過載指令約束下的導彈導引律設計

孟克子，周荻

(哈爾濱工業大學 航天學院，黑龍江 哈爾濱150001)

0 引言

經典的比例導引律形式簡單、易于實現，被廣泛應用于引導導彈攔截非機動目標或弱機動目標且十分有效，但比例導引律用于攔截大機動目標時難以滿足制導精度要求［1］。目前，許多非線性控制方法被用于新型導引律的設計，如幾何控制方法［2］，Lyapunov函數方法［3］，非線性H∞控制方法［4］，一階滑模控制方法［5-6］等。

在實際應用中，由于物理約束(主要是飽和約束)的存在，導引律產生的過載指令信號可能會受到限制，從而會降低制導性能甚至導致制導系統不穩定，尤其是導彈相對目標過載能力優勢不大的情況，如空空導彈攔截無人機，無人機由于無人駕駛可執行較大的過載機動。目前，過載指令約束下的導引律設計主要采用最優控制方法［7-11］。Rusnak等［7-9］以零脫靶量和能量最優為性能指標，基于極小值原理推導了過載指令約束下的最優導引律。Hexner 等［10-11］針對導彈的過載指令飽和以及目標的隨機機動特性，采用線性二次型高斯(LQG)理論和隨機輸入描述函數(RIDF)設計了過載指令約束下的最優導引律。需要說明的是，文獻［7 -11］中采用的是以目標-導彈在參考直角坐標系中的縱向相對位置(或相對位置)及其導數作為主要狀態變量的線性時不變制導方程。而通常采用在極坐標下建立的以目標-導彈相對距離及視線角速率為主要狀態變量的制導方程依據準平行接近理論設計導引律更具實際意義。

Farrell 等［12］針對輸入飽和的不確定非線性系統，提出了指令濾波backstepping 方法，能夠有效消除飽和非線性的影響。Farrell 等［13］和Sonneveldt等［14］成功地將指令濾波backstepping 方法用于輸入飽和的非線性飛行設計問題。指令濾波backstepping 方法通過引入指令濾波器和構造輔助微分方程來處理飽和約束，同時指令濾波器避免了傳統backstepping方法中由于對虛擬控制的解析求導而出現的“項數爆炸”現象。

另外，導彈自動駕駛儀動態特性是影響制導精度的主要因素之一。Chwa 等［15］采用滑模控制設計了考慮導彈控制回路動態特性的自適應非線性導引律。考慮導彈自動駕駛儀的一階動態特性，孫勝等［16］利用backstepping 方法設計了三維非線性導引律。曲萍萍等［17-18］采用動態面控制法設計了考慮導彈自動駕駛儀二階動態特性的平面及三維非線性導引律。

鑒于指令濾波backstepping 方法的優點及導彈自動駕駛儀動態特性對制導精度的影響，本文基于以目標-導彈相對距離和視線角速率為主要狀態變量的平面制導方程，采用指令濾波backstepping 方法在導彈自動駕駛儀存在二階動態延遲的情況下設計了一種過載指令約束下的導引律，并針對視線方向施加控制和不施加控制兩種情況進行了仿真驗證。

1 問題描述

平面內目標-導彈相對運動幾何關系如圖1所示，其中M 和T 分別表示導彈和目標的質心，R 表示目標-導彈之間的相對距離，q 表示視線角，vm和vt分別表示導彈和目標的速度，θm和θt分別表示導彈和目標的彈道傾角。

圖1 平面內目標-導彈相對運動幾何關系Fig.1 Relative kinematic relationship between target and missile in the plane

由圖1可導出目標-導彈相對運動學方程為

(1)式相對時間t 求導并整理，可得

式中:atR和atq分別表示目標加速度沿視線方向和視線法向的分量;amR和amq分別表示導彈加速度沿視線方向和視線法向的分量。

過載指令約束下的導彈自動駕駛儀二階動態特性為

式中:

ζ 和ωn分別表示自動駕駛儀二階動態特性的阻尼比和自然振蕩角頻率;u1和u2分別表示視線方向和視線法向的導彈自動駕駛儀過載指令。

設末制導的初始時刻為0，結束時刻為tf. 為了攔截目標，期望tf時刻R 變為0. 而R 變為0 的充分條件是目標-導彈相對速度滿足(4)式所示的約束關系。文獻［6，19］采用變結構控制設計了視線方向的導引律u1. 而文獻［20 -21］認為漸近穩定并非R 的理想響應特性，其以局部穩定原則設計了不以R 漸近穩定為目標的視線方向導引律u1，且制導性能更高。由此，本文在假設推力可控的條件下依循文獻［20 -21］的思路設計u1.

式中:ζ=const ＞0.

x1-子系統:

x2-子系統:

通常目標加速度難以測量，但其一定是有界的，在導引律的設計過程中將其視為有界干擾，滿足|atq| ＜ε1和|atR| ＜ε2，其中ε1、ε2(可根據對目標加速度的估計而定)為已知的正常數。

2 視線法向導引律設計及穩定性分析

2.1 指令濾波器

指令濾波器［15-17］的方框圖如圖2所示，x0d為濾波前的虛擬/名義控制指令。濾波器狀態空間形式為

式中:SF(·)和SS(·)分別為對應于幅值與速率的飽和函數，SF(·)與SS(·)的定義類似，表示為

式中:xU和xL分別為變量x 的上限和下限。

圖2 指令濾波器Fig.2 Command filter

指令濾波器的功能:1)計算虛擬控制xd及其對時間的導數，消除了傳統backstepping 方法中虛擬控制的解析求導運算;2)保證虛擬控制xd及其對時間的導數滿足約束。如果采用指令濾波器只是為了計算xd及其導數，那么xU應取為正無窮大，xL應取為負無窮大，此時指令約束不起作用。指令濾波器轉化為

注意到，如果x0d有界，則xd和有界且連續。則誤差xd-x0d總是有界的。當指令信號不存在約束時，可以通過選取比x0d的帶寬大的多的ω'n使得誤差xd-x0d為任意小。

2.2 視線法向導引律設計

定義跟蹤誤差

式中:x11d=0 為視線角速率的期望值，x1id(i =2，3)將在下文中定義。

式中:k11=constant ＞0;為跟蹤誤差的修正項，將在下文中定義。

基于指令濾波backstepping 方法，過載指令約束下的視線法向導引律的設計步驟如下:

1)定義

式中:ζ12將在下文中定義。虛擬控制經過指令濾波器產生幅值、速率和帶寬約束的虛擬控制x12d及其對時間的導數定義輔助微分方程

(13)式為構造的線性穩定的輔助微分方程，ζ11表征了約束對跟蹤誤差的影響，下文中的ζ12、ζ13、ζ23、ζ24與ζ11意義類似。

2)定義修正跟蹤誤差

3)定義

式中:k12=constant ＞0;ζ13將在下文中定義。虛擬控制經過指令濾波器產生帶約束的虛擬控制x13d及其對時間的導數定義輔助微分方程

4)定義名義控制

式中:k13=constant ＞0. 名義控制經過指令濾波器產生帶約束的控制u2d. 定義輔助微分方程

在指令濾波器的作用下，u2d位于飽和界限范圍之內，是物理上可執行的。由此，認為

需要說明的是，指令濾波backstepping 視線法向導引律并非全解析表達式，而是中間表達式(12)式、(15)式、(17)式，輔助微分方程(13)式、(16)式、(18)式以及指令濾波器的組合，其實現過程如圖3所示。制導律中含有的微分方程為低階線性方程，只需用4 階龍格-庫塔法進行簡單的數值積分運算，我們在普通的計算機上用Matlab 編程實現該制導算法時，解算出一拍的制導指令只需要10 ms. 考慮到現代計算機的快速解算能力，該導引律在彈上用數字信號處理器實現并不困難。

圖3 指令濾波backstepping 視線法向導引律結構框圖Fig.3 Block diagram of guidance law along the normal direction of LOS based on command filtered backstepping

