汽車防抱死制動系統的H∞魯棒控制*

嚴運兵，吳 浩，趙 慧

(1.武漢科技大學汽車與交通工程學院，武漢 430081； 2.鄭州宇通客車股份有限公司新能源技術部，鄭州 450061；3.武漢科技大學機械自動化學院，武漢 430081)

前言

汽車防抱死制動系統(ABS)是一種主動安全裝置。它從防止制動過程中車輪抱死的角度出發(fā)，避免車輛后輪側滑和前輪喪失轉向能力，提高車輛對地面附著系數的利用率，從而達到改善車輛制動穩(wěn)定性、操縱性和縮短制動距離等目的。

ABS控制方法是其核心技術，因易實現連續(xù)控制，提高ABS在制動過程中的平順性，并最大限度地發(fā)揮其制動性能，故以滑移率為控制目標的各種ABS控制方法成為了研究的熱點[1-2]。文獻[3]中以滑移率為控制目標，設計了ABS系統的PID控制器，且能基本達到控制要求。文獻[4]和文獻[5]中設計了基于閉環(huán)增益成形算法的魯棒控制器，對確定系統的控制較為有效。

ABS系統在實際使用時，往往會因為外界的擾動(如汽車載人數量或載貨質量的變化，制動器因磨損導致的效能下降和輪胎氣壓與路面條件等因素的變化)，而使被控系統存在不確定性。這就需要在考慮不確定性的基礎上，設計出能在一定程度上抑制擾動的魯棒控制器。據此，本文中以滑移率為控制目標，通過對ABS數學模型的建立和簡化，對ABS系統進行混合靈敏度H∞魯棒控制設計，以期實現控制系統對不確定性參數攝動的抑制，提高制動的魯棒性能。

1 ABS數學模型及其簡化

汽車ABS系統的數學模型由車輛動力學、輪胎、制動系統和滑移率計算4部分模型組成。

1.1 車輛動力學模型

在不考慮復雜因素的情況下，單輪車輛模型的結構簡單，適合于汽車防抱死制動系統性能的分析，如圖1所示。車輛的動力學方程如下。

車輛運動方程：

(1)

車輪運動方程：

(2)

車輛縱向摩擦力：

Fx=μN

(3)

式中：M為分配到車輪上的汽車質量；R為車輪滾動半徑；I為車輪轉動慣量；Tb為制動轉矩；v為車輛速度；ω為車輪角速度；Fx為車輪和地面的摩擦力；μ為車輪與地面間的縱向附著系數；N為車輪所受的垂向載荷，N=Mg。

1.2 輪胎模型

輪胎模型是指制動過程中輪胎附著力和其它各種參數之間的函數關系式，通常用輪胎附著系數與各種參數的函數關系來表示。本文中采用比較常用且相對精確的魔術公式來描述輪胎模型[6]。用魔術公式模型來模擬制動時車輪縱向附著系數和車輪滑移率之間的關系，即

μ(S)=f+D·sin{C·arctan[B·S-E·(B·S-

arctan(B·S))]}

(4)

式中：S為滑移率；f相當于車輪在純滾動時的附著系數，一般情況下設為0；D、C、B、E都是與路面有關的常數，通過改變這些參數可模擬不同路面的附著系數。

1.3 制動系統模型

制動系統模型包括驅動機構模型和制動器模型兩部分。目前，ABS的驅動機構一般采用電液控制，即用電磁閥來調節(jié)制動系統的工作壓力。為了使系統簡化，忽略電磁閥中彈簧等元件的非線性特性及壓力傳送的延遲，將驅動機構簡化為1階慣性環(huán)節(jié)。

(5)

式中：p為制動缸壓力，MPa；p0為初始制動壓力，MPa；Tp為時間常數；s為拉普拉斯變換算子。

制動器模型指制動轉矩Tb與制動輪缸壓力p之間的關系模型。為便于對控制過程進行仿真，假設制動器為理想元件，認為其非線性特性較弱并忽略其滯后帶來的影響。因此，制動器模型為

Tb=Ktp

(6)

