中繼信道相位響應模型及其估計算法研究

黃春文

摘 要： 中繼能夠提高信息傳輸質量及覆蓋區域，是一種近年來得到迅速發展且前景廣闊的無線通信技術。而性能優良的中繼信道估計構成了改善通信環境的其他技術的基礎前提。針對中繼信道估計中的相位響應部分，首先建立了在任意信噪比條件下的相位噪聲模型。考慮到估計過程快速的現實要求，通過將模型中原有復雜的表達噪聲形式用高斯的方法近似化，得到了較為簡潔的結果，并根據不同的簡化形式給出對應的若干相位響應估計算法。為了比較這些算法之間的性能，重點推導了估計算法所能達到的CRLB。最后結合計算機數值仿真驗證了結論的正確性。

關鍵詞： 中繼信道； 相位響應； 估計算法； 相位噪聲模型

中圖分類號： TN911?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）04?0013?04

Model of relay channel phase response and its estimation algorithms

HUANG Chun?wen

（Jiangxi Yuchuang Network Technology Co.， Ltd， China Comservice， Nanchang 330096， China）

Abstract： Recently， Relay has become a booming and promising wireless communication technology， which can improve the information transmission quality and enlarge the service coverage area. Meanwhile， effective relay channel estimation makes up a foundation of other technologies for improving communication invironment， such as relay beamforming and relay selection. Focusing on the phase response in relay channel estimation， the model of phase noise in arbitrary SNR was build up. In order to decrease the amount of estimator calculation， the complicated formula of original noise model is approximated by the relatively simple Gaussian counterpart to get relatively succinct result. According on the different simplified form， several phase estimation algorithms are given. The CRLB （Cramer?Rao Lower Bound） is also derived with the purpose of comparing the performance of the algorithms. The conclusion correctness was verified by computer numerical simulation.

Keyword： relay channel； phase response； estimation algorithm； phase noise model

0 引 言

中繼通信作為一種有效對抗無線信道衰落特性的手段，具有廣闊的應用前景[1]。但是，采用中繼波束成形和中繼選擇等主要技術的前提為完全獲知信道狀態信息，現實中通過發送各方已知的訓練序列進行估計。信道對發送信號的影響包括幅度改變和相位改變兩部分，目前文獻[2?6]討論較多集中在幅度改變影響方面，而相位改變方面考慮不足。然而，在信道相位響應未知條件下，僅僅對幅度相應進行估計是沒有意義的。因此，研究性能較好的相位響應估計方法對于降低整體信道估計誤差具有重要意義。

針對相位估計，文獻[7]提出將接收到的信號進行頻譜分析，找出頻域峰值所在位置對應的頻率值作為估計結果，思路較為直觀，其不足之處在于運算量巨大，難于在實時環境下采用。文獻[8]對上述方法有所改進，應用最大似然算法估計出頻譜中的峰值處，較為適合進行頻率估計。同時，在運算量和估計性能上進行了折中，但并未完全改變在運算形式復雜的弊端。文獻[9]在高信噪比環境下，將噪聲線性疊加造成的影響近似為相位上擺動，將非線性估計問題轉化為線性估計問題。文獻[10]受此啟發，給出了準確的相位關系模型，并對比了幾種相位估計方法性能表現。然而，上面文獻討論時均需已知信道的幅度相應，不能直接用于中繼信道幅度相應未知情況。

基于這一問題，本文根據文獻的思想，提出了改進的中繼信道相位響應估計算法，與此同時推導了在高信噪比條件下的CRLB表達式，可以作為衡量幾種算法性能的標準，從理論推導和仿真驗證兩個方面說明了改進算法的性能優勢。

1 相位響應模型

在進行分析之前，首先對中繼通信進行模型建立。令[U1]和[U2]分別代表進行通信的兩個用戶，由于他們之間嚴重的無線衰落，不存在直接的通信線路，此時需要中繼[R]協助建立連接，如圖1所示。在[U1]和[U2]進行數據交換之前要首先完成信道估計，而中繼[R]對于接收信號只是實現線性放大，并不加入任何其他信息。

圖1 中繼通信系統模型

在第一個時隙，發送端[U1]向中繼[R]發送訓練序列[t11]。[R]將接收到的信號經過簡單的放大處理后在第二個時隙轉發向接收端[U2]。由于發送內容[t11]均為雙方已知，故[U2]進行信道估計后即可獲知與[U1]間的信道狀態信息，即CSI。與此相似，[U2]通過反向發送[t21]，使[U1]亦得到此時的CSI。在假定估計階段信道系數保持不變的前提下，通常為了提高信道估計的準確性，將訓練序列長度設定為[N][N>1]，即[t1=t11，t12，…，t1NT]、[t2=t21，t22，…，t2NT]，因此，進行完整的信道估計總共占用[4N]個時隙。將整個過程用向量形式表示，有：

