理解集合概念，品味范圍意識(shí)

摘要：集合概念作為高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石，其抽象性令高中學(xué)生頭痛不已。本文從生活實(shí)例出發(fā)，深入分析集合的實(shí)質(zhì)——范圍，并通過例題詳述該理解在集合問題解決中的具體應(yīng)用，以一種生活化的、易于理解的觀點(diǎn)詮釋集合概念。

關(guān)鍵詞：集合；范圍；空集

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2014）01-0006

人們?nèi)粘９涑小①I蘋果的時(shí)候，徒手可以拿幾個(gè)蘋果？不過五六個(gè)而已。超市的工作人員為了方便顧客購物，時(shí)常會(huì)準(zhǔn)備購物袋，以方便顧客盛裝物品。在數(shù)學(xué)中，我們也總想找到合適的“器具”，把零散的數(shù)學(xué)對(duì)象“裝”在一起，以方便我們研究和應(yīng)用。這樣的一個(gè)工具，就是集合。

看過《動(dòng)物世界》的同學(xué)們都知道這樣一個(gè)事實(shí)：大型野生食肉動(dòng)物，在離開母親獨(dú)立生活后，要找尋并建立自己的領(lǐng)地，而它們確定自己領(lǐng)地的辦法，就是圍繞著領(lǐng)地排泄，用自己的氣味來劃定疆域，告訴其他食肉動(dòng)物，這里是我的領(lǐng)地，這里只有我能縱橫馳騁，侵犯我領(lǐng)地者需要付出血的代價(jià)。

其實(shí)，在我們?nèi)祟惾粘５纳钪校愃频男袨楸缺冉允牵W(xué)生同桌之間的“三八線”就是在宣告自己的勢力范圍；國家之間的國界線也是在宣告一個(gè)國家的主權(quán)范圍；我們的家是我們自己的生活范圍，別人未經(jīng)允許私自闖入是違法的。而所有這些范圍，都有一個(gè)共同特點(diǎn)：有明確的邊界。國界有國界線，家有墻壁和房門，這些明確的邊界是形成我們需要的范圍的關(guān)鍵。

現(xiàn)在，我們來看看高中數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)的概念：集合

集合定義：研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，一些元素組成的總體叫做集合。

生活觀：集合的本質(zhì)是范圍

依據(jù)：元素的三要素：確定性、互異性、無序性中，最根本的是確定性，它決定一類事物的總體是否能成為集合。對(duì)于任意一個(gè)元素而言，它是否在某個(gè)總體內(nèi)是明確的，要么是、要么不是，兩者必居其一且只居其一，否則，這個(gè)總體就不能構(gòu)成集合。例如：“年輕人”就不能構(gòu)成集合，以一個(gè)三十歲的青年來說，對(duì)于其父母而言，他理所當(dāng)然是年輕人，可是對(duì)于我們在讀的高中生而言，這個(gè)家伙已經(jīng)三十而立了，怎么能算是年輕人呢！而“三十歲以下的年輕人”就可以構(gòu)成集合，因?yàn)閷?duì)任何一個(gè)人而言，他是否在這個(gè)總體內(nèi)是明確的、確定的。

這不正是我們形成范圍的關(guān)鍵：明確的邊界嗎？換言之，集合中元素的確定性正是要求集合必須具備能夠明確區(qū)分其內(nèi)外的邊界。所以，我們說，集合的實(shí)質(zhì)是范圍。

有了這樣一個(gè)直觀易懂的理解，關(guān)于集合的大多數(shù)題目，我們就可以快速解決了！

例1. A={圓}B={直線}，則A∩B=（ ）

A. 1個(gè)點(diǎn) B. 1個(gè)或2個(gè)點(diǎn)

C. D. 0個(gè)或1個(gè)或2個(gè)點(diǎn)

解析：對(duì)于這個(gè)題目，很多高年級(jí)的同學(xué)都會(huì)錯(cuò)選D，何況我們剛進(jìn)入高中學(xué)習(xí)生活的同學(xué)呢？請注意，集合A并不是圓，集合B也不是直線。如果集合A為圓，集合B為直線，那么A∩B理所當(dāng)然應(yīng)該選D。但事實(shí)上，集合A是圓的集合，是所有圓組成的范圍；集合B是直線的集合，是所有直線組成的范圍，A∩B就是問：既是圓又是直線的事物組成的范圍。這樣的事物存在嗎？既然不存在，那么沒有元素的集合當(dāng)然為空集，即本題的正確答案為C。

