淺析“△”在圓的相關問題中的應用

李艷

摘要：在解答數學題目的過程中，我們不難發現，如果能夠通過合理的橋梁連接代數和幾何問題，有時能夠降低題目的難度，起到事半而功倍的效果，本文旨在通過例解求根公式在解答幾何題目中的作用，開闊學生的視野，使其能夠用聯系的觀點看待問題。

關鍵詞：求根公式；圓形；面積

中圖分類號：G712？搖 文獻標志碼：A ？搖文章編號：1674-9324（2014）02-0100-02

在代數的一元二次方程求解中，“△”是一個很重要的工具，通過它的計算我們可以直接判斷出該一元二次方程的根的情況，那么在幾何問題中，“△”又能否起到一定的作用呢？在實際的解題中，我們不難發現無論是在三角形、多邊形還是圓形中，如果能夠通過恰當的途徑，構建合適的一元二次方程模型，并在其有解的前提下，應用Δ≥0或 Δ>0去探討某些幾何問題，有時可收到條理清晰、簡捷明了的解題效果。本文僅就其在圓形的相關應用加以分析：

例1 如圖1，PT切⊙O于點T，直線PN交⊙O于點M，N求證PM+PN>2PT。

分析：“PM+PN”及PM·PN=PT2給出暗示，構造一元二次方程，應用“Δ”也許可得巧證。

證明：由割線定理，得PM·PN=PT2，于是PM，PN是方程 x2-（PM+PN）x+PT2=0的兩個根。因為PM≠PN，所以Δ=（PM+PN）2-4PT2>0，由此可得PM+PN>2PT。

例2 如圖2，AB是⊙O的直徑，過A、B引圓的切線AD，BC又過■上任意一點E的切線與AD、BC交于D、C，求證OE≤CD。

證明：如圖，連結OD、OC，因為AD、BC、CD均為⊙O的切線，且AD∥BC，所以OD⊥OC，又OE⊥CD，易證△ODE∽△COE，可得DE·EC=OE2又DE+EC=CD，可知DE、EC是關于x的方程x2-CDx+OE2=0的兩個根。由Δ=（-CD）2-4OE2≥0，知OE≤■CD。

例3 如圖3，半圓O的半徑為1，AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，且AC=1，BC=3，P是半圓上任意一點，求封閉圖形ABDPC面積的最大值。

分析：先添輔助線，把封閉圖形ABDPC分割成規則圖形.利用他們的面積關系構造一元二次方程，再應用“Δ”將是一個可取的途徑。

解：如圖3，過P作PE⊥AB交AB于E，設PE=x，AE=y，封閉圖形ABDPC面積為x2=y（2-y），x=■，S=■（1+x）y+■（x+3）（2-y）=x-y+3=■-y+3，S+y-3=■.兩邊平方、化簡得關于y的一元二次方程2y2+2（S-4）+S2-6S+9=0由Δ=4（S-4）2-8（S2-6S+9）≥0得Δ=4（S-4）2-8（S2-6S+9）≥0，得S2-4S+2≤0，解得2-■≤S≤2+■.故封閉圖形ABDPC面積的最大值是2+■。

例4 如圖4，邊長為26的正△ABC內接于圓O，弦DB∥BC，分別交AB、AC于F、G.如果AF的長x和DF的長y都是正整數，則y的值是（ ）

A.6 B.8 C.12 D16

解析：試題涉及兩個未知數，用幾何方法難以湊效，嘗試使用代數方法。因為AF=x，DF=y，所以BF=26-x，DF=GF=y由相交弦定理，得x（26-x）=y（x+y），即x2+（y-26）x+y2=0由Δ=（y-26）2-4y2≥0得0

例5 有一塊圓心角為60°，半徑長為1米的扇形余料，打算利用此扇形余料鋸一個面積最大的矩形，求這個矩形的最大面積。

解：為了使矩形的面積盡可能大，此矩形應為扇形的內接矩形.為此，分以下兩種情況討論，如圖5（1）、（2），先研究第一種情況。如圖（1），連結OD，設CD=x米，S矩ABCD=y平方米，則BC=OC-OB=■-■=■-■x，所以 y=x（■-■x），所以y+■x2，兩邊平方，整理得4x4+（2■-3）x2+3y2=0.由Δ=（2■-3）2-4×4×3y2≥0得0≤y≤■所以y=■為最大。

再研究第二種情況，如圖（2）。

作∠O的平分線交AB于E、CD于F，連結OC，設BE=x米， S矩ABCD=y平方米，則BC=EF=OF-OE=■-■=■-■x.所以y=2x（■-■x.）所以y+2■x2=2x■，兩邊平方，整理得16x4+4（■x-1）x2+y2=0，由Δ=16（■y-1）2-4×16y2≥0得0≤y≤2-■所以y=2-■為最大。由■-（2-■）=■=■>0得知：所鋸矩形的最大面積是■平方米。

