基于橋式柔性鉸鏈多誤差源的數(shù)學(xué)建模*

周歡偉，陳 新，陳新度，李克天

（1.廣東工業(yè)大學(xué)，廣東廣州 510663；2.廣州鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東廣州 510430）

基于橋式柔性鉸鏈多誤差源的數(shù)學(xué)建模*

周歡偉1,2，陳 新1，陳新度1，李克天1

（1.廣東工業(yè)大學(xué)，廣東廣州 510663；2.廣州鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東廣州 510430）

利用快刀伺服系統(tǒng)加工可獲得納米級的微結(jié)構(gòu)，橋式柔性鉸鏈?zhǔn)亲铌P(guān)鍵的零件之一，其柔性鉸鏈的誤差度直接影響零件的加工精度。通過對多誤差源的分析，探索每個誤差源對精度的影響程度。包括過對橋式柔性鉸鏈關(guān)鍵尺寸的加工誤差，特別是對敏感度較高的長度、寬度、厚度加工誤差的分析，建立起關(guān)鍵尺寸與加工精度的數(shù)學(xué)模型；分析溫度變化，建立基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的加工誤差數(shù)學(xué)模型，并提出溫度補(bǔ)償?shù)牟呗裕环治鲋亓Φ仍蛞鸬恼`差變形，建立由于重力引起變形量與加工精度的數(shù)學(xué)模型。將上述的多誤差源的數(shù)學(xué)建模運用到設(shè)計和制造中，能從源頭上減少誤差對加工精度的影響程度，提高快刀伺服系統(tǒng)加工微結(jié)構(gòu)零件的尺寸精度和表面粗糙度。

柔性鉸鏈；誤差；加工精度；微結(jié)構(gòu)；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

0 引言

柔性鉸鏈?zhǔn)强斓端欧到y(tǒng)中實現(xiàn)微位移的關(guān)鍵零件之一，橋式柔性機(jī)構(gòu)具有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)簡單、應(yīng)力分布均勻以及固有頻率高等特點，目前關(guān)于橋式柔性機(jī)構(gòu)的研究報道多見于運動放大機(jī)構(gòu)，Lobontiu等[1]利用卡氏第二定理推導(dǎo)了橋式柔性放大機(jī)構(gòu)剛度的閉環(huán)解析公式，并研究了相關(guān)幾何參數(shù)對剛度的影響趨勢。Ryu[2]采用矩陣分析的方法對橋式柔性放大機(jī)構(gòu)的變形進(jìn)行分析，理論結(jié)果同實驗結(jié)果的誤差小于10%；Kim等[3]利用同樣的方法對空間橋式柔性放大機(jī)構(gòu)(兩個二維橋式柔性機(jī)構(gòu)交叉聯(lián)接)的變形進(jìn)行分析，通過實驗測試，其分析誤差也小于10%。柔性鉸鏈的精度包括尺寸精度、表面粗糙度、形位公差等，合理控制零件的加工精度，有利于保證減小加工誤差。很多學(xué)者對柔性鉸鏈機(jī)構(gòu)的精度進(jìn)行了較為詳細(xì)和深入的研究[4-5]，包括制造公差和裝配誤差的影響，并對誤差建模及精度標(biāo)定等。Niaritsiry等[6]列出了柔性鉸鏈幾種缺口的誤差，并將這些誤差代入整個平面少自由度機(jī)構(gòu)模型進(jìn)行有限元仿真。葉鑫[7]等人以一種3-PPTTRS微動工作臺為例，利用矢量閉環(huán)，在微動工作臺單支鏈標(biāo)準(zhǔn)模型的基礎(chǔ)上建立基于桿長的誤差模型和基于柔性鉸鏈的誤差模型。

本文以特定的橋式柔性鉸鏈為研究對象，分析多誤差源可能給定位精度帶來影響，研究由于加工、溫度、重力等的影響，建立與加工精度對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，提煉出影響加工精度的敏感元素，從而減少由于誤差給精度帶來的精度誤差。

