連續箱梁剪力滯系數的固定端法求解

向中富,蔣俊秋，黃海東

(重慶交通大學 土木建筑學院，重慶 400074)

剪力滯效應是剪力流在橫向傳遞過程中的滯后現象，而剪力滯系數則是梁截面實際發生的應力值與初等梁理論算出的應力值之比。近年來，隨著對剪力滯效應深入研究，在薄壁箱梁剪力滯效應分析方面取得了一些有價值的成果，發表了不少論文、論著[1-8]。其中大多數采用能量變分法、比擬桿法、有限條法、板殼有限元法。在能量變分法中，通常采用解肢法與疊加原理法求解連續箱梁剪力滯系數。

解肢法最大的優點是將超靜定的連續梁在反彎點處解肢形成一小段一小段的簡支梁，各連續梁之間互不影響。在多跨連續梁剪力滯計算中，解肢法這種方法非常方便，但解肢法的缺點在于將超靜定的連續梁在反彎點處解肢為簡支梁，經計算，在反彎點處梁的剪切轉角的最大差值〔即u(x)〕不連續，不滿足梁的變形連續性。因此，解肢法具有一定的近似性。

疊加原理法的優點就是u(x)連續，即滿足梁的變形連續性能夠真實有效地反映梁的真實變形以及應力分布，但需要計算每一個力作用點的剪力滯系數依次在其基本體系上進行疊加。當連續梁跨數變多，受力情況變復雜時，計算就會變得非常繁瑣，并且不易形成公式，不便于計算。

筆者將解肢法的思想與疊加法的思想進行融合，尋找一種簡便同時也滿足精度要求的連續箱梁剪力滯效應求解方法。

1 基本假設

寬箱梁在撓曲時，上下翼板因為剪切變形的影響，已經不符合初等梁理論中的變形保持平截面的假定，用一個廣義位移即梁的撓度ω(x)來描述箱梁的撓曲變形已經不夠[1-2]。

在應用最小勢能原理分析箱梁撓曲時，必須引入兩個廣義位移概念：

(1)

式中：u(x,y)為梁的縱向位移；u(x)為剪切轉角的最大差值，它并非位移變量；b為箱室凈寬1/2；hi為截面形心到上板或下板距離。

根據最小勢能原理，對梁的應變能式子進行變分，得到：

式中：IS=Isu+Isb；I=Iw+IS；Isu，Isb，Iw分別為上板下板、腹板對截面形心慣性矩；E，G分別為楊氏模量、剪切模量；Q(x)為x坐標處的剪力值。

2 連續箱梁剪力滯系數的固端法求解

現以1座兩跨連續箱梁受均布荷載(圖1)為例進行剪力滯系數求解公式推導。

圖1 兩跨連續梁受均布荷載Fig.1 Two span continuous beams under uniform load

2.1 固定端法求解

圖2 兩跨連續梁受均布荷載的彎矩、剪力圖Fig.2 Bending moment and shear of two span continuousbeam under uniform load

將圖1結構在B支座處截斷形成固定端，AB段簡化為圖3所示結構。

圖3 兩跨連續梁肢解成的結構Fig.3 The structure dismembered by two span continuous beam

在0≤x≤l時：

由邊界條件u|x=l=0，u′|x=0=0，可得：

即：

(2)

同理在BC段，可以簡化成如圖4所示結構。

圖4 兩跨連續梁肢解成的結構Fig.4 The structure dismembered by two span continuous beam

在l

解方程得：

由邊界條件u|x=l=0，u′|x=(a+1)l=0，可得：

即：

(3)

2.2 解肢法與疊加法求解

2.2.1 解肢法求解

經解肢法計算得到該連續梁橋剪力滯系數。

(4)

(5)

(6)

x+l)2

(7)

2.2.2 疊加法求解

由疊加原理法的公式：

得圖1結構的剪力滯系數。

1)當0≤x≤l：

(8)

2)當l

(9)

