存在時(shí)延和拓?fù)洳淮_定的多彈分散化協(xié)同制導(dǎo)時(shí)間一致性分析

王青，后德龍，李君，董朝陽(yáng)

(1.北京航空航天大學(xué) 飛行器控制一體化技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100191;2.北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京100080;3.北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京100191)

0 引言

多枚導(dǎo)彈協(xié)同攻擊能有效地提高打擊目標(biāo)的效能［1-3］。多導(dǎo)彈之間通過(guò)信息共享實(shí)現(xiàn)配合、協(xié)作，共同完成打擊任務(wù)，極大地增強(qiáng)了導(dǎo)彈的打擊能力，增加了導(dǎo)彈突防和摧毀目標(biāo)的概率。

在研究導(dǎo)彈協(xié)同攻擊問(wèn)題時(shí)，多枚導(dǎo)彈同時(shí)到達(dá)是一個(gè)重點(diǎn)關(guān)注的問(wèn)題，該問(wèn)題可以歸結(jié)為制導(dǎo)時(shí)間的一致性問(wèn)題［4］。制導(dǎo)時(shí)間一致性問(wèn)題主要研究導(dǎo)彈協(xié)同攻擊系統(tǒng)中各導(dǎo)彈之間的信息交互方式，使所有導(dǎo)彈的制導(dǎo)時(shí)間趨于同一值。

文獻(xiàn)［5］給出了一種攻擊時(shí)間可控的制導(dǎo)律(ITCG)，該制導(dǎo)律由兩部分組成，一部分用于對(duì)目標(biāo)的攻擊，另一部分用于對(duì)給定制導(dǎo)時(shí)間指令的跟蹤。文獻(xiàn)［6］提出了一種雙層協(xié)同制導(dǎo)結(jié)構(gòu)來(lái)解決導(dǎo)彈協(xié)同攻擊問(wèn)題，將ITCG 制導(dǎo)律作為底層導(dǎo)引律，上層為協(xié)調(diào)一致性算法，實(shí)現(xiàn)對(duì)制導(dǎo)時(shí)間指令的解算。協(xié)調(diào)一致性算法采用網(wǎng)絡(luò)鄰域通信實(shí)現(xiàn)相互之間的信息傳遞，因此可能存在網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淝袚Q問(wèn)題，文獻(xiàn)［4］基于強(qiáng)連通平衡有向圖的相關(guān)性質(zhì)研究了存在網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淝袚Q時(shí)的分布式協(xié)同制導(dǎo)問(wèn)題。

除了拓?fù)淝袚Q問(wèn)題外，網(wǎng)絡(luò)傳輸過(guò)程不可避免地存在傳輸時(shí)延和時(shí)變拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不確定問(wèn)題，從而對(duì)多彈協(xié)同攻擊任務(wù)的完成產(chǎn)生嚴(yán)重影響。時(shí)變拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不確定可以理解為未考慮在切換拓?fù)鋬?nèi)的通訊連接短暫中斷或權(quán)值的改變等。而針對(duì)這兩類問(wèn)題，在多彈協(xié)同制導(dǎo)領(lǐng)域還沒(méi)有得到研究。相關(guān)研究主要在多智能體的一致性［7-9］、無(wú)人機(jī)和衛(wèi)星編隊(duì)方面［10-12］。多智能體的一致性算法與多彈協(xié)同制導(dǎo)的一致性算法類似，但是針對(duì)其開(kāi)展的相關(guān)研究主要針對(duì)強(qiáng)連通平衡圖，具有較強(qiáng)的局限性。文獻(xiàn)［7］利用圖論和矩陣?yán)碚搶⒁浑A有向網(wǎng)絡(luò)的一致性分析結(jié)果拓展到了高階情況，并對(duì)切換拓?fù)湎碌囊恢滦宰髁朔治?，但是沒(méi)有考慮時(shí)延情況。文獻(xiàn)［8］研究了存在網(wǎng)絡(luò)時(shí)延和切換拓?fù)涞亩嘀悄荏w系統(tǒng)一致性問(wèn)題，但其針對(duì)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是強(qiáng)連通平衡圖拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)［9］針對(duì)存在時(shí)延的強(qiáng)連通平衡圖下的多智能體一致問(wèn)題給出了相關(guān)穩(wěn)定判據(jù)。文獻(xiàn)［10 -11］針對(duì)編隊(duì)衛(wèi)星協(xié)同中存在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)切換、通信時(shí)延等問(wèn)題進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)［12］針對(duì)無(wú)向平衡圖存在切換拓?fù)浜蜁r(shí)延的情況進(jìn)行了分析。