2.3 基于Lyapunov 函數的x1-子系統穩定性分析

結合定義(9)式和(14)式，分別將(11)式～(13)式代入(20)式中，得

結合定義(14)式和(21)式～(23)式，可得修正跟蹤誤差(i=1，2，3)的動態為

(27)式對時間t 求導并將(24)式～(26)式代入，得

式中:k1=min{k1i，i=1，2，3}. 求解(28)式，得

由(29)式可知，無論控制及中間虛擬控制是否飽和，修正跟蹤誤差(i =1，2，3)都將隨著時間t趨于無窮大而趨于0，而實際跟蹤誤差(i =1，2，3)無此性質。但是，文中只考慮名義控制的飽和非線性，中間虛擬控制狀態(i=2，3)不存在飽和約束，亦即2.2 節中1 步和3 步中采用的是(8)式所示的指令濾波器，而4 步中采用的是(7)式所示的指令濾波器且只約束幅值。由此，誤差u2d-非0但有界，而誤差x1id-x01id(i=2，3)在(8)式所示的濾波器作用下可為任意小。則變量ζ13非0 但有界而變量ζ11和ζ12將趨近于0. 零化ζ11使得修正跟蹤誤差11趨于實際跟蹤誤差由此，視線角速率q·漸近趨近于0，滿足視線法向導引律u2的設計目標。

3 視線方向導引律設計及穩定性分析

若導彈在制導過程中，推力不可控或推力為0，則(4)式要依靠制導過程初始時刻目標-導彈相對運動幾何關系保證。若導彈在制導過程中，推力大小和方向可控，為使滿足(4)式所示的約束，則可以按如下步驟設計視線方向導引律u1.

3.1 視線方向導引律設計

選取虛擬控制

在虛擬控制μ2的作用下，有

求解(31)式，得

式中:x22(0)=(0). 選取(0)= -ζ，則對?t∈［0，tf)，有=x22≤-ζ ＜0，滿足(4)式所示的約束關系。

視線方向上導引律的設計目標轉化為:在u1的控制作用下，使x23跟蹤μ2的變化，從而使目標-導彈相對速度滿足(4)式所示的約束關系。記

定義跟蹤誤差

式中:k23=constant ＞0.

基于指令濾波backstepping 方法，過載指令約束下的視線方向導引律的設計步驟如下:1)定義

式中:ζ24將在第3 步中定義。虛擬控制經過指令濾波器產生帶約束的虛擬控制x24d及其對時間的導數. 定義輔助微分方程

2)定義修正跟蹤誤差

3)定義名義控制

式中:k24=constant ＞0. 名義控制經過指令濾波器產生帶約束的控制u1d. 定義輔助微分方程

在指令濾波器的作用下，u1d位于飽和界限范圍之內，亦即是物理上可執行的。由此，認為

與視線法向導引律相同，視線方向導引律也非全解析的形式，其實現的結構框圖與圖3類似，這里不再給出。

3.2 基于Lyapunov 函數的x2-子系統穩定性分析

(47)式對時間t 求導并將(45)式和(46)式代入，得

式中:k2=min{k2j，j=3，4}.

設計的導引律中所需的變量視線角及視線角速率、目標-導彈相對距離及其相對時間的導數以及導彈的加速度可以通過測量獲得，導彈的加速度可以依據加速度的測量值通過濾波器估計獲取。

對于指令濾波backsteppping 而言，為了保證Lyapunov 穩定性，只要求k1i(i=1，2，3)和k2j(j =3，4)大于0，而通常選擇k11＜k12＜k13，k23＜k24以獲得更好的響應特性。根據文獻［10 -11］中指令濾波器參數的選取規則，阻尼比取為ζ' =1 且選取ω'n時保證下一步指令濾波器中的ω'n大于上一步指令濾波器的ω'n.

