導數法在高中數學解題中的有效應用

楊 飛

(山東省費縣第一中學 273400)

導數的概念、性質等相關知識點在高中數學中具有重要的地位，也成為了學生解答數學習題的有效輔助工具，能夠將復雜的問題簡單化，簡便學生的解題流程，實現提高數學成績的目的.因此，高中數學教師要積極采取先進的教學方法，在高中教學中融入導數法的教學內容，讓學生能夠利用導數法解答數學難題.

1 導數分析

導數法在高中數學教學中具有關鍵性的地位.導數的概念、性質以及幾何意義需要學生熟練掌握，并進行實際的應用，需要學生明確導數內涵，理解公式的推導過程，要在數學學習的過程中，靈活運用導數法，簡化解題流程，充分發揮學生的數學思維，將導數與函數、幾何圖形、不等式等相關知識進行有效地融合，真正地將導數法應用到具體的數學生活中.

2 導數在高中數學解題中的有效運用

2.1 利用導數解決函數單調性問題

使用函數圖象解決函數單調性的問題存在一定的局限性，對于簡單的函數可以直接觀察函數的圖象進行解決，而對于復雜的函數通過圖象難以判斷該函數的單調性，需要具體問題具體分析.將導數法和數學知識點結合起來，及時解決并計算函數問題，明確函數的單調性，讓學生能夠在較短的時間內獲得函數單調性的答案.

通過利用導數法，幫助學生用最少的時間獲得最準確的問題答案，從而縮短學生的思考時間，讓學生能夠有更多的精力和時間去解決其他問題.

2.2 求單調區間

例2已知函數f(x)=ax+x2-xlna(a>0且a≠1),求函數f(x)的單調區間.

解析因為f(x)=ax+x2-xlna，所以f′(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna.令g(x)=2x+(ax-1)lna,因為a>0且a≠1,所以g′(x)=2+ax(lna)2>0.所以f′(x)在R上是增函數.又因為f′(0)=0,所以不等式f′(x)> 0的解集為(0,+∞).故函數f(x)的單調增區間為(0,+∞),單調減區間為 (-∞,0).

此外，學生在掌握基礎的計算方法后，還可以舉一反三，利用導數法能夠有效縮減學生的解題時間，讓學生快速求出答案，解出題目中參數的取值范圍.

2.3 利用單調性求字母取值范圍

2.4 應用導數解決函數的極值問題

通常情況下，常考的數學極值問題會給出一個目標函數，并明確該函數的具體區間范圍，讓學生在有限的時間內，利用導數法求出該函數在該區間范圍內的極值，并計算出在該區間內的具體極大值和極小值，完成數學解題步驟.

例4求函數f(x)=x3-12x的極值.

解析函數定義域為R，

f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2).

令f′(x)=0，得x=2或x=-2.

當x>2或x<-2時，f′(x)>0,

故函數在(-∞,-2)和(2,+∞)上單調遞增；

當-2

故函數在(-2，2)上單調遞減.

所以當x=-2時，函數有極大值f(-2)=16，

當x=2時，函數有極小值f(2)=-16.

函數極值的概念具有較強的抽象性，學生在實際理解和運用過程中具有一定的困難.學生可以靈活利用導數法，從根本上降低解決函數問題的難度，明確解題思路，快速地解決函數極值問題.

2.5 利用導數解決切線問題

函數導數的幾何意義是指在函數上某一點的切線斜率.學生要掌握基本的求切線的方法，合理地利用導數思維提高解題的正確率和有效性.

又切線PM過點P(1,0)，則

同理，由切線PN也過點P(1,0)，

2.6 利用導數法解決不等式問題

導數也能夠有機地解決不等式的相關問題，能夠充分結合學生的生活實際，利用導數法去解決實際的數學問題，將新舊知識有效結合，培養學生的整體思維和實踐能力.

綜上，高中學生可以有效地將函數與不等式的相關知識進行有機結合，通過利用導數法讓學生在解題過程中能夠舉一反三，能夠利用多個數學知識點對問題進行解決，從而讓學生的解題思路和解題方法更加靈活.

3 指導學生用導數法解決函數問題的注意事項

(1)導數的概念是基礎,要多理解.要知道導數是函數平均變化率的極限值，后邊求導公式就是從概念出發推導出來的.

(2)導數的運算是基本功,要多練習.常見函數求導公式必須記熟，導數四則運算法則和復合函數求導法則要在練習中熟練起來.

(3)導數的應用是落腳點,要注意數形結合.求函數單調區間和極值、最值是基本問題，要練熟，稍微復雜的問題要善于結合函數圖象尋找解題思路.

(4)具體解題中還要注意函數定義域等細節問題.

(5)多練習數學習題，明確導數法的使用規則，掌握數學題型，舉一反三.

例7已知{an}是遞增數列且an=n2+bn對任意n∈N*恒成立，求實數b的取值范圍.

解析本題如果采取化離散為連續的解題方法，會使用導數法求解，常常會出現如下做法:

構造輔助函數f(x)=x2+bx,則f(x)應在[1，+∞)上單調遞增，即b≥-2x在[1，+∞)上恒成立，故有b≥-2.

上述解答由{an}是遞增數列，可斷定f(x)=x2+bx在[1，+∞)上單調遞增是錯誤的.

圖1

所以，本題的正確解法是:由{an}單調遞增得an-2n-1對任意n∈N恒成立.

又(-2n-1)max=-3，故有b>-3為所求.

在教學過程中，高中數學教師要注重導數部分的教學，要在教學過程中綜合利用實踐法、討論法等多種方式，讓學生能夠真正學會導數，明確導數法與其他數學知識的內在聯系，真正地提高學生的數學素養，發散學生的思維，從而更好地貫徹素質教育的教學理念，提高學生的數學實踐應用能力.