概率論中獨立性的思考

王艷麗 李 俊

（1、2．安順學院數理學院，貴州 安順 561000）

概率論中獨立性的思考

王艷麗1李 俊2

（1、2．安順學院數理學院，貴州 安順 561000）

文章從概率空間出發，分別闡述了隨機事件的獨立性和隨機變量的獨立性，結合二維隨機變量這樣一種特殊情形說明如何理解二者之間的關系。

隨機事件；隨機變量；獨立性；示性函數；可測函數。

設（Ω，F，P）是一概率空間，其中Ω是樣本空間，F是一σ－代數（F中集A為事件）表示A的概率。

一、事件的獨立性

定義1［3］若?A，B∈F，有P（AB）＝P（A）P（B），則稱A，B兩事件相互獨立。

直觀地說，A，B的出現對對方是否出現沒有任何影響。

定理［3］若A，B獨立，則A與也相互獨立。

推廣［1］設A1，A2，∧An是n個事件，稱這些事件是相互獨立的。如果獨立事件常常伴隨獨立隨機試驗列而出現，設｛Ei｝是一列隨機試驗，｛Ei｝的基本事件空間是Ωi，設Ak是Ek中的任一事件，Ak?Ωk，如果Ak出現的概率不依賴于其他各次試驗Ei（i≠k）的試驗結果，就說｛Ei｝是獨立隨機試驗列。典型例子就是放回和不放回抽樣，如設箱子內有α（α≥2）個白球，b個黑球，在其中連續取三次，每次取一個球，若取后不放回，則依上面所說此試驗就不是獨立隨機試驗序列（因為后面的取法總數顯然依賴于其前所有結果）；若取后放回再取下一個，則此試驗就獨立了。

二、隨機變量的獨立性

定義2［4］設（Ω，F，P）是一概率空間，ξ（ω）是定義在Ω上的單值實函數。如果?x∈R，有｛ω：ξ（ω）≤x｝∈F，則稱ξ（ω）為一隨機變量。

三、事件獨立與隨機變量獨立的關系（注：此處只討論一種兩維隨機向量的情形）

最后由（1）（2）（3）（4）可知：隨機變量與是相互獨立的。

由以上討論可得隨機事件獨立性的另外一充要條件：

命題3：設A，B是任意兩隨機事件，則A，B相互獨立的充要條件是IA（ω），IB（ω）相互獨立。

注：該命題可以推廣到多個隨機事件的情形（見［5］）。

［1］王梓坤·概率論基礎及其應用［M］．北京：科學出版社．1979，27，75．

［2］陳俊雅，王秀花等編·概率論與數理統計中的反例［M］．天津：天津科學出版社，93．

［3］盛驟等·概率論與數理統計［M］．高等教育出版社，74．

［4］程士宏編著·測度論與概率論基礎［M］．北京：北京大學出版社，20．

［5］吳俊·關于隨機事件獨立性的若干性質［J］．安徽廣播電視大學學報，2000．2．

Thinking of Independence in Probability Theory

Wan Yanli1Li Jun2
（1、2．The School of Math ematics and Science，Anshun University，Anshun 561000，Guizhou，China）

This paper starts from probability space；describes the independence of random event and the independent of random varible respectively；indicates how to comprehend their correlation combining random vector of two-dimension．

random event；random varibe；independence；indicator function；measurable function．

王德紅）

G641

A

1673－9507（2014）01－0123－03

2013－10－30

貴州省教育廳自然科學研究青年項目 （項目編號：黔教科2010067）

1．王艷麗 （1976～），河南新鄉人，安順學院數理學院講師，碩士。研究方向：應用數學。

2．李俊 （1981～），湖南邵東人，安順學院數理學院講師，碩士。研究方向：基礎數學。