圓周運動臨界問題規(guī)律及高考鏈接

白鵬翔

摘要：高中物理中，臨界問題很多，其中圓周運動的臨界問題一直是高考的熱點問題，此類問題分為豎直平面與水平面內(nèi)的圓周運動。文章就豎直平面內(nèi)圓周運動的規(guī)律及共性的問題做一下總結，并就在高考中的題型進行一下追蹤，分析綜合點及解決思路。

關鍵詞：豎直平面；圓周運動；臨界條件；高考鏈接

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：B 文章編號：1674-9324（2014）02-0103-03

圓周運動的臨界問題在高考中題型有時以選擇題出現(xiàn)，有時在綜合性計算題當中出現(xiàn)，多與機械能守恒、動能定理、動量守恒、牛頓定律等知識綜合應用，豎直平面內(nèi)的圓周運動的特點是：由于機械能守恒，物體做圓周運動的速率時刻在改變，物體在最高點處的速率最小，在最低點處的速率最大。物體在最低點處向心力向上，而重力向下，所以彈力必然向上且大于重力；而在最高點處，向心力向下，重力也向下，所以彈力的方向就不能確定了，分以下幾種情況討論：

第一類問題：繩拉球、水流星、外側軌道最高點的臨界問題（如圖1、2所示），此類問題的解題思路是一樣的，即臨界條件并求出臨界速度。

思路：由一般到特殊。一般情況下，如果彈力不為零，則方向一定向下，小球受到重力與彈力（繩子的拉力或外側軌道的支持力，或容器底面對水的支持力）的作用，向心力公示的表達式為G+F=mv2/R，彈力隨著速度的增加而增加、減小而減小，當速度減小到F=0時，線速度具有最小值，此時有G=mv2/R，v=■，所以F=0為小球恰好能過最高點的臨界條件，臨界速度為v=■（注：如果小球的線速度小于■，則會做向心運動），即小球能做完整的圓周運動的條件為F≥0，此時v≥v=■。

例1 如圖1中繩長為L，求小球恰好能過最高點的速度（ ）

A ■ B v=■ Cv=■ D ■

變式1-1 在上題的基礎上，求小球在最低點的速度？

變式1-2 求小球在最低點受到繩子彈力大小？

變式1-3 如果把小球換成是盛水的小桶，問，要使水桶轉(zhuǎn)到最高點不從小桶里流出來，這時小桶的線速度至少是多少？（ ）

A■ B■ C■ D 2■

分析：例1中答案無可非議為A，變式1-1是把臨界問題與機械能守恒定律相結合，由mg2L+1/2mv2=1/2mv2x，v=■，解得：vx=■；在變式1-2中由F箒G=mv2x/L，解得F=6mg；變式1-3例1的答案一樣為■。這樣在總結共性問題的過程中，達到舉一反三、觸類旁通的效果。

高考鏈接：

1.（2007年全國二卷23題）如圖4所示，位于豎直平面內(nèi)的光滑軌道，由一段斜的直軌道和與之相切的圓形軌道連接而成，圓形軌道的半徑為R，一質(zhì)量為m的物體從斜軌道上某處由靜止開始下滑，然后沿圓形軌道運動。要求物體能通過圓形軌道的最高點，且在該最高點與軌道間壓力不能超過5mg，（g為重力加速度），求物塊初始位置相對于圓形軌道底部的高度h的取值范圍。

分析：這是一道圓周運動的臨界問題與機械能守恒相綜合計算題，設物塊在圓形軌道的最高點的速度為v，由機械能守恒定律得

mgh=2mgR+1/2mv2 ①

物塊能過最高點的條件為F≥0，mg+F=mv2/R ②

解得v≥■ ③

聯(lián)立①、③式，解得h≥2.5R ④

又由于F≤5mg，由②式得v≤■gR ⑤

聯(lián)立①、⑤式得h≤5R。所以h的取值范圍為2.5R≤h≤5R。

2.（2008年全國統(tǒng)一招生 天津卷24題）如圖5所示，光滑水平面內(nèi)上放著一個質(zhì)量mA=1kg的物塊A與質(zhì)量mB=2kg的物塊B，A與B均可視為質(zhì)點，A靠在豎直墻壁上，A、B間夾一個被壓縮的彈簧（彈簧與A、B均不拴接），用手擋住B不動，此時彈簧彈性勢能EP=49J。在A、B間系一輕質(zhì)細繩，細繩長度大于彈簧的自然長度，如圖所示，放手后B向右運動，繩在短暫時間內(nèi)被拉斷，之后B沖上與水平面相切的豎直半圓光滑軌道，其半徑R=0.5m，B恰能到達最高點C.取g=10m/s2，求：（1）繩拉斷后瞬間B的速度vB的大小；（2）繩拉斷的過程對B的沖量I的大小；（3）繩拉斷的過程對A所做的功。

