建構主義下數學實驗課的教學設計與實施策略

岑冠軍， 蔡賢資

(華南農業大學 理學院，廣東 廣州 510642)

0 引 言

近年來，國內許多學者提倡將數學實驗的思維和方法融入到高等數學課的教學中[1-2]，數學實驗作為一門新實踐課程被國內眾多高等學府引入到大學課程體系中。許多學者從不同的角度提出了大學數學實驗課的多種教學模式[3-6]，但是對這些教學模式如何在課堂中具體實施卻缺乏研究。在實際教學中，數學實驗課學時短，教學班人數多[7-8]，課堂教學該如何開展、組織、管理和監控？教師如何看待自己的角色？一些數學實驗課涉及到案例的專業背景知識、數學理論和計算機編程知識，教師如何引領學生在這些知識間穿梭并完成實驗任務？這些都是數學實驗課教師面臨的切實問題。數學實驗課涉及到多學科的交叉，其課堂教學與傳統課堂教學存在明顯的差異[9]，需要現代教育理論的指導。本文從建構主義學習理論出發，并結合筆者的教學實踐，以綜合性數學實驗為例，探究大學數學實驗課的課堂教學設計及實施策略，為廣大數學實驗課教師改進課堂教學提供有益借鑒，以期提高數學實驗課的教學水平。

1 建構主義學習理論下數學實驗課的教學設計

建構主義學習理論認為知識不是通過傳授得到，而是學習者在一定的情境即社會文化背景下，借助他人(包括教師和學習伙伴)的幫助，利用必要的學習資料，通過意義建構而獲得的[10]。著名的數學教育家波利亞曾指出：“數學有兩個側面，一方面，它是歐幾里得式的嚴謹科學，從這個方面看，數學像是一門系統的演繹科學；另一方面，創造過程中的數學，看起來卻像一門實驗性的歸納科學”，數學既是一門演繹科學，也是一門實驗性的科學。數學理論的發現創造來源于人類的實踐活動，數學實驗課就是讓學習者進行數學實踐活動的課程，學習者從活動的過程中獲取解決問題的有效途徑與方法，理解并掌握知識間的內在聯系與規律，并獲取積極的情感體驗，數學實驗應該在建構主義環境下進行[11]。數學實驗教學的本質是將實際數學活動引入到教學過程中，是對實際數學活動的模擬與再現[12]。因此，建構主義理論下數學實驗課教學設計的核心就是為學生創設數學實踐活動的情景，讓學生在教師創設的數學實踐活動情景中進行實驗探索、模型驗證和結果解釋，最終給出實際問題的答案。學生是數學實踐活動的主體，教師是其協助者，學生在此實踐活動中建構自己應用數學的技能和經驗，教師要做的就是讓學生充分參與到這一實踐活動中并保證活動的順利進行。

下面以“健康豬肌注給藥的一室模型”為教學案例來談建構主義下大學數學實驗課教學的具體設計，該教學案例來源于由張國權等主編的《數學實驗》第四章綜合實驗四[13]。該教學案例具有典型的農科專業特色，其科研實踐背景來源于文獻“沙拉沙星在豬體內的藥動力學研究”[14]。案例的具體內容是探究藥物沙拉沙星(Sarafloxacin, 商品名Saraflox)通過肌肉注射到健康豬體內后，該藥物在豬體內的吸收與擴散規律。對于本教學案例，其數學實踐活動就是用數學語言描述藥物在豬體內的吸收和擴散過程，通過數學實驗探索藥物在豬體內的吸收擴散規律。

建構主義學習理論強調學習的情景性、主動性和社會性，為了給學生創設體驗情景，同時營造教師引導、同學間相互交流的自主性學習氛圍，筆者將本實驗課教學劃分為7個環節，如圖1，將學生6到7人編為一組，每一組選取一名學生做組長，每個組成員分配一項主要負責任務，如數學建模、模型求解、程序編寫、模型解釋等等，其他組成員協助。

圖1 建構主義下數學實驗課的教學環節設計

(1) 環節1讓學生進入現實世界問題的情景中。筆者給適當地時間讓學生閱讀并思考該實際問題，各個小組討論。筆者從兩個方面來引導學生：第一，提示學生找出實際問題中的關鍵詞；第二，提示學生可以將自己理解的藥物吸收擴散過程用圖形來表示。筆者在實踐中，詢問學生找到的關鍵詞，展示他們所畫的吸收擴散過程的圖形，將他們找到的關鍵詞寫在黑板上，如均勻、吸收、分布、擴散和血藥濃度等等，選取其中一組理解較為正確的圖形繪在黑板上(見圖2)。

圖2 藥物的吸收擴散過程

(2) 環節2做出假設，讓學生進入真實問題的抽象簡化情景中。假設是將現實世界問題轉化為數學問題的橋梁，在課堂上，多數教師會直接給出假設，忽略了學生這方面能力的培養。在教學中教師應該引導學生根據實際問題做出合理的假設，讓學生參與到做假設的過程中，使學生的思維從現實世界逐漸過渡到數學世界中。在本環節，筆者對學生做以下三個方面的引導：①提示學生做假設的目的是為了簡化實際的問題，藥物在豬體內的吸收擴散是一個極其復雜的生理化學過程，提醒學生我們只是從數量方面來研究這一過程，如何假設能簡化這一過程；②既然我們是從數量方面研究藥物的吸收擴散過程，提示學生找出這一過程所涉及的變量或者常量；③明確了吸收擴散過程以及該過程涉及到變量之后，引導學生考慮變量之間的關系，對一些變量之間的關系也要做出假設。

