Bessel函數在物理學中的應用

劉冬冬

摘要：本文首先介紹了貝塞爾函數的來源，然后介紹了其在物理學中的應用。貝塞爾函數在物理學中的應用是很廣泛的，筆者主要以貝塞爾函數在熱傳導問題、量子力學和電動力學中的應用為例來說明其應用。

關鍵詞：貝塞爾函數；熱傳導；球方勢阱；圓柱形導體；圓柱形波導

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）01-0119

一、引言

貝塞爾函數的幾個正整數階特例早在18世紀中葉就由瑞士數學家丹尼爾·伯努利在研究懸鏈振動時提出，丹尼爾的叔叔雅各布·伯努利，歐拉、拉格朗日等數學大師對貝塞爾函數的研究做出貢獻。1817年，德國數學家貝塞爾在研究開普勒提出的三體引力系統的運動問題時，第一次系統地提出了貝塞爾函數的總體理論框架，后人以他的名字來命名了這種函數，現在貝塞爾函數廣泛地應用于物理學中。貝塞爾方程是在柱坐標或球坐標下使用分離變量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍茲方程時得到的（在圓柱域問題中得到的是整階形式 α=n；在球形域問題中得到的是半奇數階形式 α=n+1/2），因此貝塞爾函數在波動問題以及各種涉及有勢場的問題中占有非常重要的地位，最典型的問題有：

在圓柱形波導中的電磁波傳播問題；圓柱體中的熱傳導問題；圓形（或環形）薄膜的振動模態分析問題。在其他一些領域，貝塞爾函數也相當有用。譬如在信號處理中的調頻合成（FM synthesis）或凱澤窗（Kaiser window）的定義中，都要用到貝塞爾函數。

二、貝塞爾方程和貝塞爾函數

1. 貝塞爾方程的來源

貝塞爾方程是在柱坐標或球坐標下使用分離變量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍茲方程時得到的。柱坐標系中拉普拉斯算符的表達式為△=■■（ρ■）+■■+■，令U（ρ，φ，Z）=R（ρ）φ（φ）Z（z），通過對拉普拉斯方程 2 U=0分離變量得到關于變量ρ的方程：

ρ2R″（ρ）+ρR′（ρ）+[（λ-μ）ρ2-n2]R（ρ）=0 （1）或

ρ2R″（ρ）+ρR′（ρ）+[（-μ）ρ2-n2]R（ρ）=0 （2）

其中n=0，1，2……，若（λ-μ）或（-μ）≥0則k2=（λ-μ）或（-μ）此時上述二方程均變為：

ρ2R″（ρ）+ρR′（ρ）+[k2ρ2-n2]R（ρ）=0 （3）

稱為n階貝塞爾方程，令x=kρ，y（x）=R（ρ）則n階貝塞爾方程又可表示為：

x2y″（x）+xy′（x）+（x2-n2）=0 （4）

（3）和（4）是整數階貝塞爾方程，若將之進行推廣即將n推廣為實數υ則得到任意階的貝塞爾方程：

x2y″（x）+xy′（x）+（x2-υ2）=0 （5）

2. 貝塞爾方程的通解

（1）υ和-υ階的Bessel函數——第一類柱函數，

Jυ（x）=■■（■）2k+υ，Jυ（x）=■■（■）2k-υ均為Bessel方程的特解，當υ≠n（n=0，±1，±2……）時Bessel方程的通解是yc=CυJυ（x）+D-υ（x），當υ=n時J-n（x）=（-1）nJn（x）。

（2）第二類柱函數——Neumann函數

定義Nυ（x）=■為第二類柱函數，此時Bessel方程的通解表示為：yc=AυJυ（x）+BυNυ（x）。

（3）第三類柱函數——Hankel函數

定義Hυ（1）（x）=Jυ（x）+iNυ（x），Hυ（2）=Jυ（x）-iNυ（x）為第三類柱函數，于是貝塞爾函數的通解又可表示為：y（x）=C1Hυ（1）（x）+C2Hυ（2）（x）。