[r=ht+n1] （1）

[y=αgr+n0=αght+αgn1+n0] （2）

式中：[α]為中繼放大系數，[α=Prσ2hP1+σ2n]，[Pr]和[P1]為中繼和用戶[U1]的發送功率；[r]和[y]分別為中繼和用戶[U1]的接收信號向量。以第[k]個時隙為例，對式（2）處理得到：

[yTk?tk=αghP1+αg+1?tk?n0k] （3）

[1αP1yTk?tk=gh+1αP1αg+1?tk?n0k] （4）

從用戶的角度看來，由于聯合信道等效于分段信道[h]和[g]的相乘疊加，沒有必要分別估計，只需對[gh]進行整體研究即可。因此，為了表述簡潔，可令[gh=A?expjθ]，其中[A]和[θ]分別為整體中繼信道的幅度響應和相位響應，而[nk=1αP1αg+1?tk?n0k]表示加性高斯白噪聲，[zk=1αP1yTk?tk]，式（4）化簡為：

[zk=A?expjθ+nk] （5）

由于本文只關注相位響應[θ]，將[A]看作未知的常數，進一步有：

[∠zk=θ+εk， k=1，2，…，N] （6）

式中[εk]表示第[k]個時隙由加性白噪聲[nk]引入的相位偏差。

式（5）和式（6）中各分量可通過圖2所示的幾何關系直觀表示。圖中的[nIk]和[nQk]分別為相對于真實的信道系數[gh]的同向噪聲分量和正交噪聲分量，兩者相互獨立且同分布。本文的重點在于根據[εk]具有的統計特性，從式出發來討論能夠得到較好的相位響應估計值[θ]的幾種算法。

圖2 中繼信道相位響應幾何關系示意

2 相位響應估計算法

在信噪比較大的情況下，有如下數學近似成立：

[εk≈tanεk=nQkrk] （7）

由于[nQk]的統計特性和[rk]均已知，故而式轉化為高斯白噪聲方差已知條件下的未知常數估計問題。需要說明的是，當[x→0]時，雖然近似[x≈sinx]相對[x≈tanx]具有更高的準確度，然而，式（7）變為：

[εk≈sinεk≈nQkA+nIk≈nQkA] （8）

與文獻[10]的應用環境不同，此時的信道幅度響應[A]未知，因此不能采用式（8）的估計方法。

根據概率論知識，在[A]保持不變的條件下，式（5）中的[zk]服從Rice分布[11]，可以得到幅度[zk]和相位偏差[εk]的聯合分布，有：

[pzk=-ππpzk，εkdεk =zkσ22exp-zk2+A2σ2I0zkAσ22] （9）

對相應的變量進行積分，可以分別得到[zk]和[εk]的分布表達式，有：[pzk=-ππpzk，εkdεk =zkσ22exp-zk2+A2σ2I0zkAσ22] （10）

[pεk=0∞pzk，εkdzk=Acosεkπσ2exp-A2sin2εkσ2?1-QAcosεkσ22+ 12πexp-A2σ2] （11）

式中[Qx=12πx∞exp-y22dy]，表示高斯[Q]函數。由文獻[12]可知，在高信噪比環境，即[A2σ2→∞]且[σ2→0]時，式（11）表示的[εk]可以近似為Tikhonov分布，有：

[pεk≈expA2σ22cosεk2πI0A2σ22， -πεk<π] （12）

式中[I0?]表示第一類修正貝塞爾函數。

另外，從式（10）和式（11）可以得到相位偏差[εk]的條件概率分布，有：

[pεkzk=pzk，εkpzk=expzkAσ22cosεk2πI0zkAσ22， -πεk<π] （13）

可見，式（13）亦具有Tikhonov分布的形式。

從式（12）和式（13）可直觀看出Tikhonov分布表達關系式復雜而難以處理，文獻[11]提出可采用標準高斯分布進行很好的近似。此時，式（12）和式（13）可以簡化為：

[pεk=Aπσ2exp-A2ε2kσ2] （14）

[pεkzk=1πσ2zkAexp-ε2kσ2zkA] （15）

隨著信噪比[A2σ2]的增大，式（11）、式（12）和式（14）之間的差異迅速減小，即采用高斯近似是簡化運算的合理選擇方式。為了表達上的簡潔，進一步將式（16）擴展為向量形式，令：

