倡導(dǎo)數(shù)學(xué)探究 激活數(shù)學(xué)交流

在數(shù)學(xué)習(xí)題課中，注重對問題的變式拓展，有目的地進行辨析教學(xué)既是我們教師教學(xué)的一個優(yōu)良傳統(tǒng)，也是新課程背景下引發(fā)學(xué)生自主探究、合作交流的重要途徑；適時進行一些“貌合神離”題的辨析，觸類旁通，幫助學(xué)生在解題實踐中學(xué)會積累解題模式，對于提高學(xué)生的認(rèn)知層次、強化探索能力、發(fā)展思維品質(zhì)，以及摒棄題海戰(zhàn)術(shù)，將是十分有效的。本文是筆者上的一堂導(dǎo)數(shù)習(xí)題課的課堂實錄（教研組內(nèi)研討課），課內(nèi)課后都有很多感悟，愿與同行交流.

一、問題情境

已知函數(shù)f（x）=2x2-3ax2，g（x）=3x2-6ax，又函數(shù)f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，而在（1，+∞）單調(diào)遞增.

（1）求a的值；

（2）求M的最小值，使對？坌x1、x2∈[-2，2]，有？誆f（x1）-g（x2）？誆≤M成立.

這是高二理科班的學(xué)生在學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)內(nèi)容后復(fù)習(xí)過程中遇到的一道作業(yè)題，它考查了導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和極值的關(guān)系、運用導(dǎo)數(shù)求最值以及不等式恒成立等常見知識點.

二、教學(xué)過程摘錄

1.將錯就錯，引導(dǎo)拓展

上課后，利用實物投影展臺，我先展示第（1）問簡潔的解答，接著就展示第（2）問學(xué)生1出錯的解答.

[展示1] 解：（2）令F（x）=f（x）-g（x），則F（x）=2x3-6x2+6x

∴F ′（x）=6x2-12x+6由F ′（x）=0得x=1，由單調(diào)性可知？誆F（x）？誆max=52，即？誆f（x1）-g（x2）？誆max=52，∴M≥？誆f（x1）-g（x2）？誆max=52，即Mmin=52.

等學(xué)生議論片刻后，我習(xí)慣性地問道：該解答過程有問題嗎？不少學(xué)生齊聲答道：有！

“那我們先看看正確的解法！”（邊展示邊概括思路）

[展示2] （過程略）

“通過兩者的比較，大家能發(fā)現(xiàn)同學(xué)1的錯因嗎？”

“老師，我知道錯在哪了.問題中的兩個函數(shù)值f（x1），g（x2）是兩個不相關(guān)聯(lián)的量，應(yīng)該先分別求范圍再找它們的差的最值；我的解答錯誤地以為它們的自變量相同，把f（x1），g（x2）當(dāng)成了兩個相關(guān)聯(lián)的量.”學(xué)生1自覺地自我分析道.

“很好！敢于自我批評，而且分析得很到位.”（此時學(xué)生們微笑著投以贊許的目光）我趁勢說道：解答中像這樣出錯的同學(xué)實際上還是有功勞的，大家不覺得他們的思路可以解決某一類問題嗎？

（學(xué)生思考片刻，有人恍然大悟）

2.同舟共濟，上下求索

“我認(rèn)為原問題這樣改一下就是另一類問題，求M的最小值，使對？坌x∈[-2，2]，有？誆f（x）-g（x）？誆≤M成立.”（學(xué)生2搶先發(fā)言，我將他的表述板書在黑板上，學(xué)生一致認(rèn)同.）

變式1：求M的最小值，使對？坌x∈[-2，2]，有？誆f（x）-g（x）？誆≤M成立.

“很好！但這只是我們得到的第一件‘副產(chǎn)品；只要同學(xué)們敢于加工創(chuàng)造，將會陸續(xù)有新的‘產(chǎn)品出現(xiàn).要不——再試試？（微笑著鼓勵他們）”

（我示意學(xué)生討論，氣氛一下子又活躍起來.兩分鐘后，不少學(xué)生似乎加工好了自己的“產(chǎn)品”，我示意大家自由發(fā)言.）

“條件這樣改一下又是一個題目：求M的最小值，使對？坌x1、x2∈[-2，2]，有？誆f（x1）-f（x2）？誆≤M成立.”學(xué)生3首先發(fā)言.

“那題目中還有一個函數(shù)g（x）不是沒用上嘛.”

“為什么一定要有g(shù)（x）？題目中沒有這個函數(shù)的話這樣改編應(yīng)該沒有問題.”

“當(dāng)然也可以是：對？坌x1、x2∈[-2，2]，有？誆g（x1）-g（x2）？誆≤M成立.”

……

接下來，師生進行了熱烈的討論，從恒成立問題到存在性問題，后來突破了原有的題設(shè)結(jié)構(gòu)并經(jīng)歷了嘗試、修改，得到如下新題：（變式2、變式3的條件見原題目）

變式2：求M的最小值，使對？坌x1、x2∈[-2，2]，有？誆f（x1）-f（x2）？誆≤M成立.