4 仿真驗證

表1 導彈與目標初始運動參數Tab.1 The initial motion parameters of missile and target

4.1 視線方向施加控制作用

視線方向施加控制作用時，將設計的視線法向導引律和視線方向導引律綜合記為NG1，相關參數εi=90(i =1，2)，k11=0.2，k12=0.4，k13=2，k23=3.37，k24=5.43，σ =0.05. 指令濾波器參數如表2所示。為了進行比較，引入局部滑模導引律［18］(PSMG):

表2 指令濾波器參數Tab.2 Parameters of command filter

視線方向施加控制作用時的數值仿真結果如圖4～圖7所示。從圖4和圖5可以看出，無論是PSMG 還是NG1，可實施的過載指令信號都受到了一定程度的飽和約束;由于在設計NG1 的過程中對飽和約束進行了處理，所以視線角速率在約5.1 s 時收斂至0 附近的微小鄰域內且直至最后一刻才發散，而PSMG 在設計過程中未對飽和約束進行處理且未考慮自動駕駛儀的動態特性，其視線角速率發散較早，如圖6所示。最終，PSMG的脫靶量為9.85 m而NG1 的脫靶量只有0.05 m.由于兩種情況下沿視線方向的控制作用基本相同(如圖4所示)，以致導彈接近目標的速度幾乎相等(如圖7所示)，最終二者的攔截時間基本相當，PSMG 的攔截時間為7.70 s，NG1 的攔截時間為7.71 s.

圖4 視線方向施加控制時視線方向過載指令Fig.4 Acceleration command along LOS for controlling along LOS

圖5 視線方向施加控制時視線法向過載指令Fig.5 Acceleration command along the normal direction of LOS for controlling along LOS

圖6 視線方向施加控制時的視線角速率Fig.6 LOS angular rate for controling along LOS

4.2 視線方向不可控

視線方向不施加控制時，只考慮視線法向導引律，記為NG2，相關參數與視線方向施加控制的情況相同。同樣為了比較分析，引入增廣比例導引律(APN):

圖7 視線方向施加控制時目標-導彈相對速度Fig.7 Relative velocity between target and missile for controlling along LOS

式中:N=3.4，假設目標加速度atq準確已知。

視線方向不施加控制時的數值仿真結果如圖8～圖10所示。在APN 和NG2 產生的過載指令都存在飽和現象的情況下，APN 的脫靶量為2.3 m而NG2 的脫靶量只有0.13 m. 同時，兩種情況下視線方向都未施加控制作用，導彈-目標接近速度基本相當，最終攔截時間都是8.66 s.

最后，對比NG1 和NG2 的結果可知，視線方向施加控制作用能夠使導彈以更快的速度接近目標，攔截時間更短。需要強調的是，以往對PSMG 和APN 的理論分析都是在不考慮過載指令約束的情況下做出的，當然性能良好。而將其應用于過載指令受限的情況下出現了正、負飽和現象，導致脫靶量下降。

圖8 視線方向不可控時視線法向過載指令Fig.8 Acceleration command along the normal direction of LOS for uncontrolling along LOS

圖9 視線方向不可控時的視線角速率Fig.9 LOS angular rate for uncontrolling along LOS

圖10 視線方向不可控時目標-導彈相對速度Fig.10 Relative velocity between target and missile for uncontrolling along LOS

5 結論

考慮到導彈過載指令的飽和非線性以及導彈自動駕駛儀的動態延遲特性，基于平面目標-導彈相對運動方程，以“零化視線角速率”及“目標-導彈相對速度應小于一個負常數”為原則，采用指令濾波backstepping 方法設計了平面攔截導引律，指令濾波器不僅起到約束制導指令幅值的作用而且避免了傳統backstepping 方法中“項數爆炸”的現象。研究結果表明，設計的導引律在過載指令飽和時仍能保證制導系統穩定且具有較高的制導精度。

References)

［1］ Zarchan P. Tactical and strategic missile guidance［M］. 3rd ed.Washington:American Institute of Aeronautics and Astronautics，1997.

［2］ Bezick S，Rusnak I，Gray W S. Guidance of a homing missile via nonlinear geometric control methods［J］. Journal of Guidance，Control，and Dynamics，1995，18(3):441 -448.

