照相站空間基準(zhǔn)標(biāo)定方法及測量誤差分析

王唯，唐志華，羅紅娥，陳平

(南京理工大學(xué) 瞬態(tài)物理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京210094)

0 引言

彈道靶道配備的閃光陰影成像系統(tǒng)通過捕捉彈丸飛臨瞬間留下的陰影獲得彈丸在飛行過程中的空間姿態(tài)及位置信息。通過多臺陰影成像系統(tǒng)在不同位置獲得彈丸的飛行信息，可以確定彈丸在飛行路徑上的姿態(tài)變化規(guī)律并依此計(jì)算和評價(jià)彈丸的彈道性能與相關(guān)指標(biāo)。而為了能夠正確綜合各站信息，準(zhǔn)確計(jì)算彈道參數(shù)，需要校準(zhǔn)各照相站的空間基準(zhǔn)坐標(biāo)，即確定各個(gè)相機(jī)的空間位置。目前基于CCD相機(jī)的彈道靶道照相成像系統(tǒng)主要有正交陰影成像系統(tǒng)［1］、雙目視覺成像系統(tǒng)［2］和三維重構(gòu)系統(tǒng)［3］等。無論是哪一種成像系統(tǒng)均要求系統(tǒng)中的各個(gè)相機(jī)滿足確定的空間位置關(guān)系?？紤]到相機(jī)鏡頭與相機(jī)之間的裝配誤差、CCD 感光器件本身的工藝誤差以及結(jié)構(gòu)間隙、安裝誤差等因素，單純依靠機(jī)械結(jié)構(gòu)很難保證系統(tǒng)中的各個(gè)相機(jī)處于設(shè)計(jì)要求位置。因此依靠成像系統(tǒng)進(jìn)行精確測量之前必須進(jìn)行系統(tǒng)標(biāo)定。

本文開展了兩部分工作:第一，結(jié)合前人相關(guān)的研究成果簡要介紹了成像系統(tǒng)的兩步標(biāo)定方法;第二，在明確相機(jī)內(nèi)、外參數(shù)和照相機(jī)位置之后，依據(jù)陰影成像原理建立了測量誤差的數(shù)學(xué)模型，并在相機(jī)位于標(biāo)定面同側(cè)、至標(biāo)定面等距以及圖像識別誤差滿足獨(dú)立同分布的假設(shè)前提下，分析了測量誤差一次矩、二次矩的空間分布。

1 相機(jī)標(biāo)定

在數(shù)字圖像處理、計(jì)算機(jī)視覺和攝影測量領(lǐng)域，對于數(shù)字圖像的標(biāo)定、校準(zhǔn)和修正已經(jīng)有了比較深入的研究［4-7］。較為一致的做法是依據(jù)小孔成像原理分別建立相機(jī)的內(nèi)參數(shù)和外參數(shù)矩陣，從而確定物和像之間的關(guān)系，然后利用標(biāo)準(zhǔn)模板的數(shù)幅圖像，通過最優(yōu)化方法確定內(nèi)參數(shù)，最后計(jì)算外參數(shù)。盡管在具體的處理方法上存在較多變種，但是應(yīng)用最為廣泛的還是由Zhang［5］最先總結(jié)的方法。值得注意的是，Zhang 等的方法可以完全確定從物到像的映射關(guān)系，所以可以利用多張圖像標(biāo)定相機(jī)，但是并不能通過唯一像來確定物體的空間位置。要通過圖像確定物體空間位置需要在物體上建立若干位置關(guān)系已知的標(biāo)志點(diǎn)或從已知的不同方位同時(shí)對物體成像。

1.1 內(nèi)參數(shù)標(biāo)定

首先確定相機(jī)鏡頭的光圈和焦距并進(jìn)行限位，防止在操作過程中變化。使用相機(jī)對標(biāo)定物［4］進(jìn)行成像，改變標(biāo)定物的放置角度以獲得同一標(biāo)定物不同角度的多張圖像。進(jìn)而利用相關(guān)算法［5-7］確定內(nèi)參數(shù)和鏡頭畸變。圖1所示為一臺相機(jī)的內(nèi)參數(shù)標(biāo)定結(jié)果。