變式3：若存在x1、x2∈[-2，2]，使得？誆f（x1）-g（x2）？誆≤M成立，求M的最小值.

變式4：已知函數(shù)f（x）=2x3-3ax2，g（x）=3x2-6ax，若？坌x∈（-∞，1]，都有f（x）≤g（x）成立，求實數(shù)a的取值范圍.

變式5：已知函數(shù)f（x）=2x3-3x2，g（x）=3x2-6ax，若存在x1∈[-2，2]，使得對任意的x2∈[-1，1]，有f（x1）=g（x2），求實數(shù)a的取值

范圍.

三、教學(xué)感想

常規(guī)的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課總是以專題為主，追求題型的覆蓋率、線索的清晰度和方法的代表性.因此，老師就讓學(xué)生大量作題，來總結(jié)出一類解題的方法，形成一套解題寶典，以便學(xué)生使用。

這堂課不同于常規(guī)的習(xí)題課，學(xué)生在課前并未預(yù)知教學(xué)內(nèi)容，師生共同完成由一道很平常的習(xí)題導(dǎo)出一組看似平淡卻蘊涵豐富思想、方法的好題.本節(jié)課在分析學(xué)生的起始能力和認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，以學(xué)生的錯誤作為教學(xué)的切入點，運用認(rèn)知上的矛盾沖突，引導(dǎo)學(xué)生不斷地反思，激發(fā)學(xué)生的探索欲，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)交流中收獲成功.

1.生成性問題學(xué)生喜聞樂見

離開了預(yù)設(shè)，生成就是無源之水，顯得突兀；而沒有生成，課堂便是一潭平靜的湖水，激不起美麗的浪花。從這個意義上講，預(yù)設(shè)成為新生命。有了新的生命的存在，課堂才有了活力和精彩.

本節(jié)課教師一直以學(xué)習(xí)伙伴的身份參與學(xué)生的學(xué)習(xí)進程，時而給予學(xué)生必要的引導(dǎo)和幫助，時而幫助學(xué)生總結(jié)、提煉。課堂上筆者欣喜地發(fā)現(xiàn)學(xué)生能夠自編自導(dǎo)，并且對生成性問題報以極大的熱情，特別是從變式2開始，不論自己有沒有得到更好的變式，都能積極地探索.

2.數(shù)學(xué)探究要以解題反思為基礎(chǔ)

孔子云：學(xué)而不思則罔.荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：“反思是重要的思維活動，它是思維活動的核心和動力.”筆者認(rèn)為，學(xué)生要通過實踐活動來提高他們的思維能力，來獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗。如果老師不能及時引導(dǎo)學(xué)生反思，尤其是對錯誤的反思，那么就很容易成為“水過地皮濕”的表面現(xiàn)象.在此基礎(chǔ)上進行的數(shù)學(xué)探究可以使學(xué)生的知識技能得到鞏固，思維品質(zhì)和思維能力得到優(yōu)化和發(fā)展.

3.數(shù)學(xué)交流在數(shù)學(xué)探究中激活

學(xué)生經(jīng)歷了“錯誤—反思—探究—拓展”這樣一個數(shù)學(xué)活動，智慧的火花在思維的碰撞中閃光.這就需要老師來創(chuàng)造和諧的氛圍和愉悅的心情，讓學(xué)生充分發(fā)揮他們的創(chuàng)造性和主動性，讓他們隨時與老師溝通，有什么疑點要及時與老師溝通解決，有什么想法也要提出來，這樣的溝通交流才可以有效地提高學(xué)習(xí)的效率，才能讓數(shù)學(xué)更上一階.

本節(jié)課如果沒有對錯解和對錯題的反思，并且在此基礎(chǔ)上進行的探究、拓展，課堂上的數(shù)學(xué)交流只能流于知識形態(tài)的交流.而感情形態(tài)的交流和自我交流也是數(shù)學(xué)交流的基本形式.贊可夫說：“教學(xué)方法一旦觸及學(xué)生的情緒和意志領(lǐng)域，觸及學(xué)生的心理需要，這種教學(xué)會變得高度有效.”學(xué)生是否愿意學(xué)，情感的激發(fā)是一個不容忽視的重要方面.因此，筆者認(rèn)為教師選擇適當(dāng)?shù)牧?xí)題教學(xué)讓學(xué)生在數(shù)學(xué)探究中激活數(shù)學(xué)交流，有助于增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和信心，有助于提高和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，有助于促進情感教育和學(xué)生的社會化.

參考文獻：

[1]李偉.課堂數(shù)學(xué)交流綜述.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考[J]，2005（08）.

[2]游明波，郭紅霞.糾錯教學(xué)貴在引導(dǎo)學(xué)生反思.數(shù)學(xué)教學(xué)研究[J]，2008（08）.

？誗編輯 薄躍華