3. 球貝塞爾方程的來源

利用球坐標系拉普拉斯算符的表達式，可得球坐標系亥姆霍茲方程的表達式：

■■（r2■）+■■（sinθ■）+■■+k2υ=0 （6）

把變數r跟變數θ，φ分離開來，以υ（r，θ，φ）=R（r）Y（θ，φ）代入式（6），用■遍乘各項并適當移項得：

■■（r2■）+k2r2=■■（sinθ■）-■■ （7）

左邊是r的函數，右邊是θ，φ的函數，兩邊相等是不可能的，除非兩邊實際上是同一個常數，通常把這個常數記作l（l+1）。這就分解為兩個方程：

■■（sinθ■）+■■+l（l+1）R=0 （8）■（r2■）+[k2r2-l（l+1）]R=0 （9）

其中式（9）亦即：

r2■+2r■+[k2r2-l（l+1）]R=0 （10）

這叫做l階球貝塞爾方程。這是因為對于k>0，可以把自變數r和函數R（r）分別換作x和x=krR（r）=■ ，則方程（10）式成為：

x2■+x■+[x2-（l+■）2]y=0 （11）

這正是l+■階的貝塞爾方程。

4. 球貝塞爾方程的解

若k=0，則方程（10）退化為：

r2■+2r■-l（l+1）R=0 （12）

其線性獨立的兩解是rl和■。k≠0時（l+■）階貝塞爾方程有如下幾種解J （x），J （x），N （x），H（1） （x），H（2） （x），其中任取兩個就組成（l+■）階貝塞爾方程的線性獨立解。這樣球貝塞爾方程的線性獨立解也就是下列五中之中任取的兩種：jl（x）=■J （x），j-l（x）=■J （x），n1（x）=■N（1） ， hl= ■H（1） （x），h（2）（x）=■H（2） （x）。

三、貝塞爾函數在量子力學中的應用分析

1. 球方勢阱

許多事實，譬如原子核的質量與質量數A成正比，原子核的結合能也近似地與核子數成正比等說明核子之間的力是短程的強作用力，它的作用距離只有10-13厘米的數量級，這樣短程作用力的勢能可以簡單地用一球方勢阱替代，我們討論球方勢阱中的束縛態，勢能形式為：

V（r）=-ν0，r≤a0，r>a 其中ν0為常數，

在束縛態情形（-ν0

■+■■+[■（E+ν0）-■]R=0，r≤a ■+■■+[■E-■]R=0，r>a （13）

考慮到-ν0

令ρ=kr=r■，r≤a ar=r■，r>a則式（13）可化為：

■+■■+[1-■]R=0，r≤a ■+■■+[-1-■]R=0，r>a （14）

式（14）球貝塞爾方程和虛宗量球貝塞爾方程，他們的通解是：

R=Ajl（ρ）+Bnl（ρ），r≤a R=Chl（1）（iρ）+Dhl（2）（iρ），r>a，其中jl和nl分別是l階球貝塞爾函數和球諾伊曼函數，hl（1）和hl（2）是l階第一類和第二類球漢克爾函數。

2. 無限深球方勢阱中運動的粒子

考慮在半徑為a的球形匣子中運動的粒子，這相當于粒子在一個無限深方勢阱中運動，即V（r）=0（ra），對于角動量l≠0的量子態徑向波函數Rl（r）滿足下列微分方程：

Rln+■R′l+[k2-■]Rl=0（r

而在邊界上要求Rl（r） r=a=0引入無量綱變數ρ=kr則式（15）化為：■+■■+[1-■]R1=0 （16）

這就是球貝塞爾方程。令R1=■，經過計算可求出U1滿足下列方程：Ul″+■Ul′+[1-■]Ul=0 （17）

這正是半奇數（l+■）階貝塞爾方程（l=0，1，2……），它的兩個線性無關解可表示為J （ρ），J （ρ）。所以徑向波函數的兩個解是：Rl∝■J ，■J 通常用球貝塞爾函數及球諾伊曼函數表示：jl（ρ）=■J （ρ），nl=（-1）l+1■J （ρ）。