從本例，我們還可以獲得一個(gè)經(jīng)驗(yàn)：不同類的集合是不能交的，一旦要進(jìn)行交集運(yùn)算，其結(jié)果必然為空集。又如：A={x 2x2-5x-3=0}，B={（x，y） y=2x2-5x-3=0}，則A∩B= 。集合A為數(shù)集，集合B為點(diǎn)集，無需多慮，其結(jié)果必然是 。

事實(shí)上，只有同類集合（范圍）才能比較大小。比如：我們要比較集合A={人}與集合B{牛}哪個(gè)范圍大？這怎么比？論數(shù)量，應(yīng)該是人多，現(xiàn)在地球已經(jīng)有人口六十多億了；比體形，當(dāng)然是牛的體形大。所以，非同類集合是不能比較大小的。而正是因?yàn)橹挥型惣喜拍鼙容^大小，這才產(chǎn)生了子集、補(bǔ)集的概念。

子集——母子公司，子公司的產(chǎn)品都是母公司的產(chǎn)品；交集——產(chǎn)研結(jié)合，科研院所與企業(yè)合作共同開發(fā)新產(chǎn)品，新產(chǎn)品是他們的公共產(chǎn)權(quán)；并集——院校合并，包頭鋼鐵學(xué)院、包頭師范學(xué)院、包頭醫(yī)學(xué)院三校合并成為內(nèi)蒙古科技大學(xué)，原三校的學(xué)生都是合并后內(nèi)蒙古科技大學(xué)的學(xué)生；補(bǔ)集——優(yōu)勢互補(bǔ)，中國為全集，港澳臺(tái)為其子集，大陸也為其子集，雙方優(yōu)勢互補(bǔ)，共同為中華民族的偉大復(fù)興而奮斗。

例2. f（x）=x2+x-1，M={x x=f（x）}，N={y y=f（x）}則（ ）

A. M=N B. M∩N= C. M∪N=N D. M=R

解析：有了上述觀點(diǎn)，有同學(xué)可能會(huì)不假思索地認(rèn)為答案是B，因?yàn)镸集合的元素是x，集合N的元素是y，根據(jù)剛才的觀點(diǎn)，答案理所當(dāng)然是B啊！事實(shí)上，集合M是數(shù)的集合，集合N亦為數(shù)的集合，雖然元素的代表符號(hào)不同，表達(dá)的內(nèi)在含義不同，但它們是同類集合，交集不一定為 。

解法一：集合M的元素為實(shí)數(shù)，且這些實(shí)數(shù)為方程x=f（x）=x2+x-1的根，即得M={-1，1}，集合N的元素為實(shí)數(shù)，且這些實(shí)數(shù)為函數(shù)y=f（x）=x2+x-1的函數(shù)值，即集合N為函數(shù)y=x2+x-1的值域，即得N=[-■，+∞），即正確選項(xiàng)為C。

解法二：集合N為函數(shù)y=x2+x-1的值域，集合M的元素x=f（x）=x2+x-1，必為函數(shù)f（x）=x2+x-1的某些函數(shù)值，故M N

M∪N=N

解法二簡潔有效，避免了一元二次方程求根和二次函數(shù)求最值，是范圍觀的一次成功應(yīng)用。

在集合的學(xué)習(xí)中，我們還要特別注意空集的存在，很多同學(xué)往往是因?yàn)楹雎缘目占拇嬖冢鴮?dǎo)致解題錯(cuò)誤的。

例3. A={x 2x2-5x-3=0}， B={x mx=1}，B A，則m可能的值有（ ）

A.2個(gè) B.3個(gè) C.1個(gè) D.以上均不對(duì)

