高中數學數列中易忽視的幾個問題

羅定汨

高中數學中的數列一直是考試中考查的一個重點知識，學生在學習的過程中要加強對知識點的掌握。下面就數列中同學們容易忽視的幾個問題通過例題的分析，希望能對該知識點的掌握起到促進作用。

一、忽視等差、等比數列概念的掌握

例1.在數列〖JB（{〗an〖JB）}〗中，a1=1，an+1=〖SX（〗an〖〗c·an+1〖SX）〗〖JB（（〗c為常數〖JB））〗，求證：〖JB（{〗〖SX（〗1〖〗an〖SX）〗〖JB）}〗是等差數列.

證明：由a1=1，an+1=〖SX（〗an〖〗c·an+1〖SX）〗〖JB（（〗c為常數〖JB））〗，∴an≠0

∴〖SX（〗1〖〗an+1〖SX）〗-〖SX（〗1〖〗an〖SX）〗=〖SX（〗can+1〖〗an〖SX）〗-〖SX（〗1〖〗an〖SX）〗=c為常數 所以〖JB（{〗〖SX（〗1〖〗an〖SX）〗〖JB）}〗是等差數列.

例2.設數列〖JB（{〗an〖JB）}〗前n項和為Sn，且〖JB（（〗3-m〖JB））〗Sn+2man=m+3，其中m為常數，m≠-3且

m≠0.求證：〖JB（{〗an〖JB）}〗是等比數列.

證明：由〖JB（（〗3-m〖JB））〗Sn+2man=m+3 ①

∴ 〖JB（（〗3-m〖JB））〗Sn+1+2man+1=m+3 ②

②-①得：〖JB（（〗3-m〖JB））〗an+1+2man+1-2man=0〖JB（（〗m+3〖JB））〗an+1=2man

又m≠-3且m≠0 ∴ 〖SX（〗an+1〖〗an〖SX）〗=〖SX（〗2m〖〗m+3〖SX）〗為常數 即〖JB（{〗an〖JB）}〗是等比數列

評析：有些同學處理例1時就會這樣計算，由a1可以求得a2、a3，發現〖SX（〗2〖〗a2〖SX）〗=〖SX（〗1〖〗a1〖SX）〗+〖SX（〗1〖〗a3〖SX）〗，就說明〖JB（{〗〖SX（〗1〖〗an〖SX）〗〖JB）}〗是等差數列，或說明〖JB（{〗an〖JB）}〗是等比數列，就只要找到a22=a1·a3就可以了，這樣做都是錯誤的。由定義有〖JB（{〗an〖JB）}〗滿足an+1-an=d為常數，這里n∈〖WTHZ〗N〖WTBX〗*都成立，才說明

〖JB（{〗an〖JB）}〗是等差數列，若滿足〖SX（〗an+1〖〗an〖SX）〗=q為常數，就說明〖JB（{〗an〖JB）}〗是等比數列.

二、忽視n=1的情況

例3.已知〖JB（{〗an〖JB）}〗中a1=1，an=3n-1+an-1，求〖JB（{〗an〖JB）}〗的通項公式.

解：由已知有an-an-1=3n-1

∴a2-a1=3 a3-a2=32 …… an-an-1=3n-1〖JB（（〗n≥2〖JB））〗

上n-1個式子疊加得：an-a1=3+32+…+3n-1∴an=〖SX（〗3n-1〖〗2〖SX）〗〖JB（（〗n≥2〖JB））〗

又n=1時a1=1=〖SX（〗31-1〖〗2〖SX）〗滿足上式 ∴〖JB（{〗an〖JB）}〗的通項公式為an=〖SX（〗3n-1〖〗2〖SX）〗

評析：在求〖JB（{〗an〖JB）}〗的通項公式過程中，很多同學直接利用an=Sn-Sn-1，忽視了出現n-1就得滿足n≥2的這個條件，未包含n=1的情況，所以在解題中必須對n=1進行檢驗.

三、忽視q=1的情況

例4.已知Sn是等比數列〖JB（{〗an〖JB）}〗的前n項和，S3，S9，S6成等差數列，求證：a2、a8、a5成等差數列.

證明：由條件有S3+S6=2S9

這里有q≠1，因為若q=1，則S3+S6=3a1+6a1=9a1，2S9=18a1

此時S3+S6≠2S9不滿足題意

所以由S3+S6=2S9〖SX（〗a1（1-q3）〖〗1-q〖SX）〗+〖SX（〗a1（1-q6）〖〗1-q〖SX）〗=〖SX（〗2a1（1-q9）〖〗1-q〖SX）〗q3+q6=2q9

又q≠0 ∴ 1+q3=2q6

從而a2+a8=a1q+a1q3=a1q〖JB（（〗1+q3〖JB））〗=a1q·2q6=2a1q7=2a8

即a2、a8、a5成等差數列.

評析：許多同學看到等比數列的前n項和就自然只想到Sn=〖SX（〗a1〖JB（（〗1-qn〖JB））〗〖〗1-q〖SX）〗，根本就忘記這個公式的前提是q≠1，所以我們必須不可忽視對q=1情況的分析.

四、忽視數列中項的符號的問題

例5.已知四個數-9，a1，a2，-1成等差數列，五個數-9，b1，b2，b3，-1成等比數列，則

b2〖JB（（〗a2-a1〖JB））〗=〖ZZ（Z〗 〖ZZ）〗

解：由-9，a1，a2，-1成等差數列，設其公差為d，則d=〖SX（〗-1-〖JB（（〗-9〖JB））〗〖〗3〖SX）〗=〖SX（〗8〖〗3〖SX）〗即a2-a1=〖SX（〗8〖〗3〖SX）〗 又-9，b1，b2，b3，-1成等比數列 ∴ b22 = -9×〖JB（（〗-1〖JB））〗 = 9b2 = ±3

又b21=-9b2 ∴b2<0 即b2=-3 所以b2〖JB（（〗a2-a1〖JB））〗=-8

評析：若a、G、b成等比數列，則G叫做a與b的等比中項。且G2=abG=±〖KF（〗ab〖KF）〗，

也就是說兩個數a、b同號時才存在等比中項，該題中有同學就會忽視-9，b1，b2這三個成等比，有b21=-9b2，應有b2<0，所以結果是-8，而不是±8.

通過以上例題的分析，希望同學們能加深對數列知識的掌握，盡可能做到考慮問題細心周到。其實高中數學的學習并非是件很難的事情，只要我們平時能做到足夠認真，積極向上，善于積累，學習成績肯定會更好的。

（作者單位：湖南省瀏陽市第三中學 410300）