抓住題目特點，求代數式的值

姚文治

摘 要：代數式的求值問題涉及面廣，它和代數式的變形、分式的運算、二次根式的化簡、一元二次方程根與系數都有密切的關系，中考中也常常涉及，而有相當一部分學生，在求代數式的值時，不注意觀察題目特點，不考慮題目的技巧性，結果使得求值過程比較復雜，有些甚至無法求出結果，所以求代數式的值時，若能抓住題目的特點選擇適當方法，不僅可使求值由難到易，由繁到簡，而且還可提高學生思維的靈活性。

關鍵詞：代數；方式；代數式

下面略舉實例。

例1：若a+b=8，求a2+b2+2ab-8a-8b+16的值。

分析：解此題要抓住題目特點，通過觀察，此題看起來代數較長，但不難發現，所求代數式可化為a+b的表達式，把a+b的值整體代入，問題便可獲得解決。

解：原式=（a+b）2-8（a+b）+16

=（a+b-4）2

把a+b=8代入，原式=（8-4）2=16

例2：（1）已知：x=■，xy=1，求代數式2x2-4xy+2y2+1的值；

（2）已知：x=■，求代數式■+■的值。

分析：解這類題目，若直接把x的值和y的值代入，計算起來相當麻煩，若能把已知條件化簡和把代數式化簡，再代入計算，計算起來就顯得特別簡單。

解：（1）由已知：x=■，化簡得：x=■=■-1，

由xy=1，得y=■=■=■+1.

將代數式：2x2-4xy+2y2+1，變形為：2（x-y）2+1

把x=■-1，y=■+1代入，原式=2（■-1-■-1）2+1=8+1=9

（2）已知：x=■，化簡得：x=■，

再化簡代數式：■+■=■+■

=x-3+x+2=2x-1

把x=■代入，得

原式=2×■-1=■

例3：（1）已知：x1、x2是方程x2-7x+5=0的兩根。求代數式（x1-5）（x2-5）的值。

（2）已知：x1、x2是方程2x2-6x+3=0的兩根。求代數式■+■的值。

分析：此類題目有兩種方法，第一種可先算出方程的兩個根再求值，第二種方法則利用根與系數的關系，先求出x1+x2與x1x2的值，然后再把所求代數式化成x1+x2與x1x2的表達式后求值，但由于方程的解不是有理數，用第一種方法計算起來肯定很繁，但用第二種方法就顯得容易多了。

解：（1）由根與系數的關系得：x1+x2=7，x1x2=5.

（x1-5）（x2-5）=x1x2-5（x1+x2）+25

=5-5×7+25=-5

（2）由根與系數的關系得：x1+x2=3，x1x2=■

∴■+■=■+■=■=■=■

有的求值題，分別給出x+y，xy的值，求，x2+y2，x3+y3，■+■的值，也同樣可利用上述方法解決。

例3：已知a2-■a=1，b2-■b=1，且a≠b，求：■+■的值。

分析：所求代數式中的字母a、b，題中通過a2-■a=1，b2-■b=1給出，如果我們通過一元二次方程求出a、b的值后再代入代數式中，顯然十分麻煩，這時認真觀察a2-■a=1，b2-■b=1會發現這兩個一元二次方程的“對應項”系數相等，因此可將a、b看做方程x2-■x-1=0的兩根，利用根與系數的關系容易求出代數式的值。

解：∵a2-■a=1，b2-■b=1，且a≠b

將a、b看做方程x2-■x-1=0的兩根。

a+b=■，ab=-1.

∴■+■=■=■=-5

從以上實例可見，求代數式的值，方法多種多樣，既有靈活性，又有技巧性，同時還涉及很多知識點，只要能抓住題目特點，認真分析，找到求值關鍵，就能較快地求出代數式的值。

？誗編輯 馬燕萍