分析：做對這道題的關鍵是結合物體的受力情況分析清楚兩球的運動過程，在松開手后到彈簧恢復到原長的過程中，A球靜止，B球做加速運動，再到繩子斷開過程中，A加速，B減速，直到繩子斷了后，B球到達圓形軌道做圓周運動：

（1）在繩子拉斷的瞬間，會對B做功、給B一個沖量，由于水平面光滑，小球B剛沖上軌道的速度等于繩子剛拉斷時速度vB，用動能定理與動量定理都無法求出小球B獲得的速度，所以分析全過程，在繩子剛斷開到小球到達C點的過程中，機械能守恒，而且題目當中隱含了一個重要的條件就是“B恰能到達最高點C”，即達到臨界速度，臨界條件彈力F=0，只有重力提供向心力，即mBg=mBv2/R，v=■ ①

這樣B球在最高點的機械能就知道了，就等于繩子剛斷開時B球的動能，由機械能守恒定律得1/2mBvB2=2mBgR+1/2mBv2 ②

聯(lián)立①、②，解得：vB=5m/s。

（2）在彈簧恢復到自然長度時，B物體獲得的速度為v1

（此過程中A一直處于靜止狀態(tài)），由能量守恒定律得EP=1/2mBv12 ①

此后一直到繩子斷開過程中，只有繩子拉力對A、B做功，對B應用動量定理，規(guī)定向右為正方向，有I=mBvB箒mBv1②

聯(lián)立①、②，得I=4箒N.s，方向水平向左。

（3）設向右方向為正方向，在繩子剛斷開的一瞬間，繩子對A物體有向右的彈力，所以A物體離開墻面，所以A、B組成的系統(tǒng)動量守恒，有mBv1=mAvA+mBvB ①endprint

對A，由動能定理得W=1/2 mAvA2 ②

聯(lián)立①、②，解得W=8J。

總結：這是一道典型的多過程、多知識點的綜合性計算題，把圓周運動的臨界問題與動量定理、動能定理、動量守恒、能量守恒結合起來，覆蓋的重點知識點多，綜合性強，對學生的分析、解決問題的能力有很好的考查效果，做對這道題的關鍵就是找著圓周運動的臨界條件，求出臨界速度。

第二類問題：把繩子換成桿或者是雙側軌道（如上圖3所示）。因為桿與繩子的彈力不一樣，桿的彈力可以向各個方向，在最高點時，彈力的方向可以向上，也可以向下，所以彈力為零是臨界條件，臨界速度也為v=■，如果v>■，則需要的向心力不夠，需要彈力補充，即桿的彈力方向向下；如果v<■，需要的向心力比重力小，彈力方向向上，所以桿的彈力可以為推力也可以為拉力。同樣，雙側軌道內(nèi)側軌道彈力方向向上，外側軌道彈力方向向下，上下彈力都為零為臨界條件，此時有mg=mv2/R，v=■，如v>■，外側軌道有彈力，方向向下，如v<■，內(nèi)側軌道有彈力，方向向上。

高考鏈接：

例2（2004年全國理綜） 如圖6輕桿的一端有一個小球，另一端有光滑的固定軸O，現(xiàn)給球一初速度，使球和桿一起繞O軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，不計空氣阻力，用F表示球到達最高點時桿對球的作用力，則F（？搖 ？搖）。

A.一定是拉力 B.一定是推力 C.一定等于零

D.可能是拉力，可能是推力，也可能等于零

變式2-1 長L=0.5m，質(zhì)量可以忽略的桿，其下端固定于O點，上端連接著一個質(zhì)量m=2kg的小球A，A繞O點做圓周運動（圖4），在A通過最高點，試討論在下列兩種情況下桿的受力：①當A的速率v1=1m/s時；②當A的速率v2=4m/s時。

變式2-2（1999年全國卷） 長度為L=0.5m的輕質(zhì)細桿OA，A端有一質(zhì)量為m=3.0kg的小球，如圖4所示，小球以O點為圓心在豎直平面內(nèi)做圓周運動，通過最高點時小球的速率是2.0m/s，g取10m/s2，則此時細桿OA受到（？搖 ？搖）。