3. 有限深球方勢阱中運動的粒子

考慮在半徑為a的球形有限深球方勢阱中運動，有限深球方勢阱形式如下：V（r）=0，ra，考慮E<ν0（束縛態）情況，

令k=■k′=■，則徑向方程為：

Rl″+■Rl′+[k2-■]Rl=0（ra） （18）

它是球貝塞爾方程，其解為球貝塞爾函數（取jl，nl，hl，hl，當中任意兩個線性疊加）。但在ra區域能保證處r→∞束縛態邊界條件的波函數只能取虛宗量漢克爾函數hl（ik′r），Rl（r）=Bk′lhl（ik′r）（r>a）

四、貝塞爾函數在電動力學中的應用分析

貝塞爾函數在電動力學中有廣泛的應用，例如：應用于均勻外場中的導體柱求空間電勢分布、圓柱形導體中的趨膚效應、圓柱形波導中波膜的分析、圓柱形諧振腔中的應用等.若介質各向同性、分布均勻且內部沒有自由電荷或電流，則恒場滿足拉普拉斯方程的求解問題，按不同的邊界形狀，可選取適當的坐標系，用分離變量法求出拉普拉斯方程的通解，再由邊界條件確定通解中的待定系數。在柱坐標系中，拉普拉斯方程為：[■■（ρ■）+■■+■]φ=0，其通解為φ=■eiυφ{[aksinh（kz）+bkcosh（kz）][cυkJυ（kρ）+dυkNυ（kρ）]+[a′ksinh（kz）+b′kcosh（kz）][c′υkIυ（kρ）+dυkKυ（kρ）]}或Jυ、Nυ式中、分別是第一、二類υ階貝塞爾函數，Iυ、Kυ則是第一、二類υ階變形貝塞爾函數。

注意：（a）若φ與z無關則φ=a0+b0lnρ+■（aυ ρυ+bυρ-υ）[cυcos（υφ）+cυsin（υφ）]或φ=a0+b0lnρ+■（aυ ρυ+bυ ρ-υ）exp（iυφ）；

（b）如果φ的取值不受限制，則υ為正整數，否則υ為正實數。

1. 均勻外場中的圓柱形導體

在均勻外場E=E0ex中有一半徑為R，線電荷密度為λ的無限長圓柱形導體，柱軸與外場垂直，求空間電勢分布。

解：柱內電場為零，在柱坐標系中柱外電勢滿足方程：

2φ=0，ρ

（上接第120頁）

2. 圓柱形波導

設波導管是由圍繞Z軸的理想導體柱面構成，則波導中電磁波的縱場振幅滿足柱坐標系中的亥姆霍茲方程：

[■+■■+■■]Y（ρ，φ）=0 （19）

及邊界條件Y ρ=0 =有限Y ρ=a =0當Y=E0z■ ρ=a =0當Y=H0z （20）

令Y（ρ，φ）=R（ρ）φ（φ），則原方程分離為兩個方程：

（■+m2）φ=0 （21）[■+■■+（kc2-■）]R=0 （22）

由于解必須是單值的，方程（21）的解為：

φ=exp（imφ），m=0，±1，±2…… （23）

由于解在原點有限，m階貝塞爾方程（22）的解為：

R=Jm（kcρ），m=0，±1，±2……，因而通解為： （24）

Y（ρ，φ）=Jm（kcρ）[A1exp（imφ）+A2exp（-imφ）]

式中A1，A2均為待定系數，由波導管壁上的邊界條件可求出。

參考文獻：

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（作者單位：山西省呂梁市體育運動學校 033000）