解析：本題其實(shí)不用一元二次方程求根，只需要判斷出該一元二次方程△>0有兩個(gè)不等的實(shí)根即可，B A即B中的元素均為A中的元素，即可知m的取值至少有兩個(gè)，此時(shí)，請各位同學(xué)特別注意：B A，則B可以為 ，而此時(shí)m=0即可。故正確的答案為B。

通過例2、例3，我們還看到：其實(shí)數(shù)學(xué)試題并不是每道題都要?jiǎng)庸P計(jì)算的，很多小題，完全沒有必要小題大做，我們只需要用我們掌握的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)理念稍作分析，即可“撥開迷霧見月明”，快速而簡潔地得到正確答案。很多同學(xué)考試總是答不完題目，感覺自己計(jì)算能力差、基礎(chǔ)不扎實(shí)，其實(shí)是沒有深刻理解所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的思想內(nèi)涵，沒有小題小做的解題意識(shí)而導(dǎo)致的。

例4. A={x -2≤x≤3}，B={x m≤x≤2m-1}，A∪B=A，則m取值范圍為 。

解：A∪B=A B A，利用范圍意識(shí)，在數(shù)軸上畫出集合A，顯而易見應(yīng)該有：m≥-22m-1≤3m≤2m-1 m≥-2m≤2 m∈[1，2]m≤1，此時(shí)切莫得意，再仔細(xì)觀察B A，即B可以是 的，而此時(shí)只需要m>2m-1

m<1，綜上，兩者取并集，得m∈（-∞，2]

從例3、例4，我們又可以看到：在集合問題涉及B A，A∩B= ，A∪B=A時(shí)，我們要特別小心謹(jǐn)慎，務(wù)必要考察范圍較小的集合A是否為 ，只有這樣，我們才能避開空集的陷阱，使我們的解題能力、考試成績更上一層樓。

綜上所述，集合可以理解為特定對(duì)象的范圍，而范圍最大的特點(diǎn)是有邊界，可以形象具體地畫出來（韋恩圖）。我們在后面函數(shù)部分學(xué)習(xí)的區(qū)間，其實(shí)就是畫在實(shí)數(shù)軸上的范圍，是集合。這樣，我們就可以利用韋恩圖形象具體快捷地解決集合問題。所以，如果學(xué)生們在解決集合問題的時(shí)候遇到了障礙，我們不妨畫畫韋恩圖，這樣，往往能收到出奇制勝之效。

作者簡介：趙廣樂（1981-），男，漢族，內(nèi)蒙古包頭市人，包頭市數(shù)學(xué)會(huì)理事，包頭市第一中學(xué)一級(jí)教師，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教育及奧林匹克競賽數(shù)學(xué)。

（作者單位：內(nèi)蒙古包頭市第一中學(xué) 014040）

摘要：集合概念作為高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石，其抽象性令高中學(xué)生頭痛不已。本文從生活實(shí)例出發(fā)，深入分析集合的實(shí)質(zhì)——范圍，并通過例題詳述該理解在集合問題解決中的具體應(yīng)用，以一種生活化的、易于理解的觀點(diǎn)詮釋集合概念。

關(guān)鍵詞：集合；范圍；空集

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2014）01-0006

人們?nèi)粘９涑小①I蘋果的時(shí)候，徒手可以拿幾個(gè)蘋果？不過五六個(gè)而已。超市的工作人員為了方便顧客購物，時(shí)常會(huì)準(zhǔn)備購物袋，以方便顧客盛裝物品。在數(shù)學(xué)中，我們也總想找到合適的“器具”，把零散的數(shù)學(xué)對(duì)象“裝”在一起，以方便我們研究和應(yīng)用。這樣的一個(gè)工具，就是集合。

看過《動(dòng)物世界》的同學(xué)們都知道這樣一個(gè)事實(shí)：大型野生食肉動(dòng)物，在離開母親獨(dú)立生活后，要找尋并建立自己的領(lǐng)地，而它們確定自己領(lǐng)地的辦法，就是圍繞著領(lǐng)地排泄，用自己的氣味來劃定疆域，告訴其他食肉動(dòng)物，這里是我的領(lǐng)地，這里只有我能縱橫馳騁，侵犯我領(lǐng)地者需要付出血的代價(jià)。

