不連續治療策略下一類非線性SIR模型的全局穩定性

楊 梅，孫福芹

（天津職業技術師范大學理學院，天津 300222）

不連續治療策略下一類非線性SIR模型的全局穩定性

楊 梅，孫福芹

（天津職業技術師范大學理學院，天津 300222）

研究一類具有不連續治療策略和非線性發生項的SIR模型。首先運用右端不連續的微分方程理論定義模型的Filippov解，然后證明該模型的全局行為由閾值R0確定，即當R0≤1時，無病平衡點全局漸近穩定。

Filippov解；不連續治療策略；基本再生數；全局漸近穩定

用微分方程描述數學模型是研究傳染病動力學的一種經典方法。Kermack和Mckendrick在1926年構造了著名的SIR倉室模型，后于1932年提出了SIS倉室模型，并提出為傳染病動力學研究奠定基礎的“閾值理論”。近年來，對于帶有一般發生項的SIR模型，被許多學者廣泛研究，并獲得了閾值定理[1-5]。對有些傳染病，如流感、肺結核等，治療是控制它們傳播的一個重要因素。文獻[4]和文獻[5]分別研究了治療資源有限以及常值治療的情況下系統的全局性態。在文獻中，治療策略關于感染者人數都是連續的，而在流行病的傳播過程中，在各個時間區域內，專業人員會根據相關數據采取相應的治療措施。因此，為提高流行病的防治效率，考慮具有不連續的治療策略的傳染病模型是必要并且具有實際意義的。然而這方面的研究結果相對較少，本文考慮將不連續的治療策略引入文獻[1-2]中經典的SIR模型，給出了一類具非線性發生項的SIR模型的無病平衡點的全局漸近穩定性條件。

1 模型

文獻[1-2]中研究了經典的具非線性發生項的連續SIR模型：

式中：S、I、R分別表示易感者、感染者、康復者在人口中所占的比例；μ＞0表示出生率，同時也表示死亡率；σ＞0表示感染者的自然康復率；f（S（t），I（t））表示非線性發生率。

本文討論非線性發生率f（S（t），I（t））為S·g（I）的形式，并將不連續治療率函數h（I）引入系統（1）得到的模型：

由于前2個方程與變量R（t）無關，因此僅需考慮下面的二維系統：

初始條件為：

在適當假設下，引入系統（3）的基本再生數R0后，我們將證明當R0≤1時，系統無病平衡點的全局漸近穩定性。

2 基本假設和主要結論

關于函數g，h，這里首先給出如下假設：

（H1）函數g（I）二次連續可微，滿足g（O）=0，當I≥0時，g′（I）＞0，g″（I）≤0，且使得函數Φ（I）=g（I）/I有界。

（H2）h（I）=φ（I）·I，其中φ∶R+→R+為單調不減且分段連續的函數，即除了可數個孤立的點{ξk}外，在其它點處都連續，在這些孤立的點處的左右極限和滿足。并且，對R+的任意一個緊子集，φ在其上只有有限個不連續點，并假設φ在I=0處連續。

現給出系統（3）在初始條件（4）下的Filippov解的定義：

定義1[10]設定義在區間[0，T），T∈（0，+∞]上的向量函數（S（t），I（t））。若在[0，T）的任意子區間[t1，t2]上，（S（t），I（t））絕對連續，S（0）=S0≥0，I（0）=I0≥0，并且對幾乎所有的t∈[0，T），（S（t），I（t））都滿足如下微分包含：

由右端不連續微分方程的平衡點的定義，若常數解（S（t），I（t））=（S*，I*），t∈（0，+∞]為（3）的平衡點，當且僅當

由可測性選擇定理[6]易知，存在唯一的常數ξ*= S*g（I*）-（μ+σ）I*滿足

故要求出（3）的平衡點，只需求解如下微分包含：

在假設（H1）和（H2）下，根據文獻[7-10]，可證明如下引理：

引理1[7，8，10]設（S（t），I（t））為（3）滿足初始條件（4）的定義在區間[0，T），T∈（0，+∞]的解，則對?t∈[0，T），都有S（t）≥0，I（t）≥0。