A.6.0N的拉力 B.6.0N的壓力

C.24N的拉力？搖 ？搖D.24N的壓力

分析：由以上分析不難得出，例2選擇答案D，變式2-1，先求出臨界速度v=■，v=■m/s ①

其中v1=1m/s，v1

其中v2=4m/s，v2>v，所以，桿對小球的彈力方向向下，由F+mg=mv22/L，解得F=60N。同樣的方法分析變式2-2，解得F=6N，方向向上，那么球?qū)U的力為壓力，互為相互作用力，大小也為6N，故選擇B。還有一種方法，就是在不知道彈力方向的情況下，規(guī)定重力方向為正方向，列出向心力公式：mg+F=mv2/L，如解出F為正值，則與規(guī)定的正方向相同（方向向下），如為負值則與規(guī)定的正方向相反（方向向上）。

第三類問題：車過橋，此類問題如果有彈力，方向一定向上，向心力表達式為G箒F=mv2/R，彈力隨著速度的增大而減小，當速度增大到F=0時，此時v=■，如果速度再增大（即v>■），車就會離心而做平拋運動。

總結：這三類問題的臨界條件都為彈力F=0，為共性問題。其分析思路也一樣：

1.確定研究對象，對其最高點受力分析；

2.結合向心力公式，分析臨界條件，求出臨界速度；

3.求解。

在與其他知識點綜合考察的高考計算題中，先分析清楚是哪一類臨界問題，然后運用各自的規(guī)律找出臨界條件，求出臨界速度，以速度作為紐帶與其他知識點進行綜合。

對A，由動能定理得W=1/2 mAvA2 ②

聯(lián)立①、②，解得W=8J。

總結：這是一道典型的多過程、多知識點的綜合性計算題，把圓周運動的臨界問題與動量定理、動能定理、動量守恒、能量守恒結合起來，覆蓋的重點知識點多，綜合性強，對學生的分析、解決問題的能力有很好的考查效果，做對這道題的關鍵就是找著圓周運動的臨界條件，求出臨界速度。

第二類問題：把繩子換成桿或者是雙側軌道（如上圖3所示）。因為桿與繩子的彈力不一樣，桿的彈力可以向各個方向，在最高點時，彈力的方向可以向上，也可以向下，所以彈力為零是臨界條件，臨界速度也為v=■，如果v>■，則需要的向心力不夠，需要彈力補充，即桿的彈力方向向下；如果v<■，需要的向心力比重力小，彈力方向向上，所以桿的彈力可以為推力也可以為拉力。同樣，雙側軌道內(nèi)側軌道彈力方向向上，外側軌道彈力方向向下，上下彈力都為零為臨界條件，此時有mg=mv2/R，v=■，如v>■，外側軌道有彈力，方向向下，如v<■，內(nèi)側軌道有彈力，方向向上。

高考鏈接：

例2（2004年全國理綜） 如圖6輕桿的一端有一個小球，另一端有光滑的固定軸O，現(xiàn)給球一初速度，使球和桿一起繞O軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，不計空氣阻力，用F表示球到達最高點時桿對球的作用力，則F（？搖 ？搖）。

A.一定是拉力 B.一定是推力 C.一定等于零

D.可能是拉力，可能是推力，也可能等于零

變式2-1 長L=0.5m，質(zhì)量可以忽略的桿，其下端固定于O點，上端連接著一個質(zhì)量m=2kg的小球A，A繞O點做圓周運動（圖4），在A通過最高點，試討論在下列兩種情況下桿的受力：①當A的速率v1=1m/s時；②當A的速率v2=4m/s時。

變式2-2（1999年全國卷） 長度為L=0.5m的輕質(zhì)細桿OA，A端有一質(zhì)量為m=3.0kg的小球，如圖4所示，小球以O點為圓心在豎直平面內(nèi)做圓周運動，通過最高點時小球的速率是2.0m/s，g取10m/s2，則此時細桿OA受到（？搖 ？搖）。

A.6.0N的拉力 B.6.0N的壓力

C.24N的拉力？搖 ？搖D.24N的壓力

分析：由以上分析不難得出，例2選擇答案D，變式2-1，先求出臨界速度v=■，v=■m/s ①

其中v1=1m/s，v1

其中v2=4m/s，v2>v，所以，桿對小球的彈力方向向下，由F+mg=mv22/L，解得F=60N。同樣的方法分析變式2-2，解得F=6N，方向向上，那么球?qū)U的力為壓力，互為相互作用力，大小也為6N，故選擇B。還有一種方法，就是在不知道彈力方向的情況下，規(guī)定重力方向為正方向，列出向心力公式：mg+F=mv2/L，如解出F為正值，則與規(guī)定的正方向相同（方向向下），如為負值則與規(guī)定的正方向相反（方向向上）。

