數(shù)學(xué)思維品質(zhì)培養(yǎng)的案例教學(xué)

任俊紅

（安徽省合肥市巢湖第一中學(xué)，安徽 合肥 238000）

數(shù)學(xué)思維品質(zhì)培養(yǎng)的案例教學(xué)

任俊紅

（安徽省合肥市巢湖第一中學(xué)，安徽 合肥 238000）

思維與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)關(guān)系密切，因此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是提高數(shù)學(xué)效益的關(guān)鍵。良好的數(shù)學(xué)思維平直有利于減輕當(dāng)下中國中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的負(fù)擔(dān)，提高其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效率，因而具有重要的意義。本文就如何對數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)進(jìn)行研究并結(jié)合課堂實踐給出了案例分析。

思維品質(zhì)；深刻性；廣闊性；創(chuàng)新性；批判性

數(shù)學(xué)教育的主要任務(wù)就在于使學(xué)生形成完善的思維結(jié)構(gòu)，并借助于這種結(jié)構(gòu)掌握數(shù)學(xué)知識，提高數(shù)學(xué)能力。數(shù)學(xué)思維的教學(xué)功能也被越來越多的教師重視，新的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱把數(shù)學(xué)思想方法納入基礎(chǔ)的知識范疇是落實數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的重大舉措。在數(shù)學(xué)教學(xué)中向?qū)W生展示獲取知識、技能及解決問題的思維品質(zhì)之目的，創(chuàng)造了“客觀”基礎(chǔ)，提供了可能，才能使學(xué)生終身受益。本文試舉幾例說明，以供參考。

一、挖掘數(shù)學(xué)表達(dá)式的內(nèi)涵，發(fā)掘思維的深刻性

思維的深刻性是指思維活動的抽象程度和邏輯水平以及思維活動的深度。它集中的表現(xiàn)為能透過表面現(xiàn)象和外部聯(lián)系，深刻地理解概念，抓住概念定理的核心及內(nèi)在聯(lián)系，準(zhǔn)確地掌握概的內(nèi)涵及使用條件和范圍。揭示問題規(guī)律的一個由感性到理性的思維過程。從特殊到一般進(jìn)行聯(lián)想，是培養(yǎng)這一深刻的一個重要方面。

所以z2/y+y2/z+z2/x≥x+y+z（當(dāng)x=y=z時取等號）

在證出后，可引導(dǎo)學(xué)生探索一般的規(guī)律，對多個正數(shù)是否也有（1）成立呢？

事實上，按證（1）的方法以，同理可證（2），還可進(jìn)一步思考：對（2）式我們發(fā)現(xiàn)左邊各項的分線具有一種特殊的順序。此時可問，分母不具備這種順序是否也有同樣的結(jié)論？

引申2：設(shè)y1·y2…yn＞0，x1·x2…xn＞0且x1+x2+…+xn=y1+y2+…+yn

這樣使問題層層深入，思維不斷深化。數(shù)學(xué)思維的深刻性表現(xiàn)在：善于洞察數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性與相互聯(lián)系，能捕捉矛盾的特殊性，從研究材料中發(fā)現(xiàn)最有價值的因素。能迅速確定解題策略和各種方法，模式等。在教學(xué)中抓住以下幾個過程：（1）對各種數(shù)學(xué)材料整理的概括過程。（2）對有關(guān)數(shù)學(xué)概念背景，內(nèi)涵，外延認(rèn)識的深化過程。（3）對具體數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象過程。（4）對基本數(shù)學(xué)觀點與方法的總結(jié)過程。

二、多角度思考、探索，培養(yǎng)思維的廣闊性

思維的廣闊性是指思維活動作用的廣泛和全面的程度，它集中表現(xiàn)為思路寬廣，能從眾多的知識領(lǐng)域和多方面的知識出發(fā)，全面的考察問題，作出廣泛的聯(lián)想，多角度、多層次、多方位的觀察與思考。在廣泛的范圍內(nèi)尋求解法，是思路開闊而全面的思維品質(zhì)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，應(yīng)要求學(xué)生既把握數(shù)學(xué)問題的整體，抓住它的基本特征，又要求不忽略重要的細(xì)節(jié)和特殊的因素，放開思路進(jìn)行思考，解決問題。