式中Kt為制動器效能因數。

1.4 滑移率計算模型

汽車制動時，如果車輪線速度低于汽車行駛速度，輪胎和路面之間將產生滑移，此時滑移的程度常用滑移率表示[7]，其計算公式為

(7)

1.5 ABS數學模型簡化

借鑒文獻[4]的模型簡化方法，對ABS系統數學模型進行簡化。得到系統的狀態(tài)方程為

(8)

輸出方程為

(9)

汽車模型的仿真參數如表1所示。

代入仿真參數，將式(8)和式(9)轉換成傳遞函數形式，得系統的傳遞函數為

表1 汽車模型仿真參數

(10)

2 ABS的H∞魯棒控制設計

2.1 H∞混合靈敏度魯棒控制方法

H∞魯棒控制理論是在H∞空間(即Hardy空間)通過對性能指標的無窮范數進行優(yōu)化而獲得具有魯棒性能的控制器的一種理論。當利用被控系統的數學模型G來設計控制器時，由于參數的變化和不確定性，并為便于設計與計算，往往把對象的模型簡化，導致對象的數學模型G存在誤差ΔG。H∞控制的目的是：利用標稱模型G來設計控制器K，使K在穩(wěn)定被控對象的同時使某一目標函數P的H∞范數最小[9]：

γ=min‖P(s)‖

混合靈敏度問題是H∞控制的最典型問題之一，在應用H∞方法設計系統時，為保證魯棒性和提高系統性能，通常將設計問題轉化為混合靈敏度問題。混合靈敏度設計系統如圖2所示。其中r、e、n、d和y分別表示參考輸入、跟蹤誤差、測量噪聲、干擾輸入和系統輸出。W1、W2和W3為分別對應于系統性能、控制器輸出約束和魯棒性的權值。

設從r到e、u、y的傳遞函數分別為

U=(I+GK)-1

(11)

V=K(I+GK)-1

(12)

Q=GK(I+GK)-1

(13)

式中：U和Q分別為靈敏度函數和補靈敏度函數。則H∞混合靈敏度控制就是指在頻域內選擇加權函數W1、W2、W3，使之滿足：

(14)

2.2 加權函數的選擇

加權函數的選擇是H∞混合靈敏度設計問題中關鍵的一步。加權函數選擇的合適與否直接影響設計系統的性能。H∞混合靈敏度控制的設計過程在很大程度上是對U、V、Q的加權函數的選擇過程。在選擇和驗證加權函數時必須滿足下列關系，作為加權函數的選擇依據[10-11]。

① 靈敏度函數U是閉環(huán)系統對干擾抑制的度量，由式(10)可得：

② 若加性攝動Δa和乘性攝動Δm滿足：

則有：

④ 在低頻區(qū)有：

U=(1+GK)-1≈(GK)-1

V=KU≈G-1

Q=GKU≈I

在高頻區(qū)有：

U=(1+GK)-1≈I

V=KU≈K

Q=GKU≈GK

⑤ 對于幅值裕量GM和相位裕量θM有：

上述關系中，關系④最直觀且最易操作，因此本文中以關系④為主要原則來選取加權函數，并在此基礎上對其他幾個關系進行檢驗。

2.3 ABS系統中加權函數的選擇

由式(10)可知，ABS系統的標稱模型是一個2階模型。據此可進行加權函數的選擇[11]。

W1由系統的性能要求決定，通常應具有積分特性或高增益低通特性。一般取W1(s)=k1/(s/ω1+1)。調整k1可有效擴展系統頻寬，調整ω1可有效抑制系統超調量。為滿足系統的頻寬要求，獲得理想動態(tài)過程，通過仿真，取W1(s)=100/(s+1)；W2由系統參數的攝動范圍決定，也可用來約束控制器的輸出。混合靈敏度設計中可通過對加權陣W2的選取來實現對控制信號幅值的約束。為了不增加控制器的階次，通常取W2為一常數k2。為了約束控制器的輸出，保證系統頻寬的要求，取W2=0.000 05；W3可根據系統的高頻未建模動態(tài)來選取。W3一般具有高通性質，且W1和W3的頻帶不能重疊。W3的階次不宜取得太大，否則將影響迭代速度和控制器的階數，一般取W3(s)=k3s/(s/ω3+1)。W3也影響系統頻寬，通常ω3越大，系統的頻寬越寬。k3越大系統頻寬越窄。為滿足高通性質，并保證系統頻寬要求，通過仿真實踐，取W3(s)=s/(s+1 000)。