其實(shí)，在我們?nèi)祟惾粘５纳钪校愃频男袨楸缺冉允牵W(xué)生同桌之間的“三八線”就是在宣告自己的勢力范圍；國家之間的國界線也是在宣告一個(gè)國家的主權(quán)范圍；我們的家是我們自己的生活范圍，別人未經(jīng)允許私自闖入是違法的。而所有這些范圍，都有一個(gè)共同特點(diǎn)：有明確的邊界。國界有國界線，家有墻壁和房門，這些明確的邊界是形成我們需要的范圍的關(guān)鍵。

現(xiàn)在，我們來看看高中數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)的概念：集合

集合定義：研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，一些元素組成的總體叫做集合。

生活觀：集合的本質(zhì)是范圍

依據(jù)：元素的三要素：確定性、互異性、無序性中，最根本的是確定性，它決定一類事物的總體是否能成為集合。對(duì)于任意一個(gè)元素而言，它是否在某個(gè)總體內(nèi)是明確的，要么是、要么不是，兩者必居其一且只居其一，否則，這個(gè)總體就不能構(gòu)成集合。例如：“年輕人”就不能構(gòu)成集合，以一個(gè)三十歲的青年來說，對(duì)于其父母而言，他理所當(dāng)然是年輕人，可是對(duì)于我們在讀的高中生而言，這個(gè)家伙已經(jīng)三十而立了，怎么能算是年輕人呢！而“三十歲以下的年輕人”就可以構(gòu)成集合，因?yàn)閷?duì)任何一個(gè)人而言，他是否在這個(gè)總體內(nèi)是明確的、確定的。

這不正是我們形成范圍的關(guān)鍵：明確的邊界嗎？換言之，集合中元素的確定性正是要求集合必須具備能夠明確區(qū)分其內(nèi)外的邊界。所以，我們說，集合的實(shí)質(zhì)是范圍。

有了這樣一個(gè)直觀易懂的理解，關(guān)于集合的大多數(shù)題目，我們就可以快速解決了！

例1. A={圓}B={直線}，則A∩B=（ ）

A. 1個(gè)點(diǎn) B. 1個(gè)或2個(gè)點(diǎn)

C. D. 0個(gè)或1個(gè)或2個(gè)點(diǎn)

解析：對(duì)于這個(gè)題目，很多高年級(jí)的同學(xué)都會(huì)錯(cuò)選D，何況我們剛進(jìn)入高中學(xué)習(xí)生活的同學(xué)呢？請注意，集合A并不是圓，集合B也不是直線。如果集合A為圓，集合B為直線，那么A∩B理所當(dāng)然應(yīng)該選D。但事實(shí)上，集合A是圓的集合，是所有圓組成的范圍；集合B是直線的集合，是所有直線組成的范圍，A∩B就是問：既是圓又是直線的事物組成的范圍。這樣的事物存在嗎？既然不存在，那么沒有元素的集合當(dāng)然為空集，即本題的正確答案為C。

從本例，我們還可以獲得一個(gè)經(jīng)驗(yàn)：不同類的集合是不能交的，一旦要進(jìn)行交集運(yùn)算，其結(jié)果必然為空集。又如：A={x 2x2-5x-3=0}，B={（x，y） y=2x2-5x-3=0}，則A∩B= 。集合A為數(shù)集，集合B為點(diǎn)集，無需多慮，其結(jié)果必然是 。

事實(shí)上，只有同類集合（范圍）才能比較大小。比如：我們要比較集合A={人}與集合B{牛}哪個(gè)范圍大？這怎么比？論數(shù)量，應(yīng)該是人多，現(xiàn)在地球已經(jīng)有人口六十多億了；比體形，當(dāng)然是牛的體形大。所以，非同類集合是不能比較大小的。而正是因?yàn)橹挥型惣喜拍鼙容^大小，這才產(chǎn)生了子集、補(bǔ)集的概念。