本文針對(duì)存在網(wǎng)絡(luò)通信時(shí)延、時(shí)變拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不確定和動(dòng)態(tài)拓?fù)淝袚Q情況下的多導(dǎo)彈協(xié)同齊射攻擊問(wèn)題開(kāi)展了研究。以線性矩陣不等式的形式給出了協(xié)同制導(dǎo)時(shí)間實(shí)現(xiàn)一致的條件。本文的研究不依賴于特定的網(wǎng)絡(luò)通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，在此基礎(chǔ)上開(kāi)展存在時(shí)延、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不確定、切換拓?fù)淝闆r下的協(xié)同制導(dǎo)一致性研究，具有更廣泛的適用性。

1 問(wèn)題描述

針對(duì)打擊固定目標(biāo)問(wèn)題，文獻(xiàn)［5］給出了一種時(shí)間可控的制導(dǎo)律，即ITCG，為了配合協(xié)同制導(dǎo)的描述，考慮n 枚導(dǎo)彈參與攻擊的情形，每枚導(dǎo)彈均采用ITCG 進(jìn)行攻擊。ITCG 中每枚導(dǎo)彈的法向加速度為

文獻(xiàn)［6］以系統(tǒng)總體控制能量消耗最小作為設(shè)計(jì)目標(biāo)得到剩余制導(dǎo)時(shí)間指令值為

式中:wi為加權(quán)系數(shù)，wi=

考慮到(2)式給出的制導(dǎo)時(shí)間指令值為加權(quán)平均形式，與存在通信連接權(quán)值的一致性算法收斂值［8］相同，文獻(xiàn)［6］提出了一種雙層協(xié)同制導(dǎo)結(jié)構(gòu)。該制導(dǎo)系統(tǒng)的上層為(3)式給出的一致性算法，下層采用ITCG 實(shí)現(xiàn)對(duì)給定的制導(dǎo)時(shí)間指令的跟蹤。制導(dǎo)時(shí)間一致性算法為

式中:i=1，…，n;xi表示第i 個(gè)導(dǎo)彈的剩余飛行時(shí)間指令值，即xi=;aij是拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的鄰接矩陣A中的元素，在圖論相關(guān)的定義中給出詳細(xì)描述。

本文采用該雙層協(xié)同制導(dǎo)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)多導(dǎo)彈同時(shí)攻擊。從對(duì)該雙層制導(dǎo)結(jié)構(gòu)的分析可以看出，一致性算法對(duì)于協(xié)同制導(dǎo)的實(shí)現(xiàn)至關(guān)重要。在一致性算法收斂的情況下，ITCG 總能實(shí)現(xiàn)對(duì)制導(dǎo)時(shí)間指令的跟蹤，從而實(shí)現(xiàn)協(xié)同制導(dǎo)。本文將研究存在網(wǎng)絡(luò)通信時(shí)延、時(shí)變拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不確定和動(dòng)態(tài)拓?fù)淝袚Q情況下一致性算法收斂性問(wèn)題，給出該問(wèn)題的分析方法。

下面首先給出圖論的相關(guān)定義:

定義有向圖G =(V，E，A)，其中:有限非空集V={v1，v2，…，vn}是圖G 的節(jié)點(diǎn)集，節(jié)點(diǎn)的下標(biāo)集記為I ={1，2，…，n}，節(jié)點(diǎn)可以用vi∈V 或其下標(biāo)i∈I來(lái)表示;E?V×V 是圖G 的邊集，邊記為eij=(vi，vj);A=［aij］∈Rn×n是圖G 的鄰接矩陣，當(dāng)節(jié)點(diǎn)j 存在信息流向節(jié)點(diǎn)i 時(shí)，aij=1，否則為0，定義aii=0.