例6 當直角三角形ABC的周長一定時，求其內切圓面積的最大值。

解析：設直角三角形ABC的三邊長為a、b、c（c為斜邊），其周長為2p，內切圓半徑為r，則有a+b+c=2pΛΛ（1）a2+b2=c2ΛΛΛ（2）a+b-c=2rΛΛ（3），由（1）、（3）得c=p-r從而a+b=2r+c=p+4（4）

又ab=■=■=2pr （5）

由（4）、（5）知a、b是一元二次方程x2-（p+r）+2pr=0的兩個根。要使此方程有實數根，必須Δ=（p+r）2-4·2pr≥0，即r2-6pr+q2≥0，所以（r-3p）2≥8p2因為r≥（3+2■）p與c=p-r>0矛盾，故取r≤（3-2■）p.所以當r=（3-2■）p時，內切圓半徑最大，并推得a=b時內切圓有最大面積 π（3-2■）2p2平方單位。

注：這一解法中，盡力尋找a、b兩數的和與積，是構造方程、應用“Δ”求得結果的關鍵。

從上述例題中我們不難發現，代數和幾何之間不是互相孤立的，而是緊密相連的，如果可以在幾何問題中構建適當的代數模型，就能最大程度地降低問題的難度，開辟出解題的新天地?？梢?，用聯系的觀點來看問題，在數學的解題中能夠發揮重大的作用。

摘要：在解答數學題目的過程中，我們不難發現，如果能夠通過合理的橋梁連接代數和幾何問題，有時能夠降低題目的難度，起到事半而功倍的效果，本文旨在通過例解求根公式在解答幾何題目中的作用，開闊學生的視野，使其能夠用聯系的觀點看待問題。

關鍵詞：求根公式；圓形；面積

中圖分類號：G712？搖 文獻標志碼：A ？搖文章編號：1674-9324（2014）02-0100-02

在代數的一元二次方程求解中，“△”是一個很重要的工具，通過它的計算我們可以直接判斷出該一元二次方程的根的情況，那么在幾何問題中，“△”又能否起到一定的作用呢？在實際的解題中，我們不難發現無論是在三角形、多邊形還是圓形中，如果能夠通過恰當的途徑，構建合適的一元二次方程模型，并在其有解的前提下，應用Δ≥0或 Δ>0去探討某些幾何問題，有時可收到條理清晰、簡捷明了的解題效果。本文僅就其在圓形的相關應用加以分析：

例1 如圖1，PT切⊙O于點T，直線PN交⊙O于點M，N求證PM+PN>2PT。

分析：“PM+PN”及PM·PN=PT2給出暗示，構造一元二次方程，應用“Δ”也許可得巧證。

證明：由割線定理，得PM·PN=PT2，于是PM，PN是方程 x2-（PM+PN）x+PT2=0的兩個根。因為PM≠PN，所以Δ=（PM+PN）2-4PT2>0，由此可得PM+PN>2PT。

例2 如圖2，AB是⊙O的直徑，過A、B引圓的切線AD，BC又過■上任意一點E的切線與AD、BC交于D、C，求證OE≤CD。

證明：如圖，連結OD、OC，因為AD、BC、CD均為⊙O的切線，且AD∥BC，所以OD⊥OC，又OE⊥CD，易證△ODE∽△COE，可得DE·EC=OE2又DE+EC=CD，可知DE、EC是關于x的方程x2-CDx+OE2=0的兩個根。由Δ=（-CD）2-4OE2≥0，知OE≤■CD。

例3 如圖3，半圓O的半徑為1，AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，且AC=1，BC=3，P是半圓上任意一點，求封閉圖形ABDPC面積的最大值。

分析：先添輔助線，把封閉圖形ABDPC分割成規則圖形.利用他們的面積關系構造一元二次方程，再應用“Δ”將是一個可取的途徑。

解：如圖3，過P作PE⊥AB交AB于E，設PE=x，AE=y，封閉圖形ABDPC面積為x2=y（2-y），x=■，S=■（1+x）y+■（x+3）（2-y）=x-y+3=■-y+3，S+y-3=■.兩邊平方、化簡得關于y的一元二次方程2y2+2（S-4）+S2-6S+9=0由Δ=4（S-4）2-8（S2-6S+9）≥0得Δ=4（S-4）2-8（S2-6S+9）≥0，得S2-4S+2≤0，解得2-■≤S≤2+■.故封閉圖形ABDPC面積的最大值是2+■。