子集——母子公司，子公司的產(chǎn)品都是母公司的產(chǎn)品；交集——產(chǎn)研結(jié)合，科研院所與企業(yè)合作共同開發(fā)新產(chǎn)品，新產(chǎn)品是他們的公共產(chǎn)權(quán)；并集——院校合并，包頭鋼鐵學(xué)院、包頭師范學(xué)院、包頭醫(yī)學(xué)院三校合并成為內(nèi)蒙古科技大學(xué)，原三校的學(xué)生都是合并后內(nèi)蒙古科技大學(xué)的學(xué)生；補(bǔ)集——優(yōu)勢互補(bǔ)，中國為全集，港澳臺(tái)為其子集，大陸也為其子集，雙方優(yōu)勢互補(bǔ)，共同為中華民族的偉大復(fù)興而奮斗。

例2. f（x）=x2+x-1，M={x x=f（x）}，N={y y=f（x）}則（ ）

A. M=N B. M∩N= C. M∪N=N D. M=R

解析：有了上述觀點(diǎn)，有同學(xué)可能會(huì)不假思索地認(rèn)為答案是B，因?yàn)镸集合的元素是x，集合N的元素是y，根據(jù)剛才的觀點(diǎn)，答案理所當(dāng)然是B啊！事實(shí)上，集合M是數(shù)的集合，集合N亦為數(shù)的集合，雖然元素的代表符號(hào)不同，表達(dá)的內(nèi)在含義不同，但它們是同類集合，交集不一定為 。

解法一：集合M的元素為實(shí)數(shù)，且這些實(shí)數(shù)為方程x=f（x）=x2+x-1的根，即得M={-1，1}，集合N的元素為實(shí)數(shù)，且這些實(shí)數(shù)為函數(shù)y=f（x）=x2+x-1的函數(shù)值，即集合N為函數(shù)y=x2+x-1的值域，即得N=[-■，+∞），即正確選項(xiàng)為C。

解法二：集合N為函數(shù)y=x2+x-1的值域，集合M的元素x=f（x）=x2+x-1，必為函數(shù)f（x）=x2+x-1的某些函數(shù)值，故M N

M∪N=N

解法二簡潔有效，避免了一元二次方程求根和二次函數(shù)求最值，是范圍觀的一次成功應(yīng)用。

在集合的學(xué)習(xí)中，我們還要特別注意空集的存在，很多同學(xué)往往是因?yàn)楹雎缘目占拇嬖冢鴮?dǎo)致解題錯(cuò)誤的。

例3. A={x 2x2-5x-3=0}， B={x mx=1}，B A，則m可能的值有（ ）

A.2個(gè) B.3個(gè) C.1個(gè) D.以上均不對(duì)

解析：本題其實(shí)不用一元二次方程求根，只需要判斷出該一元二次方程△>0有兩個(gè)不等的實(shí)根即可，B A即B中的元素均為A中的元素，即可知m的取值至少有兩個(gè)，此時(shí)，請各位同學(xué)特別注意：B A，則B可以為 ，而此時(shí)m=0即可。故正確的答案為B。

通過例2、例3，我們還看到：其實(shí)數(shù)學(xué)試題并不是每道題都要?jiǎng)庸P計(jì)算的，很多小題，完全沒有必要小題大做，我們只需要用我們掌握的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)理念稍作分析，即可“撥開迷霧見月明”，快速而簡潔地得到正確答案。很多同學(xué)考試總是答不完題目，感覺自己計(jì)算能力差、基礎(chǔ)不扎實(shí)，其實(shí)是沒有深刻理解所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的思想內(nèi)涵，沒有小題小做的解題意識(shí)而導(dǎo)致的。

例4. A={x -2≤x≤3}，B={x m≤x≤2m-1}，A∪B=A，則m取值范圍為 。

解：A∪B=A B A，利用范圍意識(shí)，在數(shù)軸上畫出集合A，顯而易見應(yīng)該有：m≥-22m-1≤3m≤2m-1 m≥-2m≤2 m∈[1，2]m≤1，此時(shí)切莫得意，再仔細(xì)觀察B A，即B可以是 的，而此時(shí)只需要m>2m-1

m<1，綜上，兩者取并集，得m∈（-∞，2]

