季節(jié)性SARIMA模型在實(shí)驗(yàn)室開放管理中的應(yīng)用

王法玉, 王靜超

(天津理工大學(xué) 計算機(jī)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心; 智能計算及軟件新技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 天津 300384)

0 引 言

高校實(shí)驗(yàn)室是高校從事實(shí)驗(yàn)教學(xué)、進(jìn)行人才培養(yǎng)的重要場所[1]。為了進(jìn)一步培養(yǎng)大學(xué)生的創(chuàng)新和實(shí)踐能力，近年來，各高校紛紛建立了創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)室，為學(xué)生提供課外第二課堂創(chuàng)新實(shí)踐平臺[2]。工程類實(shí)驗(yàn)教學(xué)不僅是教學(xué)的重要的組成部分，多樣性的實(shí)驗(yàn)教學(xué)和開放性實(shí)驗(yàn)室也是教育改革的一項基本任務(wù)[3-5]。目前大多數(shù)學(xué)校都在實(shí)施實(shí)驗(yàn)室開放，對實(shí)驗(yàn)室管理也做了很多研究，并開發(fā)了一些實(shí)驗(yàn)室開放管理系統(tǒng)，但是多數(shù)管理系統(tǒng)都是只注重便捷，而對資源的利用率的研究比較少。

為了給學(xué)生提供一個開放自由的學(xué)習(xí)環(huán)境和足夠的學(xué)習(xí)資源，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新實(shí)踐能力，我院自2000年以來實(shí)施了實(shí)驗(yàn)室開放政策，得到了廣大學(xué)生的歡迎，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情更加濃厚。但在實(shí)驗(yàn)室管理上，實(shí)驗(yàn)室上機(jī)人數(shù)的隨機(jī)性和值班人員如何安排，卻難以權(quán)衡，為了充分滿足學(xué)生的需求，值班人員配備和開放實(shí)驗(yàn)室數(shù)量總是大于實(shí)際需求，造成值班人員安排和實(shí)驗(yàn)房間開放的數(shù)量難以確定，造成人力、物力和財力的浪費(fèi)。為了更加有效利用和挖掘?qū)嶒?yàn)室資源，提高實(shí)驗(yàn)室和實(shí)驗(yàn)設(shè)備的利用率[6]。通過對幾年來的實(shí)驗(yàn)室上機(jī)人數(shù)研究，發(fā)現(xiàn)實(shí)際的上機(jī)人數(shù)具有長期相關(guān)性， 也稱自相似性， 即統(tǒng)計意義下的自相似性，具有成長性[7]。因此，本文利用時間序列分析法對實(shí)驗(yàn)室日常上機(jī)人數(shù)進(jìn)行分析、研究和建模，進(jìn)而對上機(jī)人數(shù)進(jìn)行預(yù)測，旨在通過合理安排值班人員和開放實(shí)驗(yàn)室數(shù)量，達(dá)到節(jié)約資源的目的。

1 理論基礎(chǔ)

時間序列分析是處理動態(tài)數(shù)據(jù)的一種比較有效的時域分析方法，通過觀察動態(tài)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，并對未來數(shù)據(jù)做出預(yù)測。在許多實(shí)際問題中，所觀測到的數(shù)據(jù)序列{xt}常不是平穩(wěn)序列，但如果將其做有限次差分處理后，可轉(zhuǎn)化差分序列{Sn}，是平穩(wěn)序列，那么可用平穩(wěn)信號序列模型來做研究[8]。

1.1 ARIMA模型

自回歸移動平均(Auto-Regressive Integrated Moving Average，ARIMA)模型是由美國統(tǒng)計學(xué)家Box 和Jenkins 共同提出的，又叫B-J 模型[9]。該模型擬合的是差分平穩(wěn)序列，實(shí)際上就是差分運(yùn)算和ARMA 模型的結(jié)合。其基本建模思想和建模步驟可總結(jié)為：① 通過差分使非平穩(wěn)過程變成平穩(wěn)過程；② 建立描述該平穩(wěn)過程的合適模型；③ 使用構(gòu)建好的模型，預(yù)測將來值。ARIMA 模型是時間序列分析中重要的模型之一，目前廣泛應(yīng)用于各種領(lǐng)域[10-12]。

假設(shè){xt/t=0,1，…}為非平穩(wěn)隨機(jī)序列，則ARIMA的一般形式為：

(1)

其中：

Φ(B)=1-φ1B-φ2B2-…-φpBp

Θ(B)=1-θ1B-θ2B2-…-φqBq

1.2 季節(jié)性SARIMA模型

季節(jié)性SARIMA 建模是在ARIMA 模型基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，用于具有周期性變化的序列的建模。在周期內(nèi)，它提取當(dāng)前時刻數(shù)據(jù)與前期數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)特征；在周期間，它提取當(dāng)前時刻數(shù)據(jù)與前幾個周期相同時刻的數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)特征[13]。將周期內(nèi)特征和周期間特征結(jié)合起來，更加全面地描述序列的變化規(guī)律，得到的模型，對于序列變化情況的刻畫也更加準(zhǔn)確。因此，使用季節(jié)ARIMA 模型對季節(jié)性數(shù)據(jù)進(jìn)行研究也是目前時序分析的熱點(diǎn)[14-16]。