定義Laplace 矩陣L =［lij］∈Rn×n(i，j ∈I)為［13］

2 固定拓?fù)湎碌囊恢滦苑治?/h2>

本節(jié)針對(duì)固定拓?fù)淝闆r下協(xié)同制導(dǎo)一致性算法展開(kāi)分析。

由圖論的相關(guān)定義，(4)式可以轉(zhuǎn)化為以下矩陣形式:

式中:x=［x1，x2，…，xn］;C =diag(1/w1，1/w2，…，1/wn)，為權(quán)值矩陣;L 為L(zhǎng)aplace 矩陣。

存在時(shí)延和拓?fù)洳淮_定情況下的一致性算法可以寫成以下形式:

式中:ωi＞0，i=1，…，n.

將(5)式表示為

并作以下轉(zhuǎn)換［14］:

取y=［y12，y13，…，y1n］T，則有

式中:1 為適維單位列向量;E ∈R(n-1)×n、F ∈Rn×(n-1)，且定義在不存在時(shí)延和拓?fù)洳淮_定情況下，由(9)式可以推導(dǎo)如下:

式中:A= -ECLF.將系統(tǒng)命名為分歧系統(tǒng)。上述推導(dǎo)過(guò)程中使用了拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Laplace 矩陣的一個(gè)性質(zhì)，即L·1 =0.在存在時(shí)延和時(shí)變拓?fù)洳淮_定情況下的分歧系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)為

式中:ΔA 為時(shí)變拓?fù)湟鸬腁 陣不確定。假定ΔA可以表示為ΔA=Λ1Φ(t)Λ2，其中Λ1和Λ2為適維常數(shù)矩陣，Φ(t)為未知時(shí)變矩陣且滿足ΦT(t)Φ(t)≤I.

在進(jìn)行分析之前給出以下相關(guān)引理:

引理1［14-15］對(duì)任何可微函數(shù)x(t)∈Rn和任何n×n 維的正定對(duì)稱常值矩陣W，存在如下的不等式關(guān)系:

式中:t ＞0;τ 滿足0≤τ≤h，h ＞0.

引理2［16］Schur 補(bǔ)引理。針對(duì)給定的矩陣M、P、Q，且Q 為正定矩陣，以下兩個(gè)關(guān)系等價(jià):

引理3［9］若給定合適維矩陣B =BT，J，K，則對(duì)所有滿足DT(t)D(t)≤I 的矩陣D(t)，不等式B+JD(t)K+KTDT(t)JT＜0 等價(jià)于

式中:c0為任意正常數(shù)。

通過(guò)反證法可以推出一致性算法的收斂性和分歧系統(tǒng)的穩(wěn)定性等價(jià)。針對(duì)固定拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，基于線性矩陣不等式方法以定理形式給出(7)式所示的多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)時(shí)間一致性算法收斂的充分條件。

定理1 對(duì)于系統(tǒng)，固定網(wǎng)絡(luò)拓?fù)錇镚，且權(quán)值系數(shù)陣C 非負(fù)，網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)延τ ＜h，如果存在正定對(duì)稱矩陣P 滿足Π ＜0，則系統(tǒng)漸近一致。Π=其中Q為任意對(duì)稱正定陣。

證明 通過(guò)分析分歧系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析系統(tǒng)的漸近一致性。構(gòu)造如下形式的Lyapunov-Krasovskii泛函［14］:

將系統(tǒng)作如下處理:

定義

則

對(duì)泛函V(t)求導(dǎo)可以得到

應(yīng)用引理1 給出的不等式，則有

將(19)式表達(dá)為矩陣形式

根據(jù)Schur 補(bǔ)引理，若存在正定對(duì)稱矩陣P 滿足:

進(jìn)一步，矩陣不等式可以整理為

式中:

應(yīng)用引理3，(21)式等價(jià)為

(22)式可以表示為

應(yīng)用Schur 補(bǔ)引理，(23)式可以轉(zhuǎn)化為Π ＜0，定理1 得證。

事實(shí)上，在定理1 滿足的情況下，總存在一個(gè)常數(shù)c 滿足:(t)＜-cV，即Lyapunov-Krasovskii 泛函按指數(shù)速率衰減，從而分歧系統(tǒng)收斂，即一致性算法收斂，從而保證了多彈協(xié)同制導(dǎo)的實(shí)現(xiàn)。