在本環節的教學實踐中，有的學生提議將豬視為一只箱子，只要關注藥物的流進流出，而不管箱子里面發生了什么變化，盡管“箱子”與畜牧獸醫學中的術語“房室”相差甚遠，但這是一個積極的信號，筆者順勢將圖2中的豬用箱子來代替，見圖3。根據圖3，學生們很快找到一些變量，如時間t、初始的血藥濃度C0，箱子A的血藥濃度Ca(t)、箱子B的血藥濃度C(t)、箱子A血藥濃度的變化速率Va(t)、箱子B血藥濃度的變化速率V(t)，藥物的吸收速率Vs(t)和藥物的擴散速率Vd(t)，并發現藥物的吸收速率和擴散速率分別與箱子A和箱子B的血藥濃度存在一定的關系，需要進一步假設，一些學生提議將這些關系假設成正比關系，可能源于在理論課中正比關系是他們接觸最多的一類假設關系。

圖3 簡化的藥物吸收擴散過程

(3) 環節3是建立數學模型，在環節2，學生做出了假設，并找到了相關的變量，筆者將這些變量標注在圖3相應位置上，得到圖4。筆者從兩個方面來引導學生：第一，提示學生選擇一種數學理論來描述圖4所示的吸收擴散過程；第二，建立數學模型就是要挖掘圖4所示的各變量之間的關系，嘗試寫出這些關系的數學表達式。

圖4 量化的藥物吸收擴散過程

筆者在實踐中看到學生們會寫出很多關系式，如：

Va(t)=-Vs(t),V(t)=Vs(t)-Vd(t)

Vs(t)=kaCa(t)，Vd(t)=kC(t)

這說明學生正在建構現實世界問題的數量關系。

(4) 環節4開始引入數學實驗，讓學生進入到真實問題的數學實驗探索情景中。具體設計如下：第一，讓學生解微分方程組，獲得吸收過程和擴散過程中藥物隨時間變化的函數后，讓學生試述其規律；第二，讓學生運用計算機及數學軟件Matlab來解上述微分方程組；第三，教師在黑板上給出模型中參數的值，讓學生用數學軟件Matlab模擬計算在不同的時刻，吸收過程和擴散過程藥物濃度的值。

(5) 環節5解釋，在獲得了模型的解之后，讓學生闡述藥物在豬體內的吸收擴散究竟是怎樣的規律。本環節具體實施如下：第一，運用插值法，讓學生用Matlab畫出豬體內藥物隨時間變化的曲線；第二，讓學生分組討論曲線所反映的規律，并用文字來描述。

(6) 環節6模型驗證，筆者給出血藥數據隨時間變化的真實觀察數據。并做兩個方面的引導：第一，通過數學實驗，直觀判斷他們所建立的模型與真實數據是否吻合，也就是觀察真實數據連線圖的形狀與他們所建立模型的曲線形狀是否一致。第二，通過量化指標來評價模型的擬合優度，筆者給出Matlab非線性擬合的命令nlinfit和RMSE的函數，讓學生通過計算模型擬合的RMSE來評價模型。

2 建構主義下的大學數學實驗教學實施策略

建構主義學習理論下的數學實驗課是要讓學生自己進行數學實踐活動，激發學生自主探索的精神，如何保證學生的數學實踐活動順利進行是課堂教學的焦點。筆者在實踐中總結了以下四點實施策略。

2.1 以數學實驗為中心，遵循數學建模的脈絡主線

當學生成為數學實踐的主體時，學生的自由發揮空間較大，容易讓課堂教學不可控，為了讓學生的數學實踐活動向前推進，筆者構建了以數學實驗為中心、數學建模為脈絡主線的數學實驗課堂教學過程(見圖1)。在具體實施時，各教學環節緊密圍繞數學實驗展開，目標明確內容清晰，從環節4～7均開展了數學實驗，在環節1～3中通過找關鍵詞、畫圖和找變量發現問題提出假設，這其實也是一種數學實驗；與此同時各環節又按照數學建模的步驟向前推進，環節1～7是一個完整的數學建模過程，包含了發現問題、提出假設、解決問題和結果解釋，保證了實驗課程的順利進行。