(2)

Θ(Bs)=1-Θ1Bs-Θ2B2s-…-ΘpBps

Φ(Bs)=1-Φ1Bs-Φ2B2s-…-ΦqBqs

式(2)的模型中季節(jié)差分僅僅消除了周期間相同周期點(diǎn)之間具有的相關(guān)部分，時間序列還可能存在長期趨勢，一個周期內(nèi)的不同周期點(diǎn)之間也具有一定的相關(guān)性，因此，由式(1)、(2)可得季節(jié)性ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型為：

1.3 ADF檢驗(yàn)

ADF(Augmented Dickey-Fuller)檢驗(yàn)是增項DF檢驗(yàn)，ADF檢驗(yàn)不僅可以檢驗(yàn)AR(1)的平穩(wěn)性，而且可以檢驗(yàn)AR(P)過程的平穩(wěn)性。

對于任意AR(P)過程，

Xt=φ1Xt-1+…+φpXt-p+εt

(3)

如果方程所有特征根都在單位圓內(nèi)，則序列平穩(wěn)；如果有一個特征根存在且為1，則序列為非平穩(wěn)序列。

對式(3)進(jìn)行變形簡化后得：

H0∶ρ=o?H1∶ρ

構(gòu)造ADF檢驗(yàn)統(tǒng)計量：

通過Monte Carlo方法，可以得到ADF檢驗(yàn)統(tǒng)計量的臨界值表。

1.4 SARIMA模型建模步驟

本文在季節(jié)性SARIMA模型構(gòu)建過程中主要分為以下幾步：

(1) 平穩(wěn)性檢驗(yàn)。檢驗(yàn)時間序列的平穩(wěn)性，即確定d、D的大小，最直觀的識別方法是自相關(guān)圖法。如果自相關(guān)系數(shù)迅速趨于零，即自相關(guān)系數(shù)具有截尾性，則時間序列為平穩(wěn)時間序列；如果時間序列存在一定的趨勢性，則需要對原序列進(jìn)行差分處理；如果時間序列存在異方差性，則需先對數(shù)據(jù)進(jìn)行對數(shù)轉(zhuǎn)換。

(2) 模型識別。模型識別即確定相應(yīng)季節(jié)ARIMA模型的階數(shù)p、q、P、Q的取值。一般情況下，可通過觀察相關(guān)圖估計模型階數(shù)p、q、P、Q的可能取值，然后通過AIC、SC準(zhǔn)則等，確定最合適的模型階數(shù)，AIC值和SC值都是越小越好。

(3) 用最小二乘法進(jìn)行模型估計。最小二乘法估計是線性模型中最常用的估計方法，具有良好的統(tǒng)計性質(zhì)，且計算簡便。

(4) 白噪聲檢驗(yàn)。對殘差進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)，由定義可知白噪聲序列的任意兩個時序值之間都是完全不相關(guān)的。但在實(shí)際中，完全的不相關(guān)是不可能的。由于序列的長度都是有限的，故自相關(guān)系數(shù)不可能都是零。可以認(rèn)為自相關(guān)系數(shù)總是在零附近上下浮動，且浮動的范圍有非常界限的序列為白噪聲序列。為了定量準(zhǔn)確的判斷是否純隨機(jī)，Bartlett給出了統(tǒng)計的方法驗(yàn)證序列的白噪聲性，此時是將自相關(guān)系數(shù)放在一起進(jìn)行整體檢驗(yàn)。Bartlett提出如果一個時間序列是白噪聲序列，則提取一個觀察個數(shù)為n的序列，那么該序列的延遲非零期的樣本自相關(guān)系數(shù)將近似服從均值等于零，方差近似為觀察序列個數(shù)倒數(shù)的正態(tài)分布。

(5) 預(yù)測。本文用Eviews6.0實(shí)現(xiàn)整個建模過程，Eviews軟件是美國QMS公司推出的計量經(jīng)濟(jì)學(xué)軟件，在對時間序列的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，建立序列間的統(tǒng)計關(guān)系式，并用該關(guān)系式進(jìn)行預(yù)測、模擬等。

2 實(shí)例應(yīng)用

2.1 平穩(wěn)性檢驗(yàn)

圖1為2011年1月～2012年11月我院實(shí)驗(yàn)室日常上機(jī)人數(shù)時序圖，該時序圖以天為單位，實(shí)驗(yàn)環(huán)境是Eviews6.0。由圖1可以看出日常上機(jī)人數(shù)隨機(jī)性很大， 觀測值序列呈現(xiàn)周期性[16]，可初步斷定該序列為非平穩(wěn)序列。

