泡沫鋁率相關性能的有限元模擬*

范志庚,陳常青,萬 強

(1.中國工程物理研究院總體工程研究所，四川 綿陽 621999；2.清華大學航天航空學院工程力學系，北京 100084)

泡沫金屬材料的率相關性能研究主要采用分離式霍普金森壓桿(SHPB)動態壓縮實驗技術。由于泡沫鋁復雜的微結構以及低阻抗、低波速、大變形等特點，使其動態性能測試難度較大，實驗結果的離散性很大。同時，由于泡沫鋁材料制備方法多樣，泡沫鋁的力學性能差異很大。迄今為止，對泡沫鋁應變率效應的研究尚沒有得出一致的結論[1-2]。

V.S.Deshpande等[3]進行了0.001～5 000 s-1應變率范圍內Alulight泡沫和Duocel泡沫的動、靜態壓縮實驗，得到閉孔泡沫鋁和開孔泡沫鋁均對應變率不敏感的結論。郭偉國等[4]對相對密度8.4%和4.5%的Duocel泡沫在0.001～500 s-1應變率下的形變和力學性能進行了系統的實驗研究, 同樣得出該材料對應變率不敏感的結論。K.A.Dannemann等[5]在Alporas 泡沫和6101鋁合金開孔泡沫(Duocel)的動、靜態壓縮實驗中則發現，400～2 500 s-1的應變率范圍內閉孔泡沫鋁具有明顯的應變率效應，開孔泡沫的應變率效應不明顯。T.Mukai等[6-7]同樣也得出了閉孔泡沫鋁對應變率敏感的結論。程和法等[8-9]分別對相對密度0.363～0.419的開孔泡沫Al-Mg合金以及相對密度0.341～0.419的通孔泡沫鋁，在0.001～1 600 s-1和0.001～2 000 s-1應變率范圍內的動、靜態壓縮力學性能進行了實驗研究，指出兩種開孔泡沫材料均具有明顯的應變率效應。田杰等[10]開展了4種不同基體材料泡沫鋁的準靜態和動態壓縮實驗，得到的壓縮應力應變曲線顯示，無論基體材料對應變率是否敏感性，泡沫材料都表現出明顯的應變率效應。張健等[11]對孔隙率60%～79%的閉孔泡沫鋁在0.001～2 500 s-1應變率范圍內的實驗研究結果表明，閉孔泡沫鋁的應變率敏感性受孔隙率大小影響，隨著孔隙率的降低，閉孔泡沫鋁表現出明顯的應變率效應，高孔隙率閉孔泡沫鋁對應變率基本不敏感。

盡管有很多泡沫鋁對應變率敏感的結論，但對于敏感性產生原因的解釋不盡相同。K.A.Dannemann等[5]將其歸結為泡孔內氣體的黏性流動。胡時勝等[12]認為泡孔內氣體的黏性流動引起的應力增加可忽略不計，不可能是泡沫材料應變率敏感的根本原因，敏感性主要是由泡孔結構的變形特性產生，基體材料的應變率效應及泡孔的形狀大小并不能對泡沫材料應變率的敏感性起主導作用。張健等[11]認為基體材料的應變率敏感性是泡沫材料應變率敏感性的決定性因素，但影響程度受孔隙率大小影響，隨著孔隙率的增大敏感性降低；微慣性、波效應和孔內氣體壓力對泡沫鋁的平臺應力不產生明顯影響。

總體來說，傾向于泡沫鋁對應變率敏感的研究通常將敏感性產生原因歸結為基體材料率相關性能、微結構慣性以及孔穴內部氣體壓力變化。而根據L.J.Gibson等[13]的研究結論，可以認為，孔穴氣體壓力變化對泡沫鋁材料力學性能的影響很小，不是引起泡沫鋁材料應變率敏感的主要原因。此外，盡管相對密度、應變率等參數不是泡沫鋁材料是否存在應變率效應的決定因素，但相對密度的變化可能會影響泡沫鋁對應變率的敏感程度；應變率(或加載速率)的變化可能會改變泡沫鋁的變形機制，進而影響泡沫鋁材料應變率敏感性的產生原因。為此，本文中，研究基體材料率相關性能、微結構慣性對泡沫鋁率相關性的影響，分析相對密度與泡沫鋁應變率敏感程度的關系，以及應變率變化對泡沫鋁動態壓縮力學性能的影響。