從例3、例4，我們又可以看到：在集合問題涉及B A，A∩B= ，A∪B=A時(shí)，我們要特別小心謹(jǐn)慎，務(wù)必要考察范圍較小的集合A是否為 ，只有這樣，我們才能避開空集的陷阱，使我們的解題能力、考試成績更上一層樓。

綜上所述，集合可以理解為特定對(duì)象的范圍，而范圍最大的特點(diǎn)是有邊界，可以形象具體地畫出來（韋恩圖）。我們在后面函數(shù)部分學(xué)習(xí)的區(qū)間，其實(shí)就是畫在實(shí)數(shù)軸上的范圍，是集合。這樣，我們就可以利用韋恩圖形象具體快捷地解決集合問題。所以，如果學(xué)生們在解決集合問題的時(shí)候遇到了障礙，我們不妨畫畫韋恩圖，這樣，往往能收到出奇制勝之效。

作者簡介：趙廣樂（1981-），男，漢族，內(nèi)蒙古包頭市人，包頭市數(shù)學(xué)會(huì)理事，包頭市第一中學(xué)一級(jí)教師，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教育及奧林匹克競賽數(shù)學(xué)。

（作者單位：內(nèi)蒙古包頭市第一中學(xué) 014040）

摘要：集合概念作為高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石，其抽象性令高中學(xué)生頭痛不已。本文從生活實(shí)例出發(fā)，深入分析集合的實(shí)質(zhì)——范圍，并通過例題詳述該理解在集合問題解決中的具體應(yīng)用，以一種生活化的、易于理解的觀點(diǎn)詮釋集合概念。

關(guān)鍵詞：集合；范圍；空集

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2014）01-0006

人們?nèi)粘９涑小①I蘋果的時(shí)候，徒手可以拿幾個(gè)蘋果？不過五六個(gè)而已。超市的工作人員為了方便顧客購物，時(shí)常會(huì)準(zhǔn)備購物袋，以方便顧客盛裝物品。在數(shù)學(xué)中，我們也總想找到合適的“器具”，把零散的數(shù)學(xué)對(duì)象“裝”在一起，以方便我們研究和應(yīng)用。這樣的一個(gè)工具，就是集合。

看過《動(dòng)物世界》的同學(xué)們都知道這樣一個(gè)事實(shí)：大型野生食肉動(dòng)物，在離開母親獨(dú)立生活后，要找尋并建立自己的領(lǐng)地，而它們確定自己領(lǐng)地的辦法，就是圍繞著領(lǐng)地排泄，用自己的氣味來劃定疆域，告訴其他食肉動(dòng)物，這里是我的領(lǐng)地，這里只有我能縱橫馳騁，侵犯我領(lǐng)地者需要付出血的代價(jià)。

其實(shí)，在我們?nèi)祟惾粘５纳钪校愃频男袨楸缺冉允牵W(xué)生同桌之間的“三八線”就是在宣告自己的勢力范圍；國家之間的國界線也是在宣告一個(gè)國家的主權(quán)范圍；我們的家是我們自己的生活范圍，別人未經(jīng)允許私自闖入是違法的。而所有這些范圍，都有一個(gè)共同特點(diǎn)：有明確的邊界。國界有國界線，家有墻壁和房門，這些明確的邊界是形成我們需要的范圍的關(guān)鍵。

現(xiàn)在，我們來看看高中數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)的概念：集合

集合定義：研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，一些元素組成的總體叫做集合。

生活觀：集合的本質(zhì)是范圍

依據(jù)：元素的三要素：確定性、互異性、無序性中，最根本的是確定性，它決定一類事物的總體是否能成為集合。對(duì)于任意一個(gè)元素而言，它是否在某個(gè)總體內(nèi)是明確的，要么是、要么不是，兩者必居其一且只居其一，否則，這個(gè)總體就不能構(gòu)成集合。例如：“年輕人”就不能構(gòu)成集合，以一個(gè)三十歲的青年來說，對(duì)于其父母而言，他理所當(dāng)然是年輕人，可是對(duì)于我們在讀的高中生而言，這個(gè)家伙已經(jīng)三十而立了，怎么能算是年輕人呢！而“三十歲以下的年輕人”就可以構(gòu)成集合，因?yàn)閷?duì)任何一個(gè)人而言，他是否在這個(gè)總體內(nèi)是明確的、確定的。