圖1 日常上機(jī)人數(shù)時序圖

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)序列的平穩(wěn)性， 本文對原序列進(jìn)行ADF檢驗(yàn)，即如果方程所有特征根都在單位圓內(nèi)，則序列平穩(wěn)，如果有一個特征根存在且為1，則序列為非平穩(wěn)序列。ADF檢驗(yàn)結(jié)果如表1所示。

由表1的結(jié)果可以看出，在10%的顯著性水平下可以接受原假設(shè)，即原序列有一個單位根，故可以斷定原序列具有非平穩(wěn)性。

表1 ADF檢驗(yàn)結(jié)果

2.2 周期性確定

從圖1中可以看出，在每年的5月份和11月份都會有一段連續(xù)的峰值出現(xiàn)，表明此段時間內(nèi)實(shí)驗(yàn)室上機(jī)人數(shù)較多。而8、2月份基本為零，因?yàn)檫@2個月為放假時間。可初步斷定周期為6個月，有相關(guān)圖可得周期為182天。

2.3 平穩(wěn)化處理

在一般情況下，周期性序列的季節(jié)性差分次數(shù)不會超過1[9]。因此，我們首先進(jìn)行一階差分消除趨勢特征，再進(jìn)行182步周期差分消除周期信息，并對差分后的序列進(jìn)行ADF檢驗(yàn)，結(jié)果如表2。

表2 差分序列ADF檢驗(yàn)結(jié)果

由表2中的P值可以判斷出，在10%的顯著性水平下拒絕原假設(shè)，即序列對象不存在單位根。因而上機(jī)人數(shù)是1階單整，故SARIMA模型的d=1。

2.4 模型定階

通過差分后序列AC和PAC，判斷SARIMA模型的階數(shù)p、q、P、Q。由表3可以看出，AC 為一階截尾，可令q=1。另外，在t=182處，PAC顯著不為0，因此，可令P=1。同樣觀察偏相關(guān)系數(shù)，可以看出，p在8階截尾，可得p=8。在t=182處，AC顯著為0，因此，可令Q=0。

2.5 模型的建立與預(yù)測

在EVIEWS 6.0中，對模型進(jìn)行最小二乘法參數(shù)估計并利用模型對差分后的序列進(jìn)行擬合，經(jīng)過多次嘗試、篩選和剔除所有不顯著系數(shù)，最終確定結(jié)果見表4。

白噪聲檢驗(yàn)結(jié)果如表5所示。由表可知，AC與PAC顯著趨于0，因而殘差序列不存在自相關(guān)，是白噪聲序列，故構(gòu)建的模型是理想的，可用于預(yù)測。

表3 差分后序列相關(guān)圖

表4 最小二乘法參數(shù)估計結(jié)果

表5 殘差相關(guān)圖

最終可得模型為ARIMA(8,1,1)(1,1,0)，表4為相應(yīng)參數(shù)的估計值。故模型方程為：

(1-0.313B-0.268B2-0.151B7)(1+

0.536B182)xt=(1-1.03B)εt

利用模型對2012年12月1日～15日進(jìn)行預(yù)測。

由表6可以看出，預(yù)測結(jié)果比較接近實(shí)際情況。自2012年開始對模型進(jìn)行研究，并應(yīng)用于我院實(shí)驗(yàn)室開放實(shí)際中，一年以來，實(shí)驗(yàn)室開放管理水平得到了很大提升。在毫不影響學(xué)生充分利用實(shí)驗(yàn)室設(shè)備的基礎(chǔ)上，為學(xué)院省下一部分財政支出，大大節(jié)約人、財、物的使用。減輕了工作人員的工作強(qiáng)度和工作時間。

3 結(jié) 語

ARIMA是一種計算簡便、計算精度較高、使用范圍很廣的時間序列預(yù)測模型。季節(jié)性SARIMA 模型在原有模型的基礎(chǔ)上擴(kuò)展了對周期性序列的應(yīng)用，使其范圍更加廣泛。本文利用季節(jié)性SARIMA模型，采用EVIEWS軟件對實(shí)驗(yàn)室日常上機(jī)人數(shù)進(jìn)行預(yù)測分析，是我院實(shí)驗(yàn)室開放管理的一部分，有效提高了實(shí)驗(yàn)室資源的利用率，方便學(xué)生學(xué)習(xí)，同時節(jié)省了資源，使我校的實(shí)驗(yàn)室管理水平又上了一個臺階。希望本研究對于其他學(xué)校實(shí)驗(yàn)室開放管理給予一個啟發(fā)和借鑒。

表6 實(shí)際上機(jī)人數(shù)和預(yù)測人數(shù)對照表

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