從函數定義域培養學生的數學思維能力

李金寨

（泉州經貿職業技術學院，福建 泉州 362000）

一、定義域與函數關系式

確定函數的關系式時，必須要考慮函數的定義域。

例l：判斷函數f（x）=sinx與g（x）=cosxtanx是否表示同一函數?

解：f（x）=sinx的定義域是R，

由于 f（x）與 g（x）的定義域不同，所以 f（x）與 g（x）不是相同函數。

例2：有一塊長為a的正方形鐵皮，將它的四周剪去大小相等的正方形，制成一只無蓋盒子。求盒子的體積與小正方形邊長之間的函數關系式。

解：設剪去的小正方形邊長為x，盒子的體積為υ，則有 υ=x（a-2x）2。

如果解題到此為止，則本題的函數關系式還欠完整，缺少自變量x的取值范圍。因為當自變量x取負數或不少于V的值是負數或盒子不存在，這與實際問題是矛盾的。所以還應補上自變量x的取值范圍

二、定義域與函數最大（小）值

函數最大（小）值是指函數在給定的定義域區問上能否取到最大（小）值的問題，如果不注意其定義域，或只注意其定義域，都將會導致求最大（小）值的錯誤。

例3：求函數f（x）=x2-4x +l在[1，7]上的最大值與最小值。

解 1：∵f（x）=x2-4x+1=（x-2）2-3

∴當x=2時，f（x）min=-3

解2：由于f（x）=x2-4x+1=（x-2）2-3

∵1≤x≤7，-1≤x-2≤5，1≤（x-2）2≤25

∴-2≤（x-2）2-3≤22

此時 f（x）min=-2，f（x）min=22

以上兩種解法都是錯誤的。初看結論，本題解1中沒有求得最大值，只有最小值；解2中求得最大值和最小值。產生這種錯誤的根源在于學生只是按照求二次函數最大（小）值的思路，或只按照不等式的性質來思考問題，而沒有注意到已知條件，沒有深入挖掘函數在指定區間上的實質，說明學生思維缺乏靈活性。

其實，對二次函數y=ax2+bx+c（a>0）在指定的定義域區間[p，q]上，它的最大（小）值應分為以下情況：

此時 f（x）min=f（p），f（x）=f（q）

此時 f（x）min=f（q），f（x）min=f（p）

因此本題的解法是：

1998年6月19日，寧夏自治區政府決定設立寧夏扶貧揚黃灌溉工程紅寺堡開發區，行政隸屬關系上隔斷其與有關市縣的聯系。同年11月，決定成立寧夏揚黃灌溉移民工作小組，下設紅寺堡區管理委員會，為縣級機構統一管轄開發范圍內的鄉、村各級組織。成立了紅寺堡區揚黃灌溉指揮部，開始了長達10多年移民工程。

∵f（x）=x2-4x+1=（x-2）2-3

∴當x=2時，f（x）min=-3

又 l≤x≤7，

∴f（1）=-2，f（7）=22

因而 f（x）min=max{f（1），f（7）}=f（7）=22

這個例子說明在函數定義域受到限制時，若能注意定義域對函數最大（小）值的影響、在解題過程中加以注意，便體現出學生思維的合理性。

三、定義域與函數值域

函數的值域是該函數全體函數值的集合。當定義域和對應法則確定以后，函數值域也隨之而定。因此在求函數值域時，應把握函數的定義域。

剖析：經換元后，應有t≥0

而函數y=2（t2+1）+t=2t2+t+2在[0，+∞）內是增函數

所以當t=0時，ymin=2

故所求的函數值域應是[2，+∞）

例4說明，變量的允許值范圍對正確思維是何等重要，若能發現變量隱含的取值范圍，拓寬解題思維的過程，就可以避免錯誤結果的產生。

四、定義域與函數的單調性

函數的單調性是對某個區間而言的，是指在給定的定義域區間上函數自變量增加時，函數值隨之增減情況。因而討論函數的單調性必須在定義域內進行。

例5：求函數y=log2（6-x-x2）的單調區間。

解：先求定義域

∵6-X-X2>0，

∴-3

即y=10g2（6-x-x2）的定義域是（-3，2）

又u=6-x-x2的對稱軸是x= -

因此y=log2（6-x-x2）的單調遞增區間是（-3，-單調遞減區間是：[-，2）

如果在解題時，沒有在定義域區間內考慮函數的單調性，說明學生對單調性的概念一知半解，學生的思維缺乏深刻性。

五、定義域與函數的奇偶性

判斷函數的奇偶性，應先考慮該函數的定義域是否關于坐標原點成中心對稱，如果定義區間與坐標原點不成中心對稱，則函數的奇偶性無從談起。否則，可以用奇偶性的定義進行判斷。

例6：判斷函數 f（x）=x2，x∈[-l，3]的奇偶性

解：由于函數定義域區間[-l，3]關于原點不對稱，所以函數f（x）=x2，x∈[-l，3]是非奇非偶函數。

若學生像這樣思維解題，能體現思維的敏捷。如果學生不注意函數定義域，只是從函數奇偶性的定義照搬硬套，可能會得出如下結果：

∴函數 f（x）=x2，x∈[-1，3]是偶函數

產生此類錯誤是沒有判斷該函數定義域區間是否關于原點成中心對稱作為前提，直接加以判斷所造成的，這是學生極易忽視的步驟，也是造成結果錯誤的原因。

六、定義域與分段函數

分段函數是指函數在定義域中，對自變量z的不同取值范圍，它的對應關系不同，也就是分段函數在定義域區間中的不同小區間有不同的表達式。如果求分段函數中自變量若取某一個值時的函數值，就必須判斷自變量取該值時所對應的小區間，才能準確進行計算。

解：∵-4＜0

∴f（-4）=-4+4=0

F[f（-4）]=f（0）=1

于是 f{f[f（-4）]}=f[f（0）]=f（1）=12+4=5

如果沒有準確地理解分段函數與定義域之間的內在關系，解題時就無從下手。

綜上所述，在求解函數關系式問題，求函數最大(小)值、值域問題，函數單調性、奇偶性問題以及分段函數等，若能嚴密思辨函數定義域、定義域對結果有無影響，就能提高學生的質疑辨析能力，有利于學生拓寬思維空間，對提高和培養學生的創造性數學思維能力是十分有益的。

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