3 切換拓?fù)湎碌囊恢滦苑治?/h2>

本節(jié)考慮存在時(shí)延、時(shí)變拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不確定，且在有限個(gè)時(shí)間點(diǎn)存在網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淝袚Q情況下多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)時(shí)間的一致性分析。在存在網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淝袚Q情況下，一致性算法的分歧系統(tǒng)可以表示為如下形式:

式中:k∈s(t):［0，∞］→{1，2，…，N}為網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的切換信號(hào);Ak= -ECL(Gk)F，Gk∈Γn，Γn為包含n 個(gè)導(dǎo)彈的信號(hào)傳輸網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的有限集合;ΔAk=Λ1(Gk)Φk(t)Λ2(Gk)為拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不確定，Φk(t)為未知時(shí)變矩陣且滿足(t)Φk(t)≤I.

針對(duì)同時(shí)存在網(wǎng)絡(luò)時(shí)延、時(shí)變拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不確定和切換拓?fù)湎露鄰梾f(xié)同制導(dǎo)時(shí)間一致性分析可給出以下定理:

定理2 對(duì)于系統(tǒng)，權(quán)值系數(shù)陣C 非負(fù)，網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)延τ ＜h，在有限次任意切換信號(hào)s(·)下漸近一致的條件為對(duì)于切換序列中的任一傳輸拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Gk，存在對(duì)稱正定矩陣P 滿足以下矩陣不等式組:

式中:

Q 為任意對(duì)稱正定陣。

證明 定義與定理1 證明中相同的Lyapunov-Krasovskii 泛函，重寫為

由定理1 的證明可知，對(duì)于切換序列中的任意信號(hào)傳輸網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Gk，存在常數(shù)ck，使得

即對(duì)于切換序列s(·)，(28)式給出的公共Lyapunov 函數(shù)指數(shù)下降，因此可以證明系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。定理2 得證。

上述證明可以采用論述方式說(shuō)明。假設(shè)系統(tǒng)在t1時(shí)刻和t2時(shí)刻發(fā)生兩次切換，盡管系統(tǒng)的公共Lyapunov 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在切換時(shí)刻存在跳變，但是由于狀態(tài)不會(huì)發(fā)生突變，公共Lyapunov 函數(shù)是連續(xù)的，在每個(gè)區(qū)間的指數(shù)下降保證了在整個(gè)過(guò)程中公共Lyapunov 函數(shù)的衰減，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，從而多彈協(xié)同制導(dǎo)一致算法漸近收斂。

4 仿真驗(yàn)證

本節(jié)將通過(guò)仿真驗(yàn)證對(duì)存在網(wǎng)絡(luò)時(shí)延和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不確定的多彈協(xié)同制導(dǎo)時(shí)間一致性問(wèn)題理論分析結(jié)果的正確性。

4.1 固定拓?fù)淝闆r

假設(shè)3 枚導(dǎo)彈協(xié)同攻擊一個(gè)固定目標(biāo)，目標(biāo)靜止位于(0，0).導(dǎo)彈的初始參數(shù)如表1所示。

表1 導(dǎo)彈的初始參數(shù)Tab.1 Missile initial parameters

3 枚導(dǎo)彈之間的網(wǎng)絡(luò)傳輸信息的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示。A 陣的不確定來(lái)源于L 陣的不確定，選取L 陣的不確定ΔL 滿足ΔL =Λ'1Φ(t)Λ'2，則可以推論出Λ1= - ECΛ'1和Λ2= Λ'2F，令Λ'1=0.2I，

時(shí)延τ =h =0.2 s 時(shí)，存在正定對(duì)稱陣P 滿足線性矩陣不等式。而取h ＞0.2 s，即網(wǎng)絡(luò)時(shí)延τ ＞0.2 s 時(shí)，不存在滿足條件的P，則不能證明(6)式所示的多導(dǎo)彈分散化協(xié)同策略的漸近一致性。因此，在線性矩陣不等式給出的充分條件下，h =0.2 s 是能證明系統(tǒng)漸近一致性的最大時(shí)延。

圖1 導(dǎo)彈之間通信傳輸拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.1 Communication topology