1 柔性鉸鏈加工誤差分析

橋式柔性鉸鏈具有結(jié)構(gòu)對稱性強(qiáng)，運動平穩(wěn)，消除了X、Y軸的耦合性，并且具較大的放大倍數(shù)，其具體的拓樸結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。

圖1 橋式柔性鉸鏈的示意圖

1.1 角度誤差建模

如圖1所示，第1到第8個柔性鉸鏈缺口按直角型設(shè)計，第9到第12個柔性鉸鏈按半圓性柔性鉸鏈進(jìn)行設(shè)計。設(shè)計時要求柔性鉸鏈l67、l18與水平成72°夾角，左邊固定，l12和l56成平行狀沿X軸進(jìn)行移動，由l39、l910、l104、l43構(gòu)成的驅(qū)動刀架部分沿X軸正向平移產(chǎn)生微位移。

但是由于以下制造因素會造成柔性鉸鏈產(chǎn)生的微位移產(chǎn)生誤差：（1） l67、l18與水平夾角誤差，設(shè)計要求成72°夾角，但由于加工為線切割加工，會產(chǎn)生Δα的角度誤差；（2）柔性鉸鏈缺口厚度誤差，直角缺口設(shè)計要求為1.3 mm，半圓缺口設(shè)計要求為1.5 mm，但其厚度造成的誤差直接影響其剛度；（3）對稱度誤差分析，設(shè)計要求l911、l1012長度相等，達(dá)到平行移動，但由于加工誤差使得刀架不能完全以水平方式進(jìn)行平移，會造成位移誤差。

由于逆壓電效應(yīng)而產(chǎn)生的微位移為Δh（如圖2所示），設(shè)計角度為α，由于加工誤差，使得本來B點變?yōu)锽?，其角度由原來的α變?yōu)棣?Δα。

圖2 角度誤差

通過分析可得：按設(shè)計要求時，工作微位移為：

壓電陶瓷工作微位移為：

ABcosα-ABcosα=x。

由于角度存在誤差，工作微位移為：

AB(cosα″-cos(α-Δα))=x′

由于加工誤差產(chǎn)生角度誤差，使得：

將式（1）、（2）代入（3）得位移誤差與角度之間的關(guān)系：

1.2 寬度和厚度的誤差建模

由于缺口制造過程中產(chǎn)生誤差，根據(jù)剛度計算能分析出其寬度b對柔性鉸鏈的影響，設(shè)計厚度為b，實際加工厚度為b′。根據(jù)材料力學(xué)的要求，以AB桿的第8點缺口為例進(jìn)行研究。由于極慣性矩，其剛度為EI，E為該材料的彈性模量，設(shè)計厚度b?t，故此處只研究厚度b對壓柔性鉸鏈的影響。如圖3所示，其加工厚度誤差Δb=b-b′。

圖3 寬度加工誤差

根據(jù)式計算可得：

根據(jù)所選材料為304不銹鋼時，E為206 GPa，l12=58.9 mm，α=72°，可得出：Δx與Δb的關(guān)系。

1.3 長度誤差建模

加工過程中，柔性鉸鏈的長度l12與位移的行程相關(guān)，通過建模，可得:

當(dāng)長度由l12變?yōu)闀r，其長度變化為：

2 熱誤差補(bǔ)償?shù)臄?shù)學(xué)模型

2.1 基于RBF的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的熱誤差模型

（1）RBF的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的數(shù)學(xué)模型

RBF（Radical Basis Function）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)即徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種高效的前饋式神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，它具有其他前向網(wǎng)絡(luò)所不具有的最佳逼近性能和全局最優(yōu)特性，并且結(jié)構(gòu)簡單，訓(xùn)練速度快。同時，它也是一種可以廣泛應(yīng)用于模式識別、非線性函數(shù)逼近等領(lǐng)域的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。

