小貝弧線球中的力學原理

毛軍 劉小禹

中圖分類號：G804 文獻標識：A 文章編號：1009-9328（2014）01-000-01

摘 要 “弧線球”往往是一場足球比賽中的看點，看過本文的分析，只要多加練習，您也可以射出精彩的弧線球。

關鍵字 力學 伯努利 弧線球

在英超聯賽中精彩的弧線球射門場景讓人記憶猶新，作為一名體育工作者，在感嘆球員的精彩球技時，更應關注其中蘊藏的科學道理。在本文中，我將依據自己有限的流體力學知識，分析精彩射門中的力學原理。眾所周知，當人給球力的有個角度（0<α<90），就可以讓球發生旋轉，經過一定的位移后在風力的作用下球會呈弧線運動，這樣的球常常能讓守門員防不勝防，達到進球的目的。

一、伯努利原理

要弄清楚這個問題，就得先了解一下伯努利原理。伯努利原理認為：“在流水或氣流里，如果流速小，對旁側的壓力就大，如果流速大，對旁側的壓力就小?！弊闱蜿爢T用腳踢球時，只踢球的一小部分，把球“搓”起來，球受力，就發生旋轉，而當球在空中高速旋轉并向前飛行時，它屬于剛體的一般運動，它包括了剛體的平移、定軸轉動、定點運動等。根據伯努利原理，球就受到了一個橫向的壓力差，這個壓力差，使球向旁側偏離，而球又是不斷向前飛行著，在這種情況下，足球同時參與了兩個直線運動，便沿一條彎曲的弧線運行了。

二、伯努利方程式

伯努利方程式：ρv2/2+ρgz+p=常量，實際上是流體運動中的功能關系式，即單位體積流體的機械能的增量等于壓力差所做的功。必須指出，伯努利方程式右邊的常量，對于不同的流管，其值不一定相同。由方程可知，流速v大的地方壓強p小，反之，流速小的地方壓強大。在粗細不均勻的水平流管中，根據連續性方程，管細處流速大，管粗處流速小，所以管細處壓強小，管粗處壓強大。從動力學角度分析，當流體沿水平管道運動時，其質元從管粗處流向管細處將加速，使質元加速的作用力來源于壓力差。

三、伯努利原理在足球中的應用

（一）伯努利原理是流體力學中的基本原理，流體運動速度越快，壓力越小，且中的壓力又是往各個方向都有的。

（二）形成弧線球的力學條件有二：1.踢球作用力（合力）不通過球體的重心——使球體產生轉動；2.有一定位移——在空氣作用下，旋轉的球體發生軌跡改變。弧線球的受力分析：當運動員踢球時，作用力F通過球體重心：球體不發生旋（作用力方向即法線方向）轉并沿直線方向運行，獲得100%的出球力量，即F1=F×100%。此力不能產生旋轉。

當運動員踢球時，作用力F不通過球體重心：與法線成α1=30度時，偏心距X1=5.55cm（足球競賽規則規定，正式比賽）用球圓周為68-77cm，切線分為F2將產生力矩作用，使球體沿著以F2為切線的方向旋轉。擊球時的力矩值為：M1=F2×r=2×F×r（M為力矩，F2為切線分力并F2=F/2，r為球體半徑。法線分力F1決定出球方向和遠度，且F1=86.6%×F，它使球沿F2方向以較小的弧度運行（理論上計算其弧度數值為π/3）。

當踢球作用力與法線成α2=60度時，偏心距X2=9.6cm。切線分為F2將產生力矩作用，使球體沿著以F2為切線的方向旋轉。其力矩值為：M2=F2×r=0.8663F×r（式中M2為力矩，F2為切線分力并F2=0.8663F，r為球體半徑）。法線分力F1決定出球方向和遠度，且F1=50%×F，它使球沿F2方向以較大的弧度運行（理論上計算其弧度數值為2π/3），其運行遠度較小。

當踢球作用力與法線成α2=90度時垂直于法線時，只產生力矩使球旋轉，而不能使球位移，故不能構成腳背內側弧線球。

運動員踢球作用力F不通過球體重心，我們把這作用力分解為法線分力F1和切線分力F2。法線分力F2作用的結果，是使球體產生移動前進，且前進速度為V1；切線分力F2作用的結果是使球以ω為旋轉速度進行旋轉。根據動力學的基本公式，經推導得：

F×t=m×V V=Ft/m，即球的前進速度ω。

F×t×x=J×ω ω=Ftx/J，即球的轉動角速度。

因為球的質量和轉動慣量均為常量所以，作用于球體的力F和力的作用時間t的值越大，則球體的前進速度V和轉動ω角度速度就越快；反之，作用于球體的力F與力的作用時間t的值越小，則球體的前進速度V和轉動角速度ω就越慢。而作用力的力臂X的值大即踢球角增大，則轉動角速度ω就加快；反之，力臂X的值小即踢球角減小，則轉動角速度ω減慢。如果我們把這兩種不同的運動按照合成規律（平行四邊形法）則組合起來，不難看出：前進速度V和轉動角速度越快，那么球體的運行速度越快，且側旋弧線曲率也增大；反之，球的前進速度V和轉動角速度越慢，則足球運行速度也越慢，弧線曲率也減小。

分析結論：踢球作用力F與法線所成角度α增大時（0<α<90），球體旋轉越強烈而位移相對減小，反之，減小時，球體旋轉就越緩慢而位移相對增大。

依據側弧線球形成的力學條件，即有一定的旋轉速度，又要有一定的位移，所以一般認為在踢定位球時，α角在30度左右到60度之間將產生側旋弧線球。理想的弧線球多是借助于來球力量、重力和風力等因素，運用不同的腳法以及巧妙的技術動作形成的。

參考文獻：

[1] 李玉柱，范明順.流體力學[M].高等教育出版社.1998.6.