸轉換成一元線性回歸的一種常用方法。幾個相對常見的非線性回歸模型如下：

2.1 指數函數

數學模型為

2.2 冪函數

數學模型為

2.3 正態分布函數

數學模型為

2.4 生長函數（邏輯函數）

數學模型為

數學模型為

2.6 生長曲線函數

回歸方程為

數學模型為

2.7 復合曲線函數

數學模型為

2.8 S形曲線函數

數學模型為

比較式（20）和式（2），用1

2.9 Logistic曲線函數

數學模型為

3.結論

回歸分析分為線性回歸和非線性回歸兩種不同的模型。在實踐中，一些簡單實用的非線性回歸模型應用很廣泛。一元非線性回歸的基本處理方法是通過數學變換，以直接觀測值的函數作為因變量，將非線性模型轉換成線性模型，然后用最小二乘法（LS法）計算回歸系數。本文探討了一元非線性回歸方程系數的通解，并以指數函數等九種相對常見的一元非線性回歸方程為例，給出了它們回歸系數解的具體表達式，為非線性回歸分析在測繪等領域方面的應用提供了參考依據。需注意的是，并非所有的非線性模型都可轉化為線性模型，對于無法直接線性化的非線性回歸模型的處 理，今后仍需進一步探討。

【1】郝剛,于啟升.穩健統計方法在老采空區沉降數據處理中的應用[J].現代礦業,2010,2（2）:76-78.

【2】謝宇,回歸分析[M].北京:社會科學文獻出版社,2010.

【3】Lemonte,A.Local power of some tests in exponential family nonlinear models[J].Journal of Statistical Planning and Inference,2011,141:1981-1989.

【4】Primeau,F.On the variability of the exponent in the power law depth dependence of POC flux estimated from sediment traps[J].Deep Sea Research Part I,2006,53:1335-1343.

【5】韓兆洲,汪建華.線性化最小二乘法的理論分析[J].統計與決策,2009,（10）:29-30.

【6】Cizek,P.Least trimmed squares in nonlinear regression under dependence[J].Journal of Statistical Planning and Inference,2006,136:3967-3988.

O241.7

A

2095-7319（2014）06-0055-05

別必鑫（1963—），男，高級工程師，武漢市洪山區房管局測繪隊，畢業于武漢大學測繪學院，主要從事工程測量工作和房產測繪工作。