引理2[9，10]在初始條件（4）下，模型（3）至少存在一個解（S（t），I（t）），并且，任意解都有界，從而在區間[0，+∞）上有定義。

記基本再生數為R0=g′（0）/[μ+σ+φ（0）]，關于無病平衡點E0=（1，0）的全局漸近穩定性，有以下結論。

定理 當R0≤1時，無病平衡點E0是全局漸近穩定的。

3 定理的證明

易知R0＜1時，系統（3）的特征根全為負值，因此E0局部漸近穩定。而當R0＞1時，它變為不穩定。接下來考察當R0≤1時，系統在E0處的全局漸近穩定性。

將E0移到原點處，作變換x=S-1，則（5）變為：

取Lyapunov函數：V（x，I）=x2/2+I，則V在第一象限內是關于變量（x，I）的光滑且正定函數。可取充分大的數l，使集合｝有界。記

易知G為一具有非空緊凸像的上半連續集值映射。任取v=（v1，v2）∈G（x，I），由可測性選擇定理[6]，存在一個與（x（t），I（t））相對應的可測函數η（t）∈，使得對幾乎所有的t∈[0，T），有

下面沿著系統（6）的解計算▽V（x，I）·v，

由于Φ′（I）=[g′（I）I-g（I）]/I2，由假設（H1）知g（0）=0，g″（I）≤0，因而Φ′（I）=[g′（I）I-g（I）]/I2≤0，進而知Φ（I）=g（I）/I單調遞減。又因為當I＞0時，Φ（I）=g（I）/I有界，所以

又因為η（t）≥φ（0），所以

當R0＜1時，集合當R0=1時，若x=x（t）≡0，則有I=I（t）≡0。對?l＞0，ZV∩Ll的最大弱不變子集為{（0，0）}。所以，根據不變性原理及其推論（文獻[10]中定理4.3.1和推論4.3.2）可知，當R0≤1時，（0，0）全局漸近穩定，從而系統（3）的無病平衡點E0也是全局漸近穩定的。

4 結束語

本文討論了一類具非線性發生項S·g（I），且具有不連續治療策略h（I）的SIR模型。結合不連續系統的穩定性理論，證明了當R0≤1時，無病平衡點E0的全局漸近穩定性。將不連續治療策略引入經典的傳染病模型，對于提高傳染病的防治效率以及減少花費，具有深遠意義，目前這一課題的研究結果相對較少，還需進一步研究。

［1］ KOROBEINIKOV A.Lyapunov functions and global stability for SIR and SIRS epidemiological models with non-linear transmission［J］.Math Biol，2006，68：615-626.

［2］ KOROBEINIKOV A.Global properties of infectious disease models with nonlinear incidence［J］.Math Biol，2007，69：1871-1886.

［3］ ENATSU Y，NAKATA Y，MUROYA Y.Global stability of SIR epidemic models with a wide class of nonlinear incidence rates and distributed delays［J］.Discrete and Continuous Dynamical Systems Series B，2011，15：61-74.

［4］ WANG W.Backward bifurcation of an epidemic model with treatment［J］.Math Biosci，2006，201：58-71.

［5］ WANG W，RUAN S.Bifurcation in an epidemic model with constant removal rate of the infectives［J］.Math Anal Appl，2004，291：775-793.

［6］ AUBIN J P，FRANKOWSKA H.Set-Valued Analysis［M］. Boston：Birkauser，1990.

［7］ AUBIN J P，CELLINA A.Differential Inclusions［M］.Berlin：Springer-Verlag，1984.

［8］ FILIPPOVAF.Differentialequationswithdiscontinuous righthand side［C］//Mathematics and Its Applications（Soviet series）.Boston：Kluwer Academic，1988.

［9］ ZAREMBA S S.Les equations an paratingent［J］.Bull de Sci Math，1936，60：139-160.

［10］黃立宏，郭振遠，王佳伏.右端不連續微分方程理論及應用［M］.北京：科學出版社，2011：75-96.

Global stability of SIR model with nonlinear incidence and discontinuous treatment

YANG Mei，SUN Fu-qin
（School of Science，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

A class of SIR model with discontinuous treatment and nonlinear incidence is proposed.Firstly，we define the Filippov solution of the system by using the theory of the differential equations with discontinuous right-hand side.We prove that the global dynamics of each discontinuous SIR model is fully determined by a single threshold parameter R0，which indicates that the unique disease-free equilibrium is globally asymptotical stable if R0≤1.

Filippov solution；discontinuous treatment strategies；basic reproduction number；globally asymptotical stability.

O175

A

2095－0926（2014）03－0036－03

2014-03-07

天津市科技發展基金資助項目（20081003）.

楊 梅（1989—），女，碩士研究生；孫福芹（1970—），男，教授，博士，研究方向為偏微分方程及其應用、生物數學及動力系統等.