第三類問題：車過橋，此類問題如果有彈力，方向一定向上，向心力表達式為G箒F=mv2/R，彈力隨著速度的增大而減小，當速度增大到F=0時，此時v=■，如果速度再增大（即v>■），車就會離心而做平拋運動。

總結：這三類問題的臨界條件都為彈力F=0，為共性問題。其分析思路也一樣：

1.確定研究對象，對其最高點受力分析；

2.結合向心力公式，分析臨界條件，求出臨界速度；

3.求解。

在與其他知識點綜合考察的高考計算題中，先分析清楚是哪一類臨界問題，然后運用各自的規(guī)律找出臨界條件，求出臨界速度，以速度作為紐帶與其他知識點進行綜合。

對A，由動能定理得W=1/2 mAvA2 ②

聯(lián)立①、②，解得W=8J。

總結：這是一道典型的多過程、多知識點的綜合性計算題，把圓周運動的臨界問題與動量定理、動能定理、動量守恒、能量守恒結合起來，覆蓋的重點知識點多，綜合性強，對學生的分析、解決問題的能力有很好的考查效果，做對這道題的關鍵就是找著圓周運動的臨界條件，求出臨界速度。

第二類問題：把繩子換成桿或者是雙側軌道（如上圖3所示）。因為桿與繩子的彈力不一樣，桿的彈力可以向各個方向，在最高點時，彈力的方向可以向上，也可以向下，所以彈力為零是臨界條件，臨界速度也為v=■，如果v>■，則需要的向心力不夠，需要彈力補充，即桿的彈力方向向下；如果v<■，需要的向心力比重力小，彈力方向向上，所以桿的彈力可以為推力也可以為拉力。同樣，雙側軌道內(nèi)側軌道彈力方向向上，外側軌道彈力方向向下，上下彈力都為零為臨界條件，此時有mg=mv2/R，v=■，如v>■，外側軌道有彈力，方向向下，如v<■，內(nèi)側軌道有彈力，方向向上。

高考鏈接：

例2（2004年全國理綜） 如圖6輕桿的一端有一個小球，另一端有光滑的固定軸O，現(xiàn)給球一初速度，使球和桿一起繞O軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，不計空氣阻力，用F表示球到達最高點時桿對球的作用力，則F（？搖 ？搖）。

A.一定是拉力 B.一定是推力 C.一定等于零

D.可能是拉力，可能是推力，也可能等于零

變式2-1 長L=0.5m，質(zhì)量可以忽略的桿，其下端固定于O點，上端連接著一個質(zhì)量m=2kg的小球A，A繞O點做圓周運動（圖4），在A通過最高點，試討論在下列兩種情況下桿的受力：①當A的速率v1=1m/s時；②當A的速率v2=4m/s時。

變式2-2（1999年全國卷） 長度為L=0.5m的輕質(zhì)細桿OA，A端有一質(zhì)量為m=3.0kg的小球，如圖4所示，小球以O點為圓心在豎直平面內(nèi)做圓周運動，通過最高點時小球的速率是2.0m/s，g取10m/s2，則此時細桿OA受到（？搖 ？搖）。

A.6.0N的拉力 B.6.0N的壓力

C.24N的拉力？搖 ？搖D.24N的壓力

分析：由以上分析不難得出，例2選擇答案D，變式2-1，先求出臨界速度v=■，v=■m/s ①

其中v1=1m/s，v1

其中v2=4m/s，v2>v，所以，桿對小球的彈力方向向下，由F+mg=mv22/L，解得F=60N。同樣的方法分析變式2-2，解得F=6N，方向向上，那么球?qū)U的力為壓力，互為相互作用力，大小也為6N，故選擇B。還有一種方法，就是在不知道彈力方向的情況下，規(guī)定重力方向為正方向，列出向心力公式：mg+F=mv2/L，如解出F為正值，則與規(guī)定的正方向相同（方向向下），如為負值則與規(guī)定的正方向相反（方向向上）。

第三類問題：車過橋，此類問題如果有彈力，方向一定向上，向心力表達式為G箒F=mv2/R，彈力隨著速度的增大而減小，當速度增大到F=0時，此時v=■，如果速度再增大（即v>■），車就會離心而做平拋運動。

總結：這三類問題的臨界條件都為彈力F=0，為共性問題。其分析思路也一樣：

1.確定研究對象，對其最高點受力分析；

2.結合向心力公式，分析臨界條件，求出臨界速度；

3.求解。

在與其他知識點綜合考察的高考計算題中，先分析清楚是哪一類臨界問題，然后運用各自的規(guī)律找出臨界條件，求出臨界速度，以速度作為紐帶與其他知識點進行綜合。