圖1 鏡頭畸變及光軸中心位置Fig.1 Lens distortion and central position of optical axis

1.2 相機(jī)外參數(shù)標(biāo)定

基于小孔成像模型和歐拉變換公式，物與像之間的映射關(guān)系為

式中:s 是任意比例系數(shù);x3×1=［u v 1］T是增廣后的像點(diǎn)坐標(biāo)，u 和v 分別是像點(diǎn)的像素橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)(定義在相機(jī)圖像上，以圖像左上角為原點(diǎn)，分別以向右和向下作為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的正向);X4×1=［x y z 1］T是增廣后的物點(diǎn)坐標(biāo)，x、y 和z 分別是空間物點(diǎn)坐標(biāo);矩陣A3×3是單應(yīng)矩陣，可通過內(nèi)參數(shù)標(biāo)定確定;矩陣B3×4由方向余弦矩陣及平移向量組成，也稱相機(jī)的外參數(shù)矩陣。若令R3×3表示從世界坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到相機(jī)坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)矩陣，t3×1表示世界坐標(biāo)系中相機(jī)的位置坐標(biāo)，則B3×4表示為

確定內(nèi)參數(shù)矩陣A3×3之后，依據(jù)相應(yīng)的物、像點(diǎn)坐標(biāo)，利用旋轉(zhuǎn)矩陣的正交性可以確定B3×4.Zhang 在文獻(xiàn)［5］中已經(jīng)做了較為詳盡的論述，故本文不再贅述。

2 照相站標(biāo)定

(1)式通過將物點(diǎn)變換到投影平面，建立了投影平面到像平面的映射關(guān)系，從而確定了成像系統(tǒng)中物點(diǎn)與像點(diǎn)之間的關(guān)系，其中內(nèi)參數(shù)矩陣主要與鏡頭相關(guān)，在鎖定鏡頭后可視為不變量。照相站標(biāo)定需進(jìn)一步確定各個(gè)相機(jī)之間的位置關(guān)系，與外參數(shù)矩陣密切相關(guān)。為簡便起見，以下只討論世界坐標(biāo)到對應(yīng)相機(jī)坐標(biāo)的變換。參考(2)式外參數(shù)矩陣的定義，第i 個(gè)相機(jī)坐標(biāo)與世界坐標(biāo)之間滿足關(guān)系:

式中:x'i為相應(yīng)相機(jī)坐標(biāo)的點(diǎn)坐標(biāo)。相機(jī)外參數(shù)確定的是相機(jī)相對標(biāo)定平面之間的位置關(guān)系。由于相機(jī)只能獲得三維實(shí)體在成像平面內(nèi)的投影，所以通過外參數(shù)只能將像點(diǎn)轉(zhuǎn)換為世界坐標(biāo)中特定平面上的點(diǎn)。若使用Zhang［5］的方法標(biāo)定相機(jī)，則通過該相機(jī)所成的圖像可以確定物點(diǎn)在標(biāo)定平面上的投影。當(dāng)使用多臺相機(jī)對目標(biāo)成像時(shí)，通過每臺相機(jī)的圖像均可獲得物點(diǎn)在標(biāo)定平面上的投影坐標(biāo)，而物點(diǎn)的位置則在各相機(jī)焦點(diǎn)與對應(yīng)投影點(diǎn)連線的交點(diǎn)上，如圖2所示。

圖2 多臺相機(jī)確定物點(diǎn)坐標(biāo)Fig.2 Point coordinates determined by cameras

投影點(diǎn)坐標(biāo)可以通過選取對應(yīng)圖像上的點(diǎn)，依次經(jīng)過內(nèi)參數(shù)矩陣和外參數(shù)矩陣的逆變換得到，其z 坐標(biāo)恒定為0，表示投影點(diǎn)在標(biāo)定平面上。Xi=［xiyi0］T(i=1，2)分別表示兩個(gè)投影點(diǎn)的坐標(biāo)。而焦點(diǎn)在標(biāo)定面決定的世界坐標(biāo)中的坐標(biāo)可以表示為