分析：觀察待證不等式的結(jié)構(gòu)，抓住其形式特征。

多向地進(jìn)行聯(lián)想，從不同的角度溝通，聯(lián)系就得：

聯(lián)想1：不等式左邊看成動點p（x，y）到兩定點A（8，3）.B（2，-5）的距離之和.由=10。

聯(lián)想2：以動點到兩點距離之和為線索，聯(lián)想到橢圓的定義，視長軸2a可變，即2a為參數(shù)。令=10且橢圓中2a＞2c故結(jié)論成立。

聯(lián)想3：向量模的形式與題給不等式左邊有相似性，故想到可用向量不等式證明，即令有

但紅江橙的發(fā)展之路卻并不平坦。陳樹華為我們回憶了幾代紅江橙園的命途多舛：“1993年，黃龍病蔓延，兩萬多畝橙樹全部毀滅。1997年種了300多畝，2003、2004年又開始不行了……紅江人不死心啊，從來沒有放棄過！”

聯(lián)想4：由聯(lián)想3易想到可用復(fù)數(shù)去證明。可令：

z1=（x-8）+（y-3）i，z2=（x-2）+（y+5）i。則|z1|+|z2|≥|z1-z2|=|-6-8i|=10這幾種聯(lián)想證明既簡潔，又具有獨到之處，如果經(jīng)常這樣訓(xùn)練，對開闊學(xué)生思路，活躍學(xué)生思維大有裨益。另在數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性，還可以建構(gòu)觀，形象的心智圖像，使抽象問題具體化，隱性問題顯性化。

例3.已知△ABC中，角A.B.C的對邊分別是a，b，c。且B=2C求證：b2=c（a+c）。

這是我在教學(xué)過程中遇到的一道習(xí)題，利用解三角形的知識可以證明，接著利用直觀，形象的心智圖像。有如下解法：

方法1（圖1）：如果把b2=c（a+c）看成b/c=（a=c）/b，則會出現(xiàn)“相似三角形”的形象。

方法2（圖2）：如果把b2=c（a+c）看成b·b=（a+c）·c，則會出現(xiàn)“相交弦定理”的心智圖像。

方法3（圖3）：如果把b2=c（a+c）的特點，也會聯(lián)想到“圓的切割線定理”。

從以上幾個方面進(jìn)行分析，學(xué)生當(dāng)時大為感嘆！不但提高學(xué)生的聽課興趣，而且能使初高中的數(shù)學(xué)知識得以銜接。

數(shù)學(xué)思維的廣闊性主要體現(xiàn)在：一題多解，一題的多種解釋，加強(qiáng)變式訓(xùn)練。選擇典型問題，或從條件入手，或從結(jié)論入手進(jìn)行變遷，得到一系列結(jié)構(gòu)相互聯(lián)系，解題思路逐步深入的題組。所以教師在教學(xué)過程中對學(xué)生思維廣闊性的培養(yǎng)應(yīng)注重在“一題多變”上進(jìn)行，這樣既開拓了學(xué)生的思路，鞏固了學(xué)生的知識，還可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提高了他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

圖一

圖二

圖三

三、廣泛聯(lián)想，發(fā)揮想象力，活躍數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)重視對學(xué)生聯(lián)想思維的訓(xùn)練，能將定議或?qū)傩韵嗑嗌踹h(yuǎn)的兩個事物聯(lián)想起來思考，打開思維的通道，突破思維的定式。教會學(xué)生分析、觀察、類比，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會轉(zhuǎn)化，掌握聯(lián)想法則，把學(xué)生思維的變式、發(fā)展、求異等優(yōu)秀的思想品質(zhì)在解題中落到實處。培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想，勇于探索，嚴(yán)謹(jǐn)求實的創(chuàng)新思維。