例4 如圖4，邊長為26的正△ABC內接于圓O，弦DB∥BC，分別交AB、AC于F、G.如果AF的長x和DF的長y都是正整數，則y的值是（ ）

A.6 B.8 C.12 D16

解析：試題涉及兩個未知數，用幾何方法難以湊效，嘗試使用代數方法。因為AF=x，DF=y，所以BF=26-x，DF=GF=y由相交弦定理，得x（26-x）=y（x+y），即x2+（y-26）x+y2=0由Δ=（y-26）2-4y2≥0得0

例5 有一塊圓心角為60°，半徑長為1米的扇形余料，打算利用此扇形余料鋸一個面積最大的矩形，求這個矩形的最大面積。

解：為了使矩形的面積盡可能大，此矩形應為扇形的內接矩形.為此，分以下兩種情況討論，如圖5（1）、（2），先研究第一種情況。如圖（1），連結OD，設CD=x米，S矩ABCD=y平方米，則BC=OC-OB=■-■=■-■x，所以 y=x（■-■x），所以y+■x2，兩邊平方，整理得4x4+（2■-3）x2+3y2=0.由Δ=（2■-3）2-4×4×3y2≥0得0≤y≤■所以y=■為最大。

再研究第二種情況，如圖（2）。

作∠O的平分線交AB于E、CD于F，連結OC，設BE=x米， S矩ABCD=y平方米，則BC=EF=OF-OE=■-■=■-■x.所以y=2x（■-■x.）所以y+2■x2=2x■，兩邊平方，整理得16x4+4（■x-1）x2+y2=0，由Δ=16（■y-1）2-4×16y2≥0得0≤y≤2-■所以y=2-■為最大。由■-（2-■）=■=■>0得知：所鋸矩形的最大面積是■平方米。

例6 當直角三角形ABC的周長一定時，求其內切圓面積的最大值。

解析：設直角三角形ABC的三邊長為a、b、c（c為斜邊），其周長為2p，內切圓半徑為r，則有a+b+c=2pΛΛ（1）a2+b2=c2ΛΛΛ（2）a+b-c=2rΛΛ（3），由（1）、（3）得c=p-r從而a+b=2r+c=p+4（4）

又ab=■=■=2pr （5）

由（4）、（5）知a、b是一元二次方程x2-（p+r）+2pr=0的兩個根。要使此方程有實數根，必須Δ=（p+r）2-4·2pr≥0，即r2-6pr+q2≥0，所以（r-3p）2≥8p2因為r≥（3+2■）p與c=p-r>0矛盾，故取r≤（3-2■）p.所以當r=（3-2■）p時，內切圓半徑最大，并推得a=b時內切圓有最大面積 π（3-2■）2p2平方單位。

注：這一解法中，盡力尋找a、b兩數的和與積，是構造方程、應用“Δ”求得結果的關鍵。

從上述例題中我們不難發現，代數和幾何之間不是互相孤立的，而是緊密相連的，如果可以在幾何問題中構建適當的代數模型，就能最大程度地降低問題的難度，開辟出解題的新天地?？梢?，用聯系的觀點來看問題，在數學的解題中能夠發揮重大的作用。

摘要：在解答數學題目的過程中，我們不難發現，如果能夠通過合理的橋梁連接代數和幾何問題，有時能夠降低題目的難度，起到事半而功倍的效果，本文旨在通過例解求根公式在解答幾何題目中的作用，開闊學生的視野，使其能夠用聯系的觀點看待問題。

關鍵詞：求根公式；圓形；面積

中圖分類號：G712？搖 文獻標志碼：A ？搖文章編號：1674-9324（2014）02-0100-02

在代數的一元二次方程求解中，“△”是一個很重要的工具，通過它的計算我們可以直接判斷出該一元二次方程的根的情況，那么在幾何問題中，“△”又能否起到一定的作用呢？在實際的解題中，我們不難發現無論是在三角形、多邊形還是圓形中，如果能夠通過恰當的途徑，構建合適的一元二次方程模型，并在其有解的前提下，應用Δ≥0或 Δ>0去探討某些幾何問題，有時可收到條理清晰、簡捷明了的解題效果。本文僅就其在圓形的相關應用加以分析：

例1 如圖1，PT切⊙O于點T，直線PN交⊙O于點M，N求證PM+PN>2PT。

分析：“PM+PN”及PM·PN=PT2給出暗示，構造一元二次方程，應用“Δ”也許可得巧證。

證明：由割線定理，得PM·PN=PT2，于是PM，PN是方程 x2-（PM+PN）x+PT2=0的兩個根。因為PM≠PN，所以Δ=（PM+PN）2-4PT2>0，由此可得PM+PN>2PT。

