如何比較二次函數值的大小

毛長俊

二次函數是初中數學中的一個重難點， 也是未來高中數學中的一個重要內容.比較 二次函數值的大小問題一直是中考的熱點問 題.它一方面考查了同學們對二次函數的圖 象和性質的掌握情況，另一方面也考查了同 學們對數形結合、分類討論等重要思想方法 的靈活運用能力.同學們要熟悉這類問題的 各種類型，熟練運用多種方法解題.

一、運用二次函數的增減性比較大小

利用函數的增減性比較函數值的大小， 首先要觀察函數對應的自變量的值是否在對 稱軸的同一側，如果不在同一側，則需要利用 對稱性將所有的點轉化到同一側去，然后利 用增減性比較大小.具體地，可以先判斷二次 函數 y = ax - +bx + c的開口方向，再判斷二次 函數值的大小.如果 a > 0 ，那么拋物線開口向 上，頂點為最低點，在對稱軸左側，y 隨 x 的 增大而減小，在對稱軸右側，y 隨 x 的增大而 增大；如果 a < 0 ，拋物線開口向下，頂點為最 高點，在對稱軸左側，y 隨 x 的增大而增大， 在對稱軸右側，y 隨 x 的增大而減小.

例1

分析：求出拋物線的對稱軸和開口方向， 然后根據二次函數的對稱性和增減性，即可 求出答案.

解：

例2

分析：

解：

評注：利用函數的增減性比較函數值的 大小，首先要明確拋物線的開口方向，找出對 稱軸，然后確保所有要比較的自變量的值都在對稱軸的同側，最后利用函數的增減性比 較大小.這種比較大小的方法，不必計算出對 應的函數值，是從二次函數的性質的角度解 答問題.

二、運用距離的大小比較大小

如果二次函數的對稱軸是給定的，或通 過計算可以求出對稱軸，那么我們可以利用 比較各點到對稱軸的距離的方法來比較函數 值的大小. 首先，將二次函數 y = ax 2 + bx +c 化 成 y = a（x - h） 2 +k 的形式，根據開口方向和對 稱軸畫出函數圖象的示意圖，找到題目中所 求點在 x 軸上的位置，然后按照：①對于開口 向上的拋物線，離對稱軸越近，點越低，y 值 越小；離對稱軸越遠，點越高，y 值越大；②對 于開口向下的拋物線，離對稱軸越近，點越 高，y 值越大；離對稱軸越遠，點越低，y 值越 小去進行比較.

例3

分析：

解：

例4

分析：由拋物線的解析式可知，拋物線開 口向下，對稱軸為 x = 1，m 是二次函數值的最 大值，根據 x1 < 1 < x2 ，x1 + x2 > 2 ，即可判斷點 B（x2，y2） 離對稱軸較近，由此即可得出結果.

解：

評注：雖然初中數學教材中沒有提及運 用距離的大小比較的方法來判斷二次函數值 的大小，但是根據二次函數的增減性，我們可 以延伸出這一方法.利用這種方法比較大小， 不必計算出對應的函數值，也不需要考慮點 的位置（同側或異側），而是從“形”的角度解 答問題.