[∠z=∠z1，…，∠zNT，θ=θ?1，1，…，1︸NT、]

[ε=ε1，…，εNT]

此時有：

[∠z=θ+ε] （16）

根據最小二乘算法，結合式（8）、式（14）和式（15），可以得出如下幾種相位響應[θ]估計算法：

[θ1=1Nk=1N∠zk] （17）

[θ2=k=1Nzk2∠zkk=1Nzk2] （18）

[θ3=k=1Nzk∠zkk=1Nzk] （19）

3 相位響應估計的[CRLB]

眾所周知，[CRLB]（Cramer?Rao Lower Bound）表示無偏的未知參數估計算法所能達到的最低誤差限，對于衡量估計算法性能具有重要意義。下面從式（13）開始推導[CRLB]。

[p∠zA，θ=k=1NexpzkAσ22cos∠zk-θ2πI0zkAσ22] （20）

[lnp∠zA，θ= k=1NzkAσ22cos∠zk-θ-ln2πI0zkAσ22] （21）

[?lnp∠zA，θ?A=k=1Nzkσ22cos∠zk-θ-zkσ22?I1zkAσ22I0zkAσ22]（22） [?2lnp∠zA，θ?A2= k=1N1-I21zkAσ22I20zkAσ22-σ22zkA?I1zkAσ22I0zkAσ22?zkσ222] （23）

當信噪比[A2σ2]較大時，采用相應的數學近似可以化簡式（23），由此得到：

[?2lnp∠zA，θ?A2=-k=1Nzkσ22?1A] （24）

另一方面，有如下關系式成立：

[?2lnp∠zA，θ?θ2=-k=1NzkAσ22cos∠zk-θ]（25）

[?2lnp∠zA，θ?A?θ=?2lnp∠zA，θ?θ?A =k=1Nzkσ22sin∠zk-θ] （26）

結合式（24）、式（25）和式（26），得到費舍信息矩陣（FIM）：

[J=-E?2lnp∠zA，θ?A2-E?2lnp∠zA，θ?A?θ-E?2lnp∠zA，θ?θ?A-E?2lnp∠zA，θ?θ2] （27）

其中相位響應[∠zk]的CRLB大小為矩陣[J-1]對角線右下角相應元素值，有：

[CRLBθ=σ22NA2=12N?SNR] （28）

4 數值仿真及結果分析

本節通過計算機仿真的方式來比較上述提出的幾種算法在進行相位響應估計時所能達到的性能。分別將式（17）～式（19）中的估計算法。定義信噪比[SNR]為中繼信道幅度響應值的平方[A]同加性高斯白噪聲方差[σ2]的比值。訓練序列[t]為單位幅度、相位于[0，2π]內均勻分布的復數形式信號組成。在仿真的過程中，隨機選取5個相位值保持不變。采用蒙特卡羅的方式進行，針對每個相位值進行了5 000次仿真運算，通過求取各個估計算法所得結果和真實值之間的平均均方誤差和的方式獲得了相應的性能曲線。為了做出對比，同樣繪制得出了[CRLB]曲線，最后的仿真結果如圖3所示。

圖3 幾種相位響應估計算法性能對比

分別將訓練序列[t]的長度設定為6位和12位。由圖4可以直觀看出，隨著訓練序列長度的增加，各個算法所能達到的性能限均有所改善。在高信噪比的情況下（圖中10 dB以上部分）幾乎同相應條件下的[CRLB]曲線重合。在信噪比較低（圖中5 dB以下部分）的條件下，算法2和算法3所達到的性能均明顯優于算法1，這是因為這兩種算法在考慮了接收到的訓練序列信號相位信息的同時，也參考了幅度信息。即對于不同的相位，根據其幅度的大小進行加權，認為當接收到的信號幅度較大時，造成的原因為此刻混入的加性高斯白噪聲較小，其相位值相對來說更加逼近于真實值。在對這兩種算法對比時可以看出算法2同算法3相比，僅有極小的性能優勢，幾乎可以忽略不計。但是從數值運算的角度出發來分析，由于算法3直接利用信號的幅度信息，相對算法2的模值平方運算來說，更加適用于需要快速獲得中繼信道相位響應的實用環境。

5 結 語

本文針對中繼信道估計中的相位響應估計問題，首先將服從表達形式復雜的Tikhonov分布的相位噪聲干擾在不同情況下近似為高斯形式，并由此得出了若干漸進無偏的相位估計算法。為了比較幾種估計算法所能達到的性能，推導了在較高信噪比環境下相位響應估計誤差的[CRLB]表達式，最后通過數值仿真的方式驗證了理論的正確性。

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