例2 如圖2，AB是⊙O的直徑，過A、B引圓的切線AD，BC又過■上任意一點E的切線與AD、BC交于D、C，求證OE≤CD。

證明：如圖，連結OD、OC，因為AD、BC、CD均為⊙O的切線，且AD∥BC，所以OD⊥OC，又OE⊥CD，易證△ODE∽△COE，可得DE·EC=OE2又DE+EC=CD，可知DE、EC是關于x的方程x2-CDx+OE2=0的兩個根。由Δ=（-CD）2-4OE2≥0，知OE≤■CD。

例3 如圖3，半圓O的半徑為1，AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，且AC=1，BC=3，P是半圓上任意一點，求封閉圖形ABDPC面積的最大值。

分析：先添輔助線，把封閉圖形ABDPC分割成規則圖形.利用他們的面積關系構造一元二次方程，再應用“Δ”將是一個可取的途徑。

解：如圖3，過P作PE⊥AB交AB于E，設PE=x，AE=y，封閉圖形ABDPC面積為x2=y（2-y），x=■，S=■（1+x）y+■（x+3）（2-y）=x-y+3=■-y+3，S+y-3=■.兩邊平方、化簡得關于y的一元二次方程2y2+2（S-4）+S2-6S+9=0由Δ=4（S-4）2-8（S2-6S+9）≥0得Δ=4（S-4）2-8（S2-6S+9）≥0，得S2-4S+2≤0，解得2-■≤S≤2+■.故封閉圖形ABDPC面積的最大值是2+■。

例4 如圖4，邊長為26的正△ABC內接于圓O，弦DB∥BC，分別交AB、AC于F、G.如果AF的長x和DF的長y都是正整數，則y的值是（ ）

A.6 B.8 C.12 D16

解析：試題涉及兩個未知數，用幾何方法難以湊效，嘗試使用代數方法。因為AF=x，DF=y，所以BF=26-x，DF=GF=y由相交弦定理，得x（26-x）=y（x+y），即x2+（y-26）x+y2=0由Δ=（y-26）2-4y2≥0得0

例5 有一塊圓心角為60°，半徑長為1米的扇形余料，打算利用此扇形余料鋸一個面積最大的矩形，求這個矩形的最大面積。

解：為了使矩形的面積盡可能大，此矩形應為扇形的內接矩形.為此，分以下兩種情況討論，如圖5（1）、（2），先研究第一種情況。如圖（1），連結OD，設CD=x米，S矩ABCD=y平方米，則BC=OC-OB=■-■=■-■x，所以 y=x（■-■x），所以y+■x2，兩邊平方，整理得4x4+（2■-3）x2+3y2=0.由Δ=（2■-3）2-4×4×3y2≥0得0≤y≤■所以y=■為最大。

再研究第二種情況，如圖（2）。

作∠O的平分線交AB于E、CD于F，連結OC，設BE=x米， S矩ABCD=y平方米，則BC=EF=OF-OE=■-■=■-■x.所以y=2x（■-■x.）所以y+2■x2=2x■，兩邊平方，整理得16x4+4（■x-1）x2+y2=0，由Δ=16（■y-1）2-4×16y2≥0得0≤y≤2-■所以y=2-■為最大。由■-（2-■）=■=■>0得知：所鋸矩形的最大面積是■平方米。

例6 當直角三角形ABC的周長一定時，求其內切圓面積的最大值。

解析：設直角三角形ABC的三邊長為a、b、c（c為斜邊），其周長為2p，內切圓半徑為r，則有a+b+c=2pΛΛ（1）a2+b2=c2ΛΛΛ（2）a+b-c=2rΛΛ（3），由（1）、（3）得c=p-r從而a+b=2r+c=p+4（4）

又ab=■=■=2pr （5）

由（4）、（5）知a、b是一元二次方程x2-（p+r）+2pr=0的兩個根。要使此方程有實數根，必須Δ=（p+r）2-4·2pr≥0，即r2-6pr+q2≥0，所以（r-3p）2≥8p2因為r≥（3+2■）p與c=p-r>0矛盾，故取r≤（3-2■）p.所以當r=（3-2■）p時，內切圓半徑最大，并推得a=b時內切圓有最大面積 π（3-2■）2p2平方單位。

注：這一解法中，盡力尋找a、b兩數的和與積，是構造方程、應用“Δ”求得結果的關鍵。

從上述例題中我們不難發現，代數和幾何之間不是互相孤立的，而是緊密相連的，如果可以在幾何問題中構建適當的代數模型，就能最大程度地降低問題的難度，開辟出解題的新天地。可見，用聯系的觀點來看問題，在數學的解題中能夠發揮重大的作用。