設(shè)系統(tǒng)存在固定時(shí)延τ=0.2 s，分別計(jì)算t =5 s，10 s，15 s，20 s，25 s，30 s 的矩陣P，求解線性矩陣不等式，得到矩陣P 的解為

在下面的仿真中，協(xié)調(diào)時(shí)間是制導(dǎo)時(shí)間一致性算法的狀態(tài)，即剩余制導(dǎo)時(shí)間指令值。分別進(jìn)行理想情況和τ=0.2 s 且包含拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不確定兩種情況的仿真，仿真結(jié)果分別如圖2～圖4所示。在圖2中，虛線結(jié)果表示存在時(shí)延及拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不確定情況下的仿真結(jié)果，實(shí)線表示理想情況下的仿真結(jié)果。從圖2可以看出，在網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)延為τ =0.2 s 且包含拓?fù)洳淮_定時(shí)，導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)系統(tǒng)仍能實(shí)現(xiàn)同時(shí)攻擊，即系統(tǒng)是漸近一致的，但是對(duì)系統(tǒng)的性能產(chǎn)生了影響，尤其是對(duì)協(xié)調(diào)時(shí)間產(chǎn)生較大的影響。

圖2 不同情況下導(dǎo)彈飛行軌跡Fig.2 The flight trajectories under different conditions

圖3 不同情況下剩余飛行時(shí)間估計(jì)值Fig.3 Estimate values of time-to-go under different conditions

圖4 前10 s 內(nèi)導(dǎo)彈制導(dǎo)協(xié)調(diào)時(shí)間Fig.4 The cooperative time-to-go in the first 10 s

4.2 切換拓?fù)淝闆r

針對(duì)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淝袚Q、時(shí)延及拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不確定同時(shí)存在的情況進(jìn)行仿真驗(yàn)證。拓?fù)洳淮_定的取法與4.1 節(jié)相同，仍取網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)延為τ =0.2 s，假設(shè)系統(tǒng)分別在2.5 s 和6 s 發(fā)生拓?fù)淝袚Q，圖5(a)和圖5(b)給出了兩種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，切換序列為s(·):(a)→(b)→(a)

圖5 兩種導(dǎo)彈通信傳輸拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.5 Two communication topologies

針對(duì)上述兩種網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，在網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)延τ=0.2 s 及存在不確定時(shí)存在公共Lyapunov 函數(shù)，仍以t=5 s，10 s，15 s，20 s，25 s，30 s 為例:

因此上述切換是穩(wěn)定的。仿真結(jié)果如圖6和圖7所示，圖6給出了制導(dǎo)時(shí)間一致性算法狀態(tài)，圖7以導(dǎo)彈M2協(xié)調(diào)時(shí)間曲線為例給出與僅存在時(shí)延及不確定不存在切換情況的對(duì)比。從仿真結(jié)果看，網(wǎng)絡(luò)傳輸拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的切換對(duì)系統(tǒng)的性能產(chǎn)生了一定的影響，但是仍然能夠?qū)崿F(xiàn)一致，這與理論分析結(jié)果相同。

圖6 切換情況下的協(xié)調(diào)時(shí)間曲線Fig.6 The curves of cooperative time-to-go under the condition of switching

圖7 τ=0.2 s 條件下的制導(dǎo)時(shí)間一致性算法狀態(tài)對(duì)比曲線Fig.7 The comparison curves of cooperative time-to-go for τ=0.2 s

5 結(jié)論

本文針對(duì)存在網(wǎng)絡(luò)時(shí)延下多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)時(shí)間一致性問(wèn)題進(jìn)行了研究，結(jié)論如下:

1)將多彈協(xié)同制導(dǎo)時(shí)間一致性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為制導(dǎo)時(shí)間分歧系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題，利用穩(wěn)定性的控制理論方法，拓展了對(duì)該問(wèn)題的研究手段。

2)給出了存在通信時(shí)延及拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不確定時(shí)制導(dǎo)時(shí)間一致性算法收斂的線性矩陣不等式判據(jù)。

3)將針對(duì)固定拓?fù)淝闆r提出的Lyapunov 函數(shù)方法拓展成公共Lyapunov 函數(shù)方法適用于分析網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)延、拓?fù)洳淮_定和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)切換同時(shí)存在下的多彈協(xié)同制導(dǎo)時(shí)間一致性分析。

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