由于像點(diǎn)坐標(biāo)選取誤差等因素影響，由相機(jī)焦點(diǎn)及對應(yīng)投影點(diǎn)確定的兩直線通常并不相交，故(5)式一般無解，但利用廣義逆(Moore-Penrose 廣義逆)可獲得范數(shù)最小意義下物點(diǎn)坐標(biāo)的最優(yōu)估計(jì)C+［x1y1x2y2］T.

3 誤差分析

3.1 誤差模型

一般情況下(5)式中的矩陣C 為列滿秩，僅當(dāng)兩相機(jī)光軸重合(現(xiàn)實(shí)中不可能)時(shí)矩陣C 的秩才等于2. 所以有

式中:δ1、δ2、δ3和δ4是選取坐標(biāo)x1、y1、x2和y2時(shí)產(chǎn)生的偏差，相應(yīng)的坐標(biāo)真值分別表示為和由于投影坐標(biāo)真值以及必定可以使(5)式存在唯一確定解，所以真值坐標(biāo)滿足關(guān)系式:

若將δ1、δ2、δ3及δ4視為獨(dú)立的隨機(jī)變量，并假定其概率密度函數(shù)相同且均滿足由均值μ 和方差σ確定的正態(tài)分布(當(dāng)采用相同的程序選取圖像上的點(diǎn)時(shí)，該假設(shè)是合理的)，于是物點(diǎn)坐標(biāo)識別偏差的概率特性與隨機(jī)向量［δ1δ2δ3δ4］T的概率特性之間滿足關(guān)系:

3.2 偏差的均值

將(9)式代入(10)式，可以發(fā)現(xiàn)物點(diǎn)坐標(biāo)識別偏差的均值由E1和E2組成。

E1=μ［1 1 0］T(由(9)式的第一個(gè)矩陣獲得)，表示物點(diǎn)坐標(biāo)中x 和y 方向(見圖2)的測量偏差均值與圖像上坐標(biāo)選取過程產(chǎn)生的偏差均值一致，而z 方向(見圖2)測量偏差的均值恒定為0，即z方向坐標(biāo)的測量是無偏的。

E2相對復(fù)雜(由(9)式的第二個(gè)矩陣獲得)，其對物點(diǎn)測量偏差均值的貢獻(xiàn)與相機(jī)位置、投影坐標(biāo)真值(即物點(diǎn)的真實(shí)位置)有關(guān)。圖3示出了相機(jī)位置分別為(10，200，500)和(200，-1 000，1 000)時(shí)，標(biāo)定面附近x 方向測量偏差的均值系數(shù)。

特殊情況下，若假定相機(jī)位于標(biāo)定面同側(cè)，且與標(biāo)定面等距，即Δz1=Δz2，則向量V1-V2與兩投影點(diǎn)真值構(gòu)成的向量平行，由相似三角形的幾何關(guān)系，E2可簡化為

圖3 標(biāo)定面附近x 方向偏差均值系數(shù)Fig.3 Mean coefficient of deviations near calibration surface in direction x

式中:h 表示物點(diǎn)到標(biāo)定面的距離。(12)式表明Δz1=Δz2時(shí)，偏差增益只由物點(diǎn)及相機(jī)到標(biāo)定面的距離確定，而與物點(diǎn)在x 和y 方向(世界坐標(biāo))的位置無關(guān)。當(dāng)相機(jī)與標(biāo)定面的距離確定之后，物點(diǎn)在相機(jī)前方距相機(jī)越近，偏差增益越小。另外，(10)式表明無論在x、y 方向還是z 方向，若圖像坐標(biāo)的選取過程是無偏的，則測量坐標(biāo)也是無偏的。

3.3 偏差的方差

將(9)式代入(11)式，當(dāng)Δz1=Δz2時(shí)得到偏差的方差為

式中:

圖4示出了相機(jī)分別位于(0，1 000，1 000)和(0，-1 000，1 000)時(shí)，yz 平面內(nèi)y 方向測量偏差的自協(xié)方差系數(shù)由(13)式和圖4可知:1)坐標(biāo)測量值各個(gè)分量的偏差不是獨(dú)立的隨機(jī)變量;2)物點(diǎn)靠近鏡頭有利于減小測量偏差的隨機(jī)分布;3)減小|V1+V2|與|V1- V2|的比值(V1與V2夾角較大時(shí))也有利于減小測量偏差的隨機(jī)分布。

圖4 yz 平面內(nèi)y 方向偏差自協(xié)方差系數(shù)Fig.4 Auto-covariance coefficient of deviation on plane yz in direction y

4 結(jié)論

基于相機(jī)內(nèi)外參數(shù)標(biāo)定的結(jié)果和有關(guān)性質(zhì)，通過對陰影成像系統(tǒng)成像原理的分析，利用泰勒級數(shù)對圖像坐標(biāo)拾取偏差引起的空間坐標(biāo)測量誤差進(jìn)行了研究。選取級數(shù)的一階非耦合項(xiàng)作為誤差模型，假定圖像坐標(biāo)拾取誤差相互獨(dú)立且滿足相同的正態(tài)分布，利用隨機(jī)向量之間的傳遞矩陣以及相應(yīng)的概率傳遞規(guī)律，導(dǎo)出了坐標(biāo)測量值的均值與方差，并得到以下結(jié)論:

1)坐標(biāo)測量誤差的均值和方差均與圖像坐標(biāo)點(diǎn)的拾取誤差相關(guān)，圖像坐標(biāo)點(diǎn)拾取誤差的一次矩和二次矩分別以因子的形式出現(xiàn)在坐標(biāo)測量誤差均值和方差的表達(dá)式中。

2)一般情況下坐標(biāo)測量誤差的均值和方差矩陣均與相機(jī)、標(biāo)定面以及物點(diǎn)之間的相對位置相關(guān)，且測量誤差分量非獨(dú)立(協(xié)方差一般不為0)。

3)當(dāng)相機(jī)位于標(biāo)定面同側(cè)且與標(biāo)定面等距時(shí)，測量誤差的均值僅與物點(diǎn)到標(biāo)定面的距離相關(guān)且呈線性關(guān)系;測量誤差的方差矩陣則與物點(diǎn)的空間坐標(biāo)相關(guān)且呈現(xiàn)非線性關(guān)系。

4)當(dāng)物點(diǎn)位于標(biāo)定平面與相機(jī)之間且靠近相機(jī)時(shí)，無論是測量誤差的均值還是方差均有減小的趨勢。

本文的論述均假設(shè)點(diǎn)光源位于鏡頭焦點(diǎn)(目前已有相應(yīng)光路予以保證)，并且未對光源偏離焦點(diǎn)引起的誤差進(jìn)行分析。當(dāng)該假設(shè)成立時(shí)，依照本方法得到的標(biāo)定狀態(tài)對測量誤差的影響即由(12)和(13)式(相機(jī)位于標(biāo)定面同側(cè)且等距)描述，或者在更一般的情況下由(10)式和(11)式描述。

本文所述方法可以直接應(yīng)用于現(xiàn)有照相站的空間基準(zhǔn)標(biāo)定。由于使用求解旋轉(zhuǎn)矩陣的方法來確定相機(jī)位置，無需進(jìn)一步要求相機(jī)和標(biāo)定物之間的相對位置關(guān)系。但為了獲得較為平坦的測量偏差均值及方差的空間分布，建議約束相機(jī)到標(biāo)定面的距離，使各相機(jī)位于標(biāo)定面同側(cè)且等距。另外，對靶道內(nèi)多個(gè)照相站進(jìn)行標(biāo)定時(shí)，需要進(jìn)一步測量或限制標(biāo)定面的空間位置，從而獲得一致的靶道空間基準(zhǔn)。

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