1 模 型

1.1 三維隨機球形泡孔模型

泡沫鋁材料通常為無序開、閉孔混合結構。本文中采用Matlab和Abaqus軟件生成了三維隨機分布球形泡孔模型模擬泡沫鋁材料的微細觀結構，模型幾何邊界呈周期性排列，并采用代表性體積單元邊長與泡孔孔徑的比描述三維隨機模型中泡孔的規模大小，即：

δ=l/(2r)

(1)

式中：δ為模型的泡孔規模大小，l為模型的邊長，r為球形泡孔的半徑。

圖1為泡孔規模δ=4，孔隙率分別為65%、50%和35%的泡沫材料三維球形泡孔模型。模型采用四面體單元離散，單元數量分別為218 032、306 139和377 064。

1.2 基體材料本構模型

采用Cowper-Symonds模型描述鋁合金基體材料的應變率效應[11]：

(2)

基體材料的彈塑性本構采用理想彈塑性模型。計算過程中，應變率參數C和P分別為6 500s-1和4，楊氏模量為69GPa，泊松比為0.33，靜態屈服應力為250MPa，密度為2.7g/mm3。另外，當應變率參數C和P取值為零時，表示基體材料率無關。

1.3 泡孔規模影響分析

泡孔模型在理論上應包含盡可能多的泡孔結構，但過多的微結構將會導致計算量過大而使模型不具有實際應用價值，需要綜合考慮模型泡孔規模與得到可信結論之間的關系。為此，分別構建了泡孔規模δ=2、δ=3和δ=4，孔隙率范圍35%～65%的一系列三維隨機泡孔模型，并采用Abaqus有限元軟件分析了泡沫楊氏模量隨相對密度的分布規律，見圖2。

圖2 泡沫模型初始彈性模量隨相對密度的分布Fig.2 Initial elastic modulus of foams versus foam relative densities

可見，泡孔規模δ=3時，結果的離散性較小，且模型沒有明顯尺度效應。所以采用泡孔規模δ=3的代表性體積單元模型用于后續分析。因此，以下泡沫模型的動態力學性能模擬中，采用的代表性體積單元模型尺寸為6 mm×6 mm×6 mm，泡孔半徑為1 mm。為便于施加壓縮載荷，在模型兩端各添加一塊剛性平板，并對其中一塊平板施加固支約束，對另一塊剛性平板施加恒定速率為v的位移載荷。剛性平板與泡孔模型接觸，泡孔模型自接觸。泡沫材料的應變率可以表示為：

(3)

式中：v為加載速率，l為代表性體積單元模型沿加載方向的尺寸。

以下計算采用Ansys/Ls-dyna有限元程序，不考慮壓縮過程中氣體壓力變化的影響。本文中應力、應變均指工程應力和工程應變。

圖3 基體材料率相關泡沫模型動態壓縮應力應變曲線Fig.3 Dynamic compressive stress-strain curves of foam models with rate-dependent cell material

2 計算結果

2.1 應變率敏感因素

圖3為有限元計算的相對密度50%泡沫模型動態壓縮應力應變曲線，應變率為10～104s-1。可見，泡沫模型的壓縮應力應變曲線顯示出了典型的三階段變形特征，即線彈性段、塑性屈服平臺段以及致密段；且隨著應變率的增加，應力應變曲線的平臺段逐漸抬高，泡沫模型的屈服應力與應變率大小相關，泡沫模型表現出明顯的應變率敏感效應。

由此可以得到初步結論，若基體材料對應變率敏感，則泡沫鋁材料也存在應變率敏感效應。至于泡沫鋁應變率敏感效應是由基體材料的率相關性能引起的還是微結構慣性導致的，還需要進一步分析。

圖4 基體材料率無關泡沫模型動態壓縮應力應變曲線Fig.4 Dynamic compressive stress-strain curves of foam models with rate-independent cell material