這不正是我們形成范圍的關(guān)鍵：明確的邊界嗎？換言之，集合中元素的確定性正是要求集合必須具備能夠明確區(qū)分其內(nèi)外的邊界。所以，我們說，集合的實(shí)質(zhì)是范圍。

有了這樣一個(gè)直觀易懂的理解，關(guān)于集合的大多數(shù)題目，我們就可以快速解決了！

例1. A={圓}B={直線}，則A∩B=（ ）

A. 1個(gè)點(diǎn) B. 1個(gè)或2個(gè)點(diǎn)

C. D. 0個(gè)或1個(gè)或2個(gè)點(diǎn)

解析：對(duì)于這個(gè)題目，很多高年級(jí)的同學(xué)都會(huì)錯(cuò)選D，何況我們剛進(jìn)入高中學(xué)習(xí)生活的同學(xué)呢？請注意，集合A并不是圓，集合B也不是直線。如果集合A為圓，集合B為直線，那么A∩B理所當(dāng)然應(yīng)該選D。但事實(shí)上，集合A是圓的集合，是所有圓組成的范圍；集合B是直線的集合，是所有直線組成的范圍，A∩B就是問：既是圓又是直線的事物組成的范圍。這樣的事物存在嗎？既然不存在，那么沒有元素的集合當(dāng)然為空集，即本題的正確答案為C。

從本例，我們還可以獲得一個(gè)經(jīng)驗(yàn)：不同類的集合是不能交的，一旦要進(jìn)行交集運(yùn)算，其結(jié)果必然為空集。又如：A={x 2x2-5x-3=0}，B={（x，y） y=2x2-5x-3=0}，則A∩B= 。集合A為數(shù)集，集合B為點(diǎn)集，無需多慮，其結(jié)果必然是 。

事實(shí)上，只有同類集合（范圍）才能比較大小。比如：我們要比較集合A={人}與集合B{牛}哪個(gè)范圍大？這怎么比？論數(shù)量，應(yīng)該是人多，現(xiàn)在地球已經(jīng)有人口六十多億了；比體形，當(dāng)然是牛的體形大。所以，非同類集合是不能比較大小的。而正是因?yàn)橹挥型惣喜拍鼙容^大小，這才產(chǎn)生了子集、補(bǔ)集的概念。

子集——母子公司，子公司的產(chǎn)品都是母公司的產(chǎn)品；交集——產(chǎn)研結(jié)合，科研院所與企業(yè)合作共同開發(fā)新產(chǎn)品，新產(chǎn)品是他們的公共產(chǎn)權(quán)；并集——院校合并，包頭鋼鐵學(xué)院、包頭師范學(xué)院、包頭醫(yī)學(xué)院三校合并成為內(nèi)蒙古科技大學(xué)，原三校的學(xué)生都是合并后內(nèi)蒙古科技大學(xué)的學(xué)生；補(bǔ)集——優(yōu)勢互補(bǔ)，中國為全集，港澳臺(tái)為其子集，大陸也為其子集，雙方優(yōu)勢互補(bǔ)，共同為中華民族的偉大復(fù)興而奮斗。

例2. f（x）=x2+x-1，M={x x=f（x）}，N={y y=f（x）}則（ ）

A. M=N B. M∩N= C. M∪N=N D. M=R

解析：有了上述觀點(diǎn)，有同學(xué)可能會(huì)不假思索地認(rèn)為答案是B，因?yàn)镸集合的元素是x，集合N的元素是y，根據(jù)剛才的觀點(diǎn)，答案理所當(dāng)然是B啊！事實(shí)上，集合M是數(shù)的集合，集合N亦為數(shù)的集合，雖然元素的代表符號(hào)不同，表達(dá)的內(nèi)在含義不同，但它們是同類集合，交集不一定為 。

