三次平面H-Bézier螺線

蔡華輝， 柳炳祥， 程 燕

（1. 景德鎮陶瓷學院信息工程學院，江西 景德鎮 333000；2. 景德鎮陶瓷學院設計藝術學院，江西 景德鎮 333000）

三次平面H-Bézier螺線

蔡華輝1， 柳炳祥1， 程 燕2

（1. 景德鎮陶瓷學院信息工程學院，江西 景德鎮 333000；2. 景德鎮陶瓷學院設計藝術學院，江西 景德鎮 333000）

基于光順曲線設計需求，一條曲率單調且曲率正負不變的三次平面H-Bézier螺線段被構造。由于此螺線具有起點曲率為零的特性，它可以替代回旋曲線作為道路設計中的緩和曲線。同時螺線還含有形狀參數，故它具有曲線形狀可調性的優點。最后，利用此H-Bézier螺線，構造了兩直線間滿足G2連續的緩和曲線。

H-Bézier螺線；單調曲率；緩和曲線

螺線，是曲率恒正或恒負，且曲率單調變化的平面曲線[1]。由于螺線在曲線內部不包含曲率極值點、拐點，它非常適合軌道路徑設計、曲線光順等工程應用。例如歐拉螺線，即回旋曲線，具有曲率和弧長成比例的優美特性，在道路軌道設計[2]和物體輪廓缺失邊界的修復[3]等領域都有大量應用。盡管Bézier多項式曲線在計算機輔助幾何設計(CAGD)中被廣泛地使用，但其曲率單調性判別是困難的， 因此許多學者提出構造多項式螺線用來設計光順曲線。Mineurl等[4]提出了一類單調的多項式曲線，但其沒有拐點（曲率為零點），這大大限制了它的作用。Walton和Meek[5]模仿歐拉螺線，提出了一條起點曲率為0的三次Bézier螺線段，同時利用這條三次螺線替代歐拉螺線作為道路設計中的緩和（過渡）曲線，取得了良好效果。后來，Walton和Meek[6-7]推廣三次螺線用于G2Hermite插值。Habib和Sakai[8-9]也對多項式螺線進行了廣泛研究。Yoshida等[10-11]推廣歐拉螺線曲率和弧長成比例的特性為曲率對數與弧長成比例，設計了一類用超越函數表示的

曲線：Log-aesthetic curves(LACs)，用于汽車輪廓和字體設計取得了良好的效果。

另一方面，為了克服Bézier曲線不能精確表示雙曲線、懸鏈線等超越曲線的弊端，許多學者提出了不同函數空間的類Bézier曲線。Zhang[12]提出了基于空間的三次C-Bézier曲線，Chen和Wang[13]把它推廣到任意高階。在空間中，Wang和 Yang[14]提出了三次 H-Bézier曲線，王媛和康寶生[15]把它推廣到任意高階，檀結慶等[16-17]討論了H-Bézier曲線的降階、拼接等算法。這些類Bézier曲線充分顯示出其既能統一表示自由曲線與懸鏈線等超越曲線，又有通過變動參數因子來調節形狀的優越性與應用潛力。為了便于類Bézier曲線用于緩和曲線和光順曲線設計，研究類Bézier螺線段的構造及其應用是十分必要的。蔡華輝和王國瑾[18-19]構造了一條含參數的三次C-Bézie螺線并應用與道路設計，但一直以來，三次H-Bézier螺線的構造方法一直沒有給出。

1 三次H-Bézier螺線

以Zi(t) 為基，以qi(i=0,1,2,3) 為控制頂點的三次H-Bézier參數曲線形式如下所示[14]：

式中：

顯然，K和M滿足利用式(2)，三次H-Bézier曲線 Qα(t)的導數可表示為

下面給出平面三次 H-Bézier螺線的構造方法：

定理1.形如式(1)的平面H-Bézier曲線，若其控制頂點滿足下列約束：式中，T0，T1分別是曲線首末端點的單位切向量，θ（0〈θ ＜π/2）為T0到T1的有向轉角，κα為終點處的曲率，L滿足