當基體材料率無關時，相對密度50%泡沫模型的動態壓縮應力應變曲線見圖4。可見，泡沫模型的壓縮應力應變曲線同樣表現出三階段變形特征；在中、低應變率(10～1 000 s-1)下，隨著應變率的增加，應力應變曲線的平臺段變化不大，泡沫模型的壓縮力學性能對應變率不敏感(見圖4(a))；在高應變率(2 500～10 000 s-1)下，隨著應變率的增加，應力應變曲線的平臺段逐漸抬高，泡沫模型表現出一定的應變率敏感特征(見圖4(b))。與圖3相比， 圖4(b)中平臺應力隨應變率的變化幅度小，可見在高應變率下，基體材料的率相關效應對泡沫模型的率相關性能仍具有重要影響。

圖5 動態壓縮下泡沫鋁流動應力與相對密度關系Fig.5 Flow stresses of aluminum foams versus foam relative densities under dynamic compressive loadings

結合前面的分析可以得到以下結論：(1)在中、低應變率下，泡沫鋁應變率的敏感效應主要由基體材料的率相關性能引起，微結構慣性的影響很小。(2)在高應變率下，微結構慣性對泡沫鋁應變率效應的影響逐漸增大，此時泡沫鋁率相關性能受基體材料的率相關性能和微結構慣性聯合作用。

2.2 相對密度的影響

圖5為10～10 000 s-1應變率范圍動態壓縮載荷條件下，泡沫鋁流動應力隨相對密度的分布。其中，流動應力為各模型應力應變曲線上與0.2壓縮應變所對應的平臺段應力[9]。

L.J.Gibson等[13]給出了靜態壓縮條件下泡沫材料的塑性坍塌強度與相對密度關系式：

(4)

式中：σpl為泡沫材料的塑性坍塌強度，σys為基體材料的屈服強度，a和n為材料常數，ρ為泡沫相對密度。

采用上式對圖5中計算結果進行擬合，可以得到不同應變率下a和n的結果，見表1，擬合曲線見圖5。由表 1中的擬合計算結果發現：(1)隨著應變率的提高，比例系數a逐漸增大，泡沫模型表現出應變率強化效應。(2)在中、低應變率下，隨著應變率的提高，指數n保持不變，表明相對密度變化對泡沫模型的應變率敏感程度基本沒有影響。(3)在高應變率下，隨著應變率的提高，指數n逐漸減小，表明泡沫模型的應變率敏感程度與相對密度相關。

表1 擬合結果Table 1 Fitting results of parameters

2.3 應變率的影響

(5)

(6)

(7)

基于上式計算可以得到，當應變率從10 s-1增加到100和1 000s-1時，泡沫鋁基體材料屈服強度分別增加12.87%和35.74%。將表 1中的數值擬合結果代入式(6)則可以得到，當應變率從10 s-1增加到100和1 000 s-1時，泡沫鋁材料塑性坍塌強度分別增加12.32%和34.96%。可見，在中、低應變率下，泡沫鋁與基體材料對應變率的敏感程度接近，此時，基體材料的率相關性是泡沫鋁應變率效應的主要影響因素。

分別基于式(5)和(7)可以得到，應變率從2 500 s-1增加到5 000 s-1和10 000 s-1時，相對密度分別為35%、50%和65%泡沫模型及其基體材料塑性坍塌強度的相對變化量，見表 2。可見，泡沫模型塑性坍塌強度的相對變化量比基體材料大；隨著相對密度升高，泡沫模型塑性坍塌強度的相對變化量逐漸減小。(1)在高應變率下，微結構慣性的影響逐漸增大，使泡沫材料對應變率的敏感性進一步提高，導致泡沫鋁比鋁合金材料具有更大的應變率敏感性。(2)在高應變率下，隨著相對密度的降低，泡沫模型的應變率敏感程度提升。這表明相對密度較低泡沫鋁的微結構慣性效應更加顯著。

表2 泡沫模型及其基體材料強度的變化Table 2 Variation of flow stress for foams and its cell material

3 結 論

基于三維隨機球形泡孔模型，采用有限元方法，對35%～65%相對密度范圍內泡沫鋁在10～10 000 s-1應變率下的動態壓縮變形進行了數值模擬。計算結果表明：

(1)在中、低應變率(10～1 000 s-1)下，基體材料的率相關性是泡沫鋁應變率效應的主要影響因素；在高應變率(2 500～10 000 s-1)下，泡沫鋁應變率效應受基體材料率相關性能和微結構慣性共同作用。