在理論上，RBF網(wǎng)絡(luò)和BP（Back Propaga?tion）多層前饋網(wǎng)絡(luò)都是以任意精度逼近任何非線性函數(shù)。它們使用的中隱層節(jié)點的基函數(shù)都采用了“高斯條函數(shù)”，但RBF網(wǎng)絡(luò)將每個輸入維的高斯響應(yīng)加權(quán)求和，使得其成為具有唯一最佳逼近的特性的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，且無局部極小問題存在。

式中：i表示第i個高斯條單元(即隱層節(jié)點i)； j表示輸入維， M為其維數(shù)； xj、cij、σij、wj分別是輸入向量X和第i個高斯條函數(shù)的中心ci、寬度σj以及權(quán)矢量Wi的第 j項。

（2）熱應(yīng)力的產(chǎn)生原因

橋式柔性鉸鏈熱應(yīng)力變形的主要來源為：1）在橋式柔性鉸鏈內(nèi)，當(dāng)溫度場的變化時，金屬外表面與內(nèi)部之間因膨脹不同而相互牽制，引起強(qiáng)迫膨脹或約束，使得尺寸變化不一致產(chǎn)生變形；2）當(dāng)溫度場均勻時，對于同一物體由于熱脹冷縮的原因，促使產(chǎn)生熱變形，幾何尺寸發(fā)生變化。

柔性鉸鏈在不同方向上的變形位移分量ux、uy、uz是連續(xù)存在的。應(yīng)變分量是兩部分之和：一部分由應(yīng)力引起的，一部分由溫度變化引起的，根據(jù)虎克定律有：

上式可用矩陣形式表示為：

εx、εy、εz：分別表示x、y、z三個方向的應(yīng)變量；

σx、σx、σx：分別表示x、y、z三個方向的應(yīng)力；

γxy、γyz、γzx：分別在xy、yz、zx三個平面的剪切應(yīng)變量；

τyz、τyz、τzx：分別在xy、yz、zx三個平面的剪應(yīng)力；

G：剪切彈性模量；T：變溫；

α：熱膨脹系數(shù)。

2.2 熱誤差計算

金屬具有熱脹冷縮的屬性，柔性鉸鏈由于溫度變化使得缺口加工精度對定位精度產(chǎn)生影響。由于柔性鉸鏈各部分結(jié)構(gòu)尺寸不同，環(huán)境溫度的變化結(jié)構(gòu)膨脹大小不一，具體伸長長度如下：

根據(jù)304鋼的熱膨脹系數(shù)為 α=170×10-7/℃，根據(jù)設(shè)計，鉸鏈固定端7、8點，構(gòu)成3、4、9、10的平臺的，7點到10點的距離l1= 128.2 mm。根據(jù)式（6）所示，溫度升高1°C，則ΔL=2.179 4 μm。

2.3 基于RBF的熱誤差補(bǔ)償方法

快刀伺服系統(tǒng)的誤差受加工條件以及周圍環(huán)境等多種因素的影響，呈現(xiàn)非線性及交互作用。為提高加工精度，需采取有效的措施減少熱誤差，通過溫度傳感器而在實時補(bǔ)償過程中用機(jī)床溫度值來預(yù)報熱誤差。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論是利用工程技術(shù)手段模擬人腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和功能的一種非線性動力學(xué)系統(tǒng)[8]。以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為代表的智能補(bǔ)償技術(shù)已運用到熱誤差建模中[9-11]，一般采用BP算法的前傳多層感知器網(wǎng)絡(luò)，根據(jù)感知器網(wǎng)絡(luò)權(quán)重初始化的隨機(jī)性，難以根據(jù)熱誤差的實際情況確定一組較好的初始值。而RBF理論提供了一種新穎而有效的手段，能有效地將BF結(jié)合起來，把由于溫度誤差通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有效地進(jìn)行補(bǔ)償。

