三次函數零點判別法

玉邴圖

（廣南縣第一中學，云南 廣南 663300）

三次函數零點判別法

玉邴圖

（廣南縣第一中學，云南 廣南 663300）

三次函數是重要的初等函數之一，其性質是數學教學的研究重點。文章將根據其極值點的分布情況，應用韋達定理推導出三次函數零點的一種判別法，為解決三次函數零點個數及其相關問題提供了借鑒和參考。

三次函數；零點；韋達定理

高中數學新課程標準開設導數以后，三次函數是高考的重頭戲，題目形式多樣，角度常變，常考常新。論述其零點判別法的文章也有之，如最近的文獻[1]和文獻[2]是按平移和伸縮變換，將f (x)=ax3+bx2+cx+d化為f (x)=x3+px2+q以后，再用盛金公式求解，這種方法在應用時，需要轉化和分類討論，不易操作。本文是根據三次函數圖像和極值點的分布情況，應用韋達定理推導出另一種判別法——直接用a, b, c, d的不等式表示三次函數零點判別法。這種方法直截了當，應用方便，現論述如下。

定理1函數f (x)=ax3+bx2+cx+d (a ≠ 0)有三個零點的充分必要條件是

證明：因為f ′(x)=3ax2+2bx+c，令f ′(x)=0得方程

要使三次函數有三個零點，則三次函數必有兩個極值點，等價于方程（1）有兩個不相等的實數根，又等價于判別式Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac)＞0b2-3ac＞0，此時兩個極值點分別在x軸的兩側，如圖1所示，即對應兩個極值的積為負數，即y1y2=f (x1) f (x2)＜0。

圖1 兩個極值點分別在x軸兩側的示意圖

定理2函數f (x)=ax3+bx2+cx+d (a ≠ 0)有兩個零點的充分必要條件是

證明：由題意，同定理1的分析得b2-3ac ＞ 0。

要使三次函數有兩個零點，此時有一個極點在x軸上，如圖2所示。

圖2 只有一個極值點在x軸上的示意圖

對應的兩個極值的積為零，即y1y2+ f (x1) f (x2)=0。以下證明與定理1相仿，從略。

定理3函數f (x)=ax3+bx2+cx+d (a ≠ 0)有一個零點的充分必要條件是

證明：①同定理1的證明得b2-3ac ＞ 0。

要使三次函數有一個零點，等價于兩個極點在x軸的同一側，如圖3所示。

對應的兩個極值的積大于零，即y1y2=f (x1) f (x2) ＞ 0。以下證明與定理1相仿，從略。

②當方程（1）的判別式Δ=4b2-12ac=4 (b2-3ac) ≤ 0b2-3ac ≤ 0時，導函數y′=3ax2+ 2bx + c ≥ 0或y′=3ax2+ 2bx + c ≤ 0恒成立，函數f (x)是單調函數，函數f (x)的圖像與x軸一個交點，如圖4所示，此時，問題等價于函數f (x)有且只有一個零點。

圖3 兩個極值點在x軸同側的示意圖

圖4 f(x)與x軸有一個交點的示題圖

下面舉例說明上述判別法的應用。

以上的例題可改變為如下更有趣的問題。

例5 設函數f (x)=| ax3-2x2-3x + 1| (a ≠ 0 )，求：

1）a在什么值的范圍內，函數有六個單調區間；

2）a在什么值的范圍內，函數有四個單調區間；

3）a在什么值的范圍內，函數有兩個單調區間。

解：因為三次函數的絕對值的圖像全部在x軸上方，也就是圖像在x軸下方部分以x軸為對稱軸向上翻折，于是問題立即得解。因為b=2, c=-3, d=1。

1）依題意，由定理1知，當a滿足以下不等式時，符合題意。

［1］ 胡勇.三次函數零點判別探究的教學實錄和感想[J] .福建中學數學，2013（9）：12-15.

［2］ 360百科.三次函數[EB/OL]. [2014-03-20] http://baike.so.com/doc/4720205.html.

On the Test of Zero Vector of Cubic Function

YU Bing-tu
(No. 1 Middle School, Guangnan 663300, China)

Cubic function is one of important elementary functions and its properties are the focus of mathematics teaching. The paper deduces a test of zero vector of cubic function from Vieta’s theorem, based on the distributions of its extreme value points, which provides a reference basis for the number of zero vector and its related problems.

Cubic function; zero vector; Vieta’s theorem

O122

A

1674-9200（2014）06-0043-05

（責任編輯 劉常福）

2014-04-09

玉邴圖（1958-），男，云南廣南人，云南省特級教師，全國模范教師，云南省委聯系專家，主要從事高中數學教學和解析幾何理論研究。