一種分析多目標散射問題的區域分解方法

崔志偉 韓一平 于美平

（西安電子科技大學物理與光電工程學院，陜西 西安710071）

引 言

關于單個復雜目標的電磁散射問題已經有很多研究成果.然而實際中的許多目標并不是單獨存在的，如自然界中的雨滴、陣列結構、軍事編隊等都是多個目標共同存在的.研究這些復雜多目標的電磁散射特性是一項基礎又很有實用價值的工作，但是由于在計算過程中需要考慮多次散射，因此這又是一項難度很大的工作.近年來，隨著計算機技術和數值計算技術的迅速發展，眾多學者提出了用于分析多目標散射問題的各種不同的數值計算方法，如稀疏矩陣規則網格法［1］、特征基函數方法［2-3］、多層快速多極子方法［4-5］、多區迭代方法［6］、以及有限元區域分解方法［7］等.這些方法都有各自的優缺點，這里不進行評論，而是提出一種基于混合有限元-邊界積分-特征基函數方法的新的區域分解方法.其基本思路是采用矢量有限元方法對每個目標進行分析，各個目標之間通過基于格林函數的邊界積分方程進行耦合，所得到的耦合線性方程組采用基于Foldy-Lax多徑散射方程的特征基函數方法進行求解［2-3，8-9］.

1 基本理論

待分析的多目標散射問題如圖1所示.為了闡述問題方便，將自由空間所在區域記為Ω0，第i個目標所在的區域記為Ωi，相應的邊界面為Si，其中i＝1，2，…，N，N為目標的個數.區域Ωi內的電場Ei滿足下面泛函的變分［10］：

圖1 多目標散射示意圖

式中：Vi表示Si所包圍的區域；表示邊界Si的外法向單位矢量；εri和μri為第i個目標的相對介電常數和相對磁導率；k0和Z0是自由空間中的波數和波阻抗；和分別表示邊界面Si上的電場和磁場.采用基于四面體單元的Whitney矢量基函數離散上述泛函得到［10］

式中

對所有目標而言，邊界面上的未知電場和未知磁場之間的關系可表示為

這里

如果所考慮的多個目標具有相同的形狀與內部結構，則與各個目標相關的矩陣Ai是完全相同的，只計算與其中任何一個目標相關的Ai即可，這樣可大大提高計算效率.為了能唯一地求解邊界面上的未知電場和未知磁場，在邊界面Si上引入等效電磁流源Ji和Mi，這組等效源滿足

根據等效原理，在邊界面Si上可建立如下的電場 積 分 方 程（Electric Field Integral Equation，EFIE）和磁場積分方程（Magnetic Field Integral Equation，MFIE）：

其中G0（r，r′）為自由空間中的格林函數.為了克服內諧振問題可將上面的電磁場積分方程聯合得到如下的混合積分方程

采用基于三角面元的RWG（Rao-Wilton-Glisson）基函數離散上述混合積分方程得到［11］

將式（5）代入式（13）得到

式中，Zij＝PijAi＋Qij（i，j＝1，2，…，N）.對此方程的求解，可以采用文獻［2］中提出的特征基函數方法.在該方法中，特征基函數根據Foldy-Lax多徑散射方程構造，即第個i目標最終的激勵場等于入射場加上除此目標之外其他所有目標的散射場.每個目標初次特征基函數的激勵場為初始的入射場，初次特征基函數的建立忽略了所有本目標與其他目標間的互耦.而一階高次特征基函數是通過將所有其他目標的初次特征基函數產生的散射場代替入射場后計算出來的.類似地，可計算出其他的更高次的特征基函數.所構造的特征基函數可以有效的降低阻抗矩陣的尺度，從而可以使用直接法而不需要使用迭代來求解積分方程離散后的矩陣方程，具體的求解過程見文獻［2］.

需要指出的是，由于矢量有限元方法的靈活性，本文提出的區域分解方法既適用于多個均勻目標，也適用于多個非均勻目標，同時還適用于多個各向異性目標，尤其適合于求解多個具有相同結構目標的散射問題.

2 數值結果

為了驗證公式和程序的正確性，首先考慮2×2×2的陣列均勻各向同性介質球，每個球的半徑為r＝0.2λ，相對介電常數和磁導率分別為εr＝2.0和μr＝1.0，在x，y方向上的周期為T＝2.0λ.圖2給出了該陣列均勻各向同性介質球的雙站雷達散射截面（Radar Cross-Section，RCS），并將本文的數值結果和廣義多球米理論的解析解進行了對比.從圖中可以看出，兩者吻合很好.

圖2 2×2×2陣列均勻各向同性介質球的RCS

為了說明該方法處理復雜多目標散射問題的能力，下面給出三個算例.第一個算例考慮的是2×2的陣列均勻各向異性介質球，每個球的半徑為r＝0.5λ，在x，y方向上的周期為T＝0.2λ.相對磁導率分別μr＝1.0，相對介電常數為

圖3給出了該陣列均勻各向異性介質球的RCS.

圖3 2×2陣列均勻各向異性介質球的RCS

第二個算例考慮的是8×8的陣列介質涂層導體圓柱，每個導體圓柱的半徑和高分別為r＝0.5λ和h＝1.0λ，介質涂層的厚度為t＝0.1λ，相對介電常數和磁導率分別為εr＝2.0和μr＝1.0，在x，y方向上的周期為T＝2.0λ.圖4給出了該陣列圓柱的RCS.

最后一個算例考慮的是采用蒙特卡羅方法模擬的1 000個隨機離散均勻介質球形粒子的散射，如圖5所示.其中每個小球的半徑為r＝50nm，復折射率為m＝1.6-j0.6，占空比為f＝10%，入射平面波的波長為λ＝532nm.圖6給出了這些隨機離散球形粒子的RCS.

圖4 8×8陣列介質涂層導體圓柱的RCS

圖5 采用蒙特卡羅方法模擬的1 000個隨機離散粒子分布圖

圖6 1 000個隨機離散均勻介質球形粒子的RCS

3 結 論

針對多目標散射問題，本文提出了一種基于混合有限元-邊界積分-特征基函數方法的區域分解方法.該方法采用矢量有限元方法對每個目標進行分析，并通過高斯消去法把求解區域內部未知量的問題轉化為求解邊界面上未知量的問題；各個區域之間通過基于格林函數的邊界積分方程進行耦合；所得到的耦合矩陣方程采用基于Foldy-Lax多徑散射方程的特征基函數方法進行求解.該方法既適用于多個均勻目標，也適用于多個非均勻目標，同時還適用于多個各向異性目標.文中給出的數值結果證明了這種方法的準確性和處理復雜多目標散射問題的能力.

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