2.3 3種算法對比

通過對比3種方法所求解析式的復雜程度，可以發現固定端法求得的解析式相比之下更為簡便，便于計算。

令a=2,IS/I=0.767，n=3.044，k=0.751，l=20，將這些參數帶入式(2)～式(9)，即可分別得到固定端法、解肢法、疊加原理法求得的剪力滯系數公式，得出這3種方法所計算得到的剪力滯系數沿連續梁跨徑方向的變化曲線，如圖5。

圖5 剪力滯沿跨徑方向變化曲線Fig.5 Curve of shear lag changing along the span direction

從圖5可以看出，固定端法求得的曲線與疊加法和解肢法的曲線是吻合的，從而進一步說明了固定端法計算剪力滯系數的結果是可靠的。

3 多跨連續梁剪力滯效應分析

隨著連續箱梁跨數的增加，受力的復雜，若仍采用解肢法與疊加原理法求解多跨連續箱梁就會變得非常復雜，甚至得不到最后的解析式，不利于編程和進行橋梁電算。

下面采用筆者提出的固端法進行多跨連續箱梁的剪力滯分析，并推到實用解析計算式，其中均以均布荷載為例。

3.1 兩等跨連續梁剪力滯效應分析

將a=1帶入式(1)、式(2)即可得到兩等跨連續箱梁剪力滯系數。

1)當0≤x≤l：

(10)

2)當l

(11)

3.2 三等跨連續梁剪力滯效應分析

對三等跨連續梁，每跨長l,采用固定端法。

1)當0≤x≤l：

(12)

2)當l

(13)

3)當2l≤x≤3l：

(14)

3.3 四等跨連續梁剪力滯效應分析

對于四等跨連續梁，每跨長為l,采用固定端法。

1)當0≤x≤l：

(15)

2)當l

(16)

3)當2l

(17)

4)當3l≤x≤4l：

(18)

3.4 n等跨連續梁剪力滯效應分析(n≥5)

對于n等跨連續梁(n≥5)，每跨長為l,采用固定端法。

1)當0≤x≤l：

(19)

2)當l

(20)

3)當il

(21)

4)當(n-2)l≤x<(n-1)l：

(22)

5)當(n-1)l≤x≤nl：

(23)

3.5 多跨連續梁剪力滯分析

當連續梁橋跨徑增大、跨數增多后，通過解肢法與疊加法來進行剪力滯系數的求解將會非常繁瑣，解析式也會變得非常復雜，此時，通過固定端法求解多跨連續梁剪力滯系數能夠簡化計算并且得到滿足精度要求的結果。

現以一座六等跨連續箱梁(圖6)為例采用固定端法進行計算，并運用有限元模型對其結果進行驗證。

圖6 六等跨連續梁受均布荷載Fig.6 Six span continuous beam under uniform load

對于圖6中的六等跨連續梁結構，取l=20 m，該連續梁橋全長120 m，混凝土為C50混凝土，只考慮箱梁受到恒載自重的作用，不考慮橫隔板以及鋼筋、預應力對剪力滯的影響。箱梁橫截面為圖7中截面(IS/I=0.767，n=3.044，k=0.751，l=20)。

圖7 矩形箱梁截面尺寸(單位：m)

模型采用有限元分析軟件Midas FEA進行模擬，混凝土采用3D實體單元，不考慮橫隔板以及鋼筋、預應力對剪力滯的影響。本次試驗經過多次試算和調整，劃分單位尺寸為0.25 m，如圖8，計算結果如圖9。

圖8 建模圖形Fig.8 Modeling

圖9 計算結果Fig.9 Calculation result

有限元模型結果與文中式(19)～式(23)計算所得的剪力滯系數進行比較，可得表1。

表1 剪力滯系數比較

4 結 語

多跨連續梁橋剪力滯系數計算中，解肢法、疊加原理法計算繁瑣，當跨數增多后往往很難得到其剪力滯系數的解析式。筆者通過固定端法，推導總結得出了n等跨連續梁剪力滯系數運算相對簡便的計算公式，且結果與有限元模型能很好地吻合。從而解決了解肢法、疊加原理法計算多跨連續梁剪力滯系數計算繁瑣的問題。由此可得，這種實用計算方法是滿足精度要求的，如此簡化，便于對連續梁剪力滯系數進行求解、便于編程進行橋梁電算。

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