2.4 H∞控制器求解和ABS系統仿真

本文中使用Matlab軟件中的魯棒控制工具箱進行H∞魯棒控制設計，可大大減少計算量，只須進行加權函數的選擇[12]。

在Matlab環(huán)境下，對ABS系統的標稱模型進行加權，并使用hinf命令求解H∞魯棒控制器[13-15]，結果為一個4階模型：

3 仿真與結果分析

3.1 魯棒控制仿真

利用Matlab/Simulink工具建立ABS仿真模型，將求解得到的K(s)作為ABS的魯棒控制器進行仿真，可得到單輪車輛模型基于H∞魯棒控制的ABS系統動態(tài)仿真響應過程。

圖3和圖4分別給出了ABS系統在魯棒控制器K(s)作用下輪速、車速與制動距離的仿真結果和滑移率曲線。從圖3可以看出，在使用該ABS系統后，車速和輪速都在不斷減小，最后同時減為0，表明當汽車制動停止時車輪才抱死，提高了制動過程中的操縱穩(wěn)定性，真正起到了制動防抱死的作用。從圖4可以看出，整個制動過程中，車輪滑移率基本上在期望滑移率附近變化，表明車輪充分利用了最大的地面附著力，獲得了較大制動力，從而使汽車能在最短距離內停車。

3.2 魯棒控制與傳統PID控制的對比

圖5和圖6給出了基于傳統PID控制的輪速、車速與制動距離仿真結果和滑移率曲線。對比圖3和圖5，基于傳統PID控制的車速和輪速變化曲線不如魯棒控制的平滑，說明魯棒控制的穩(wěn)定性更好；對比圖4和圖6，基于傳統PID控制的滑移率曲線需要一定的響應時間，且在制動結束時產生了振動，而魯棒控制的滑移率曲線則一直保持平滑，說明PID控制的控制精度、響應時間和魯棒穩(wěn)定性都不如魯棒控制。

3.3 參數變化對魯棒控制仿真結果的影響分析

圖7和圖8給出了汽車載質量改變后的仿真結果和改變前后滑移率變化的對比曲線，目的是驗證控制系統的魯棒性能。對比圖3和圖7，仿真結果變化不大。從圖8可以看出，當汽車質量從725kg增加至1 000kg時，滑移率曲線變化很小，始終保持在0.19～0.20的區(qū)間內，表明該控制系統不僅能達到較高的控制精度，而且系統的魯棒穩(wěn)定性很好。

圖9和圖10給出了汽車制動效能因數改變后的仿真結果和改變前后滑移率變化的對比曲線。對比圖3和圖9，仿真結果變化也較小。從圖10可以看出，當制動效能因數從500增加至1 000時，滑移率曲線依然變化很小，也始終保持在0.19～0.20的區(qū)間內，再次表明該控制系統具有較高的控制精度和較好的魯棒穩(wěn)定性。

圖11和圖12分別給出了汽車在對接路面上行駛的車速、輪速與制動距離的仿真結果和滑移率變化的曲線。設定在1.5s時刻，汽車由干瀝青路面過渡到濕滑路面行駛。從圖12可以看出，車輪滑移率并無較大變化，也保持在0.19～0.20的區(qū)間內。說明該ABS控制系統對路面條件的變化有很好的魯棒穩(wěn)定性。

4 結論

(1) 建立和簡化了ABS系統數學模型，得到了ABS系統的狀態(tài)空間模型。

(2) 采用經典的混合靈敏度方法對ABS系統進行H∞魯棒控制設計，得到了H∞魯棒控制器，并在Matlab/Simulink軟件平臺上進行了仿真分析。

(3) 仿真結果分析表明，基于H∞魯棒控制的ABS系統不僅能夠達到較高的控制精度，而且能夠在一定范圍內承受模型參數不確定性，具有較好的魯棒性，整體性能優(yōu)于傳統PID控制，因此可在實際的ABS系統開發(fā)中應用。

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