2.2 適度地引導和干預，讓學生在探究中突破難點

數學實驗尤其是綜合性數學實驗往往是面向非數學專業類學生開設的課程，大部分學生沒有上過數學建模課，因此在上數學實驗課時，學生普遍感覺比較困難。如果學生在一些環節遇到障礙不能及時排除，學生的數學實踐活動將不能進行下去。筆者在具體實施時，將學生分成若干小組，跟蹤各實驗環節在各小組的進展情況，以提示的方式，巧妙地適度地進行引導和干預，并配合提問，幫助學生解決各實驗環節中的難點，讓學生的數學實踐活動的順利進行。在環節1中筆者提示學生找出實驗案例中的關鍵詞，以便學生抓住實際問題的本質。在環節2中讓學生畫出藥物的吸收擴散過程圖和找出變量，引導學生做假設。在環節3中讓學生寫出環節2中他們找出的變量之間關系表達式，幫助學生建立模型。環節4、5和6筆者引導學生解方程組、繪制模擬曲線和真實數據連線圖，最終進行非線性擬合，一步一步幫助學生解釋模型和評估模型。學生遇到問題時也可在小組內討論找出解決辦法，這樣學生就像“研究者”一樣，自己發現和探索問題，通過自己的活動，參與建構數學的過程中，提高了學生的參與、探究、創造能力，順應了當代高等教育的發展趨勢[15]。

2.3 避免讓學生陷入專業術語和計算推理細節的困境中，專注于實際問題的解答

數學實驗尤其綜合性數學實驗的案例往往具有很強的專業背景，一些案例涉及到的專業術語較多，學生難以理解產生畏難情緒，使得后續數學實踐活動進行受阻。本案例就涉及到畜牧獸醫學的背景知識，比如藥物動力學、房室、吸收室、分布室、吸收速率常數、消除速率常數等諸多術語。筆者在具體實施時，將其中的一些術語轉換成學生容易理解和接受的語言，比如在環節2，筆者采用學生提出的“箱子”來代替畜牧獸醫學中的術語“房室”，藥物從箱子A流入箱子B是藥物的吸收，藥物從箱子B流出是藥物的擴散。采用學生提出的將藥物的吸收速率與箱子A的血藥濃度假設成正比關系，將藥物的擴散速率與箱子B的血藥濃度假設成正比關系，避免了引入吸收速率常數、消除速率常數等概念。課堂焦點始終放在數學建模和數學實驗上。

在實際教學中，當模型建立后，一些教師習慣于在黑板上進行大幅演繹推理模型求解，講解非線性擬合的計算細節，筆者認為，數學實驗課不同于數學理論課，重在數學應用能力和動手能力的培養，讓學生學會運用數學軟件解數學問題，是數學實驗課的目的之一，尤其是對于非數學專業的學生，數學軟件就是讓他們從繁瑣的計算推理細節中解放出來，更加專注于實際問題的解答。

2.4 分組進行數學實踐活動，便于課堂教學的組織和管理

建構主義下數學實驗課是教學是讓學生自主進行數學實踐活動，自主探索過程中學生會遇到許多問題需要教師的幫助，教師會忙于回答個別學生的提問，很難對整個課堂教學進行有效的組織和管理，甚至一些學生游離于課程氛圍之外，極大地降低了數學實驗課的教學效果。同時建構主義鼓勵學習者在與他人的交流協作中完成學習任務，因此上數學實驗課時，教師要注意營造交流協作的課堂氛圍。對學生進行編組，一方面教師通過監控各個教學環節在各小組的進行情況，可以實時了解學生實驗任務的完成進度，對各小組的實驗活動進行區別指導和干預；另一方面每個學生都處在一個團隊中，形成了良好的交流協作的學習環境，學生在團隊里被賦予任務和角色，其主觀能動性被極大地調動，提高了學生參與數學實踐活動的效率。

3 實驗教學效果反饋

筆者在實驗課后對學生進行了問卷調查，本次實驗課2個班共65人，調查項目及結果整理成表1。

調查結果表明，在環節1大部分同學能找出實驗案例中的關鍵詞，畫出自己理解的藥物吸收擴散流程圖，這說明通過教師的引導大部分同學進入到實際問題的情景中；在環節2多數同學能將復雜的實際問題簡化，找出實際問題中隱藏的變量，做出自己的假設，發揮了自己的抽象思維；在環節3絕大部分同學能找出一個或一組變量關系表達式，多數同學建立了自己的藥物吸收擴散模型，這說明大部分同學能將實際問題轉化或者部分轉化成數學問題；在環節4和環節5絕大部分同學能用Matlab解微分方程組并用Matlab繪制了豬體內藥物濃度隨時間變化的曲線，這說明大部分同學自主進行了藥物吸收擴散規律的實驗探索；在環節6多數同學完成了模型的模擬和評估，完成了數學實驗任務。調查結果表明絕大部分同學在本次實驗課中充分參與到實驗的各個環節中，通過本次實驗基本掌握了應用數學理論和軟件解決實際問題的過程，實驗課教學效果良好。

表1 實驗教學效果反饋調查表

4 結 語

在建構主義理論指導下，筆者探討了數學實驗課的教學設計和實施策略，為數學實驗課的教學創新做了有益的嘗試，實踐表明教學效果良好。建構主義下的數學實驗課圍繞著學生的數學實踐活動展開，讓學生親歷并主導運用數學知識解決實際問題的全過程，同時在自主探索中讓學生的抽象和邏輯思維能力得到充分鍛煉，在團隊協作中加強了學生的合作交流意識，從而改善了實驗課教學效果，提高了實驗課教學水平，這符合當代高等教育的發展方向。

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