［3］ Song S H，Ha I J. A Lyapunov-like approach to performance analysis of 3-dimensional pure PNG laws［J］. IEEE Transactions on Aerospace and Electric Systems，1994，30(1):238 -247.

［4］ Yang C D，Chen H Y. Nonlinear robust guidance law for homing missiles［J］. Journal of Guidance，Control，and Dynamics，1998，21(6):882 -890.

［5］ Zhou D，Mu C D，Xu W L. Adaptive sliding-mode guidance of a homing missile［J］. Journal of Guidance，Control，and Dynamics，1999，22(4):589 -584.

［6］ Moon J，Kim K，Kim Y. Design of missile guidance law via variable structure control［J］. Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2001，24 (4):659 -664.

［7］ Rusnak I，Meir L. Optimal guidance for acceleration constrained missile and maneuvering target［J］. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1990，26(4):618 -624.

［8］ Rusnak I，Meir L. Optimal guidance for high order and acceleration constrained missile［J］. Journal of Guidance，Control，and Dynamics，1991，14(3):589 -596.

［9］ Rusnak I. Advanced guidance laws for acceleration constrained missile，randomly maneuvering target and noisy measurements［J］. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1996，32(1):456 -464.

［10］ Hexner G，Shima T，Weiss H. LQG guidance law with bounded acceleration command［J］. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic System，2008，44(1):77 -86.

［11］ Hexner G，Pila A. W. Practical stochastic optimal guidance law for bounded acceleration missiles［J］. Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2011，34(2):437 -445.

［12］ Farrell J，Polycarpou M，Sharma M. On-line approximation based control of uncertain nonlinear systems［C］∥Proceeding of the 2004 American Control Conference. Boston，Massachusetts:IEEE，2004:2557 -2562.

［13］ Farrell J，Sharma M，Polycarpou M. Backstepping-based flight control with adaptive function approximation［J］. Journal of Guidance，Control and Dynamics，2005，28(6):1089 -1101.

［14］ Sonneveldt L，Chu Q P，Mulder J A. Nonlinear flight control design using constrained adaptive backstepping［J］. Journal of Guidance，Control and Dynamics，2007，30(2):322 -336.

［15］ Chwa D，Choi J Y. Adaptive nonlinear guidance law considering control loop dynamics［J］. IEEE Transactions on Aerospace and Electronics Systems，2003，39(4):1134 -1143.

［16］ 孫勝，周荻. 考慮導彈自動駕駛儀動特性的三維非線性導引律［J］. 宇航學報，2009，30(3):1052 -1056.SUN Sheng，ZHOU Di. Three-dimensional nonlinear guidance law with consideration of autopilot dynamics［J］. Journal of Astronautics，2009，30(3):1052 -1056. (in Chinese)

［17］ 曲萍萍，周荻. 考慮導彈自動駕駛儀二階動態特性的導引律［J］. 系統工程與電子技術，2011，33(10):2263 - 2267.QU Ping-ping，ZHOU Di. Guidance law incorporating secondorder dynamics of missile autopilot［J］. Systems Engineering and Electronics，2011，33(10):2263 -2267. (in Chinese)

［18］ 曲萍萍，周荻. 考慮導彈自動駕駛儀二階動態特性的三維導引律［J］. 航空學報，2011，32(11):2096 -2104.QU Ping-ping，ZHOU Di. Three-dimensional guidance law account for second-order dynamics of missile autopilot［J］. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2011，32(11):2096 -2104. (in Chinese)

［19］ Liaw D C，Liang Y W，Cheng C C. Nonlinear control for missile terminal guidance［J］. Journal of Dynamic Systems，Measurement，and Control，2000，122:663 -668.

［20］ Shafiei M H，Binazadeh T. Partial stabilization-based guidance［J］. ISA Transactions，2012，51(4):141 -145.

［21］ Shafiei M H，Binazadeh T. Application of partial sliding mode in guidance problem［J］. ISA Transactions，2013，52(2):192 -197.