解法一：集合M的元素為實(shí)數(shù)，且這些實(shí)數(shù)為方程x=f（x）=x2+x-1的根，即得M={-1，1}，集合N的元素為實(shí)數(shù)，且這些實(shí)數(shù)為函數(shù)y=f（x）=x2+x-1的函數(shù)值，即集合N為函數(shù)y=x2+x-1的值域，即得N=[-■，+∞），即正確選項(xiàng)為C。

解法二：集合N為函數(shù)y=x2+x-1的值域，集合M的元素x=f（x）=x2+x-1，必為函數(shù)f（x）=x2+x-1的某些函數(shù)值，故M N

M∪N=N

解法二簡潔有效，避免了一元二次方程求根和二次函數(shù)求最值，是范圍觀的一次成功應(yīng)用。

在集合的學(xué)習(xí)中，我們還要特別注意空集的存在，很多同學(xué)往往是因?yàn)楹雎缘目占拇嬖冢鴮?dǎo)致解題錯(cuò)誤的。

例3. A={x 2x2-5x-3=0}， B={x mx=1}，B A，則m可能的值有（ ）

A.2個(gè) B.3個(gè) C.1個(gè) D.以上均不對(duì)

解析：本題其實(shí)不用一元二次方程求根，只需要判斷出該一元二次方程△>0有兩個(gè)不等的實(shí)根即可，B A即B中的元素均為A中的元素，即可知m的取值至少有兩個(gè)，此時(shí)，請各位同學(xué)特別注意：B A，則B可以為 ，而此時(shí)m=0即可。故正確的答案為B。

通過例2、例3，我們還看到：其實(shí)數(shù)學(xué)試題并不是每道題都要?jiǎng)庸P計(jì)算的，很多小題，完全沒有必要小題大做，我們只需要用我們掌握的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)理念稍作分析，即可“撥開迷霧見月明”，快速而簡潔地得到正確答案。很多同學(xué)考試總是答不完題目，感覺自己計(jì)算能力差、基礎(chǔ)不扎實(shí)，其實(shí)是沒有深刻理解所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的思想內(nèi)涵，沒有小題小做的解題意識(shí)而導(dǎo)致的。

例4. A={x -2≤x≤3}，B={x m≤x≤2m-1}，A∪B=A，則m取值范圍為 。

解：A∪B=A B A，利用范圍意識(shí)，在數(shù)軸上畫出集合A，顯而易見應(yīng)該有：m≥-22m-1≤3m≤2m-1 m≥-2m≤2 m∈[1，2]m≤1，此時(shí)切莫得意，再仔細(xì)觀察B A，即B可以是 的，而此時(shí)只需要m>2m-1

m<1，綜上，兩者取并集，得m∈（-∞，2]

從例3、例4，我們又可以看到：在集合問題涉及B A，A∩B= ，A∪B=A時(shí)，我們要特別小心謹(jǐn)慎，務(wù)必要考察范圍較小的集合A是否為 ，只有這樣，我們才能避開空集的陷阱，使我們的解題能力、考試成績更上一層樓。

綜上所述，集合可以理解為特定對(duì)象的范圍，而范圍最大的特點(diǎn)是有邊界，可以形象具體地畫出來（韋恩圖）。我們在后面函數(shù)部分學(xué)習(xí)的區(qū)間，其實(shí)就是畫在實(shí)數(shù)軸上的范圍，是集合。這樣，我們就可以利用韋恩圖形象具體快捷地解決集合問題。所以，如果學(xué)生們在解決集合問題的時(shí)候遇到了障礙，我們不妨畫畫韋恩圖，這樣，往往能收到出奇制勝之效。

作者簡介：趙廣樂（1981-），男，漢族，內(nèi)蒙古包頭市人，包頭市數(shù)學(xué)會(huì)理事，包頭市第一中學(xué)一級(jí)教師，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教育及奧林匹克競賽數(shù)學(xué)。

（作者單位：內(nèi)蒙古包頭市第一中學(xué) 014040）