則H-Bézier曲線 Qα(t)的有向曲率 κ（ t）滿足：

證明：由式(3)～式(6)有

則曲線有向曲率

式中：

再計算 κ（ t）的導數，利用數學軟件Maple整理得：

式中：

由于 cosht在 t≥ 0單增，易判定0 ＜ t＜ α時gi（t） ＞ 0,（ i= 0,1），則故在0 ＜ t ＜ α內 κ′(t) ＞ 0,再把 t = 0,α代入式(7)、式(8)，可證定理。

可以看到，在形狀參數α確定以后，定理1確定的起點為0的H-Bézier螺線，實際上有5個自由度：起點P0的2個坐標，起點單位切向量T0, T0到終點單位切向量T1轉角θ，以及終點處曲率κα。其他3個控制頂點可由這5個自由度通過式(4)～(6)求出。同時由于三次 H-Bézier曲線在α →0是三次Bézier曲線，且當α→0時，有所以，定理1中定義的H-Bézier螺線當α →0時就是Walton和Meek[5]中定義的三次Bézier螺線段。且當α＞0時，K/S＞1，所以q1是在q0q2上靠近q0一側，這與C-Bézier螺線[18]是相反的。

圖1給出了H-Bézier螺線的例子，點線表示α=3的 H-Bézier螺線，虛線是α=2的 H-Bézier螺線，實線是α→0時的三次Bézier螺線。

圖1 三次H-Bézie螺線

在文獻[5,18]中，分別利用 Bézier螺線和C-Bézier螺線替代回旋曲線作為直線和圓弧之間的緩和曲線。很自然地，此中方法也可以推廣到H-Bézier螺線，并且α 可做為形狀參數來控制緩和曲線的形狀。由于利用H-Bézier螺線設計緩和曲線與C-Bézier的方法[18]非常類似，因此，下面只討論兩直線間的緩和曲線的構造方法，其他幾類緩和曲線構造在文中不加以詳述。

2 兩直線間的緩和曲線

定理2.如圖2，給定平面上不共線的三點P0, P,P1，則直線P0P,P1P單位方向向量及其夾角分別為

再令

式中：對κα＞0的任意常數，存在一對三次H-Bézier螺線

式中：

這對三次 H-Bézier螺線 Aα(t),Bα(t)滿足在起點處分別與直線 P0P,P1P光滑 G2接觸，且Aα(α) =B (α)，在端點處曲率的絕對值都為κα。證明：由于兩條螺線的首個控制頂點 A0,B0分別在直線 P0P,P1P上，可設

α由圖2可知，曲線 Aα(t)起點切向量T0和端點切向量T的有向轉角是式(9)所給的θ，則 Bα(t)起點切向量T1和端點切向量T的有向轉角為-θ。不妨設 Aα(t)在終點處的曲率為κα, 于是 Bα(t)在終點處的曲率就是-κα。設N是與端點切向量T成右手系的法向量，則

由定理1和式(11)，可得

再利用式(12)，上式可化為

同理可得

由于 Aα(α) =Bα(α)，則由上面兩式可得式(10)，因此定理得證。

圖2 兩直線間的一對H-Bézier螺線過渡

3 結 束 語

本文構造了一條起點曲率為零的含形狀參數α的平面三次H-Bézier螺線段。這條螺線段可以替代傳統的回旋曲線，在路徑設計等領域作為直線與圓弧之間的緩和曲線，并且還具有在保持曲率單調性不變的前提下，可通過形狀參數α微調曲線形狀的優點。但是，緩和曲線不是兩點間 Herimite插值曲線。因此，利用三次H-Bézier螺線段研究 Herimite插值是今后值得研究的一個問題。

[1] Guggenheimer H W. Differential geometry [M]. New York: Dover Publications, 1977: 48-53.

[2] Fleury S, Soueres P, Laumond J P, Chatila R. Primitives for smoothing mobile robot trajectories [J].

IEEE Transactions on Robotics and Automation, 1995, 11(3): 441-448.

[3] Kimia B B, Frankel I, Popescu A-M. Euler spiral for shape completion [J]. International Journal of Computer Vision, 2003, 54(1-3): 159-182.