3 缺口處重力變形的誤差模型

3.1 重力對加工誤差的影響規(guī)律

快刀伺服系統(tǒng)中橋式柔性鉸鏈、拉桿1、拉桿2、壓電陶瓷、刀具等存在本身的重力（如圖4所示），使缺口部分受重力因素產(chǎn)生變形，引起位移刀尖位移的定位精度產(chǎn)生誤差，而對工件的加工精度影響是很難進(jìn)行修改和補(bǔ)償?shù)模苑治鋈笨谔幹亓ψ冃蔚恼`差是十分重要的。

圖4 快刀伺服系統(tǒng)的重力變形模型

假設(shè)零件的重力為G，長度為l，剛度為EI，根據(jù)材料力學(xué)公式可得：

快刀伺服系統(tǒng)中，直接由于重力影響橋式柔性鉸鏈變形的零件有橋式柔性鉸鏈、上拉桿、下拉桿、刀具、刀具固定板、螺栓等。其重力可進(jìn)行等效，并針對10個缺口處計算變形量，通過式（7）可計算獲得變形量。

3.2 重力誤差仿真分析

將快刀伺服系統(tǒng)用Pro/Engineer進(jìn)行三維數(shù)字建模，利用Ansys仿真軟件，得到如圖5所示的變形量。從圖5中可得出最大處變形量為4.4μm，并且在拉桿中部，對刀具的加工精度影響不大。

圖5 重力仿真分析

4 小結(jié)

本文通過對快刀伺服系統(tǒng)的由于加工精度誤差、溫度變化而引起的定位誤差進(jìn)行分析。首先對柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)角誤差進(jìn)行分析，建立由于加工誤差而引起的轉(zhuǎn)角誤差和刀尖處定位精度的關(guān)系。然后探索柔性鉸鏈缺口寬度、厚度的誤差引起刀尖處定位誤差的關(guān)系，建立了它們的數(shù)學(xué)模型，最后分析柔性鉸鏈的桿長誤差，建立長度誤差與定位精度的數(shù)學(xué)模型。

探索溫度的變化引起定位精度變化的規(guī)律，建立虎克定律方程的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)溫度變化程度，構(gòu)建溫度誤差引起的定位精度誤差的數(shù)學(xué)模型。根據(jù)重力大小，用Ansys對得力進(jìn)行分析，得出因重力引起的變形誤差方向。

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The Mathematical Modeling of Multi-Error Source Based on Bridge Type Flexure Hinge

ZHOU Huan-wei1，2，CHEN Xin1，CHEN Xin-du1，LI Ke-tian1
（1.Guangdong University of Technology，Guangzhou510663，China；2.Guangzhou Institute of Railway Technology，Guangzhou510430，China）

Using fast tool servo system to machine the nanometer grade micro-structure，the bridge flexure hinge is a key part.The error of flexure hinge directly affects the machining accuracy of micro-structure.This paper explores the influence degree on the accuracy through analyzing all kinds of error source.The mathematical model of key dimension and machining accuracy is established including the machining error of bridge flexure hinge，which includes the sensitive size of length，width and thickness.After analyzing temperature change，the mathematical model of machining error is established based on neural network and the temperature compensation strategy is put forward.After Analyzing the reasons of deformation error caused by gravity，the mathematical model of deformation and machining precision is established.The above mathematical modeling applied for the design and manufacturing process can reduce their influence on machining accuracy，and it also can help the fast tool servo system to improve micro-structure size precision and surface roughness.

flexure hinge；error；machining accuracy；micro-structure；neural networks

TP391.7

A

1009－9492(2014)09－0009－05

10.3969/j.issn.1009-9492.2014.09.003

周歡偉，男，1977年生，江西九江人，博士研究生，副教授。研究領(lǐng)域：快刀伺服系統(tǒng)，納米加工。

(編輯：阮 毅)

*廣東省引進(jìn)創(chuàng)新科研團(tuán)隊計劃（編號：201001G0104781202）

2014－07－28