(2)在中、低應變率下，泡孔結構的變形主要表現為準靜態變形模式；在高應變率下，動態壓縮變形機制逐漸起重要作用。

(3)在中、低應變率下，泡沫鋁與基體材料對應變率的敏感程度接近；在高應變率下，泡沫鋁比鋁合金材料具有更大的應變率敏感性。

(4)在高應變率下，相對密度較低泡沫鋁的微結構慣性效應更顯著。

[1] 盧天健，何德坪，陳常青，等．超輕多孔金屬材料的多功能特性及應用[J]．力學進展,2006，36(4)：517-535． Lu Tian-jian, He De-ping, Chen Chang-qing, et al.The multi-functionality of ultra-light porous metals and their applications[J].Advances in Mechanics, 2006，36(4)：517-535.

[2] 王永勝，左孝青，尹志其，等．應變率對泡沫鋁壓縮性能的影響[J]．材料導報,2009，23(3)：47-52． Wang Yong-sheng, Zuo Xiao-qing, Yin Zhi-qi, et al.Effect of strain rate on compressive property of aluminum foam[J].Materials Review, 2009，23(3)：47-52.

[3] Deshpande V S, Fleck N A.High strain rate compressive behavior of aluminium alloy foams[J].International Journal of Impact Engineering, 2000,24(3):277-298.

[4] 郭偉國，李玉龍，黃福增．不同應變率下泡沫鋁的形變和力學性能[J]．爆炸與沖擊,2008，28(4)：289-292． Guo Wei-guo, Li Yu-long, Huang Fu-zeng.Deformation and mechanical property of aluminium foam at different strain rates[J].Explosion and Shock Waves, 2008,28(4):289-292.

[5] Dannemann K A, Lankford Jr J.High strain rate compression of closed-cell aluminum foams[J].Materials Science and Engineering: A, 2000,239(1/2):157-164.

[6] Mukai T, Kanahashi H, Miyoshi T, et al.Experimental study of energy absorption in closed-cell aluminum foam under dynamic loading[J].Scripta Materialia, 1999,40(8):921-927.

[7] Mukai T, Miyoshi T, Nakano S, et al.Compressive response of a closed-cell aluminum foam at high st rain rate[J].Scripta Materialia, 2006,54(4):533-537.

[8] 程和法．應變率對泡沫Al-Mg合金壓縮性能的影響[J]．特種鑄造及有色合金,2003，5：1-3． Cheng He-fa.The effect of strain rate on the compressive properties of foamed Al-Mg alloy[J].Special Casting & Nonferrous Alloys, 2003,5:1-3.

[9] 程和法，黃笑梅，王強，等．通孔泡沫鋁的動態壓縮行為[J]．爆炸與沖擊,2006，26(2)：169-173． Cheng He-fa, Huang Xiao-mei,Wang Qiang, et al.The dynamic compressive behaviors of an open-cell aluminum foam[J].Explosion and Shock Waves, 2006，26(2)：169-173.

[10] 田杰，胡時勝．基體性能對泡沫鋁力學行為的影響[J]．工程力學,2006，23(8)：168-176． Tian Jie,Hu Shi-sheng.Effect of matrix properties of the mechanical behaviors of aluminum foams[J].Engineering Mechanics, 2006,23(8)：168-176.

[11] 張健，趙桂平，盧天健．閉孔泡沫鋁應變率效應的試驗和有限元分析[J]．西安交通大學學報,2010，44(5)：97-101． Zhang Jian, Zhao Gui-ping, Lu Tian-jian.Experimental and numerical study on strain rate effects of close-celled aluminum foams[J].Jounal of Xi’an Jiaotong University, 2010,44(5):97-101.

[12] 胡時勝，王悟，潘藝，等．泡沫材料的應變率效應[J]．爆炸與沖擊,2003，23(1)：13-18． Hu Shi-sheng, Wang Wu, Pan Yi, et al.Strain rate effect on the properties foam materials[J].Explosion and Shock Waves, 2003,23(1):13-18.

[13] Gibson L J, Ashby M F.Cellular solids: Structure and properties[M].2nd ed.Cambridge: Cambridge University Press, 1997.