[4] Mineur Y, Lichah T, Castelain J M, Giaume H. A shape controled fitting method for Bézier curves [J]. Computer Aided Geometric Design, 1998, 15(9): 879-891.

[5] Walton D J, Meek D S. A planar cubic Bézier spiral [J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 1996, 72 (1): 85-100.

[6] Walton D J, Meek D S. Curvature extrema of planar parametric polynomial cubic curves [J]. Journal of Computational Applied Mathematics, 2001, 134(1-2): 69-83.

[7] Walton D J, Meek D S. A further generalisation of the planar cubic Bézier spiral [J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2012, 236: 2869-2882.

[8] Habib Z, Sakai M. Transition between concentric or tangent circles with a single segment of G2 PH quintic curve [J]. Computer Aided Geometric Design, 2008, 25(4-5): 247-257.

[9] Habib Z, Sakai M. Admissible regions for rational cubic spirals matching G2 Hermite data [J]. Computer-Aided Design, 2010, 42(12): 1117-1124.

[10] Yoshida N, Saito T. Interactive aesthetic curve segments [J]. Visual Computer, 2006, 22 (9): 896-905.

[11] Ziatdinov R, Yoshida N, Kim T. Analytic parametric equations of log-aesthetic curves in terms of incomplete gamma functions [J]. Computer Aided Geometric Design, 2012, 29(2): 129-140.

[12] Zhang Jiwen . C-curves: an extension of cubic curves[J]. Computer Aided Geometric Design, 1996, 13(3):199-217.

[13] Chen Qinyu, Wang Guozhao. A class of Bézier-like curves [J]. Computer Aided Geometric Design, 2003, 20(3): 29-39.

[14] Wang Guozhao, Yang Qinmin. Planar cubic hybrid hyperbolic polynomial curve and its shape classification [J]. Progress in Natural Science, 2004, 14(1): 41-46.

[15] 王 媛, 康寶生. 代數雙曲混合H-Bezier函數及其性質[J]. 西北大學學報(自然科學版), 2006, 36(5): 693-697.

[16] 檀結慶, 王 燕, 李志明. 三次H-Bézier曲線的分割、拼接及其應用[J]. 計算機輔助設計與圖形學學報, 2009, 21(5): 584-588.

[17] 王 燕, 檀結慶, 李志明, 白 天. H-Bézier曲線的降多階逼近[J]. 計算機輔助設計與圖形學學報, 2011, 23(11): 1838-1843.

[18] 蔡華輝, 王國瑾. 三次 C-Bézier 螺線的構造及其在道路設計中的應用[J]. 浙江大學學報(工學版), 2010, 44(1): 68-74.

[19] Cai Huahui, Wang Guojin. A new method in highway route design: joining circulararcs by a single C-Bézier curve with shape parameter [J]. Journal of Zhejiang University Science A, 2009, 10(4): 562-569.

A Plane Cubic H-Bézier Spiral

Cai Huahui1, Liu Bingxiang1, Cheng Yan2
(1. School of Information Engineering, Jingdezhen Ceramic Institute, Jingdezhen Jiangxi 333000, China; 2. School of Art & Design, Jingdezhen Ceramic Institute, Jingdezhen Jiangxi 333000, China)

Based on the requirement of fairing curves design, a planar cubic H-Bézier spiral with monotone curvature of constant sign is discussed. Since this spiral segment has zero curvature at the beginning point, it is suitable for applications such as highway design where the clothoid has been traditionally used. And since the spiral also contains a shape parameter, it has the advantage of adjustable curve shape. Finally, G2continuous transition curves between the two lines are constructed by the use of the H-Bézier spirals.

H-Bézier spiral; monotone curvature; transition curve

TP 391

A

2095-302X (2014)03-0374-05

2013-10-23；定稿日期：2013-12-25

國家自然科學基金資助項目（61262038, 61164014）；江西省自然基金資助項目（2012BAB201044）

蔡華輝（1975-），男，浙江東陽人，副教授，博士。主要研究方向為計算機輔助幾何設計與計算機圖形學。E-mail：huahuicai@gmail.com