在高中數(shù)學(xué)教材p16，有這樣的不等式：

例4.求證：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）。

再介紹運(yùn)用比較法，分析法，綜合法后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考。

思考1：如果把不等式兩邊乘以4，與判別式b2≤4ac類似，由此可構(gòu)造二次函數(shù)f（x）=（a2+b2）x-2（ac+bd）x+（c2+d2）=（ax-c）2+（bx-d）2≥0

從而Δ≤0即證。

思考2：如果把不等式兩邊同開方，可想到向量的模。

在中學(xué)，思維的創(chuàng)新性更多表現(xiàn)在發(fā)生矛盾以后，把知識融會貫通，以進(jìn)攻的姿態(tài)，突破矛盾，最終解決問題。在平面向量的教學(xué)中，學(xué)生向我求解這樣一道習(xí)題。

例5.求證：sin0+sin（2π/n）+sin（4π/n）+sin（6π/n）+…+sin（2n-2）π/n=0。

分析：該題純從三角去考慮，是較煩瑣的。如果想到單

位圓上的點A（kcos2kπ/n·sin2kπ/n）。而點Ak又對應(yīng)著向量命題轉(zhuǎn)化為即可。又向量可視為力fk進(jìn)而想到大小一樣終端分布在正n邊行的n個頂點上的共點于正n邊行中心的力系其合力為零。故所以sin0+sin（2π/n）+sin（4π/n） +sin（6π/n）+…+sin（2n-2）π/n=0且cos0+cos（2π/n）+cos（4π/n）+…+cos（2n-2）π/n=0證明（略）用數(shù)學(xué)方法解決物理總是似乎理所當(dāng)然，但反過來用物理方法去解決數(shù)學(xué)問題是不太被人們重視，但對有些問題這樣去做不僅解法新穎，具有創(chuàng)新性，而且強(qiáng)化了各科之間的相互聯(lián)系、相互滲透，這無疑是為培養(yǎng)思維創(chuàng)新性的優(yōu)良品質(zhì)提供鍛煉機(jī)會。

四、培養(yǎng)思維的批判性

思維的批判性是指思維活動中善于嚴(yán)格地估計思維材料和精細(xì)地檢查思維過程。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生思維的批判性表現(xiàn)為愿意進(jìn)行各種方式的檢驗和反思。對已有的數(shù)學(xué)表述或論證能提出自己的看法，不是一味盲從，思想上完全接受了東西，也要謀求改善提出新的想法和見解可從這幾方面入手：（1）培養(yǎng)學(xué)生解題后的反思習(xí)慣，就是培養(yǎng)學(xué)生對解題活動進(jìn)行回顧，思考，總結(jié)，評價，調(diào)節(jié)也就是對經(jīng)驗和教訓(xùn)的反思。（2）教學(xué)中經(jīng)常進(jìn)行改錯訓(xùn)練，教學(xué)中教師經(jīng)常出一些改錯題，讓學(xué)生討論改正，有助于學(xué)生形成思維的批判性。（3）教學(xué)中經(jīng)常提倡學(xué)生不要迷信書本，不要迷信老師，要有自己的獨立思考，敢于提出不同的見解。總之，思維品質(zhì)的培養(yǎng)是一個長期的過程，不能立竿見一蹴而就，它艱巨而復(fù)雜。在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生對問題的直覺感悟、探索、猜想、證明，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神，創(chuàng)新能力，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣和用數(shù)學(xué)的意識，感受數(shù)學(xué)創(chuàng)造的樂趣，增進(jìn)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，獲得對數(shù)學(xué)較為全面的體驗和理解，為培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識，解決問題提供機(jī)會。

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1674-9324（2014）04-0113-03

任俊紅（1977-），男，安徽無為人，中學(xué)教師。