基于改進(jìn)的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)邊緣檢測(cè)算法研究

王東霞, 許偉昶

(濟(jì)源職業(yè)技術(shù)學(xué)院,河南 濟(jì)源 459000)

0 引 言

圖像邊緣一般是指圖像中像素灰度有階躍變化或屋頂狀變化的那些像素的集合，可以粗略地分為階躍邊緣和屋頂邊緣，它存在于目標(biāo)與背景、目標(biāo)與目標(biāo)、區(qū)域與區(qū)域、基元與基元之間[1]。邊緣檢測(cè)在圖像預(yù)處理中有非常大的作用，其在圖像處理及人臉識(shí)別等方面的應(yīng)用也是非常廣泛。目標(biāo)對(duì)象的輪廓可以被它清晰的描繪出來(lái)，所含概的信息量非常大，如階躍性質(zhì)、形狀等，使讀者清晰明了。在邊緣檢測(cè)算法研究中，提出了比較多的檢測(cè)算法，如: Sobel算子﹑Canny算子[2]和梯度算子等，但這些算法通常較難得到良好的檢測(cè)結(jié)果，往往存在較差的抗干擾能力以及對(duì)方向性過于敏感等不足之處。基于小波變換邊緣檢測(cè)方法[3-4]具有良好的局域化特性，它是檢測(cè)邊緣很好的工具，但是該方法邊緣信息難以保留完全。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)[5]是一種非線性的濾波方法，應(yīng)用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)可以簡(jiǎn)化圖像數(shù)據(jù)，保持他們基本的形狀特征。形態(tài)學(xué)在檢測(cè)圖像邊緣的連續(xù)性以及各個(gè)方向性方面都優(yōu)于其他的傳統(tǒng)方法[6-8]，由于單一的結(jié)構(gòu)元素只能檢測(cè)出與結(jié)構(gòu)元素同方向的邊緣信息，而對(duì)其它方向的邊緣并不敏感。不過，由于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)檢測(cè)算法忽略了邊緣的方向性，只針對(duì)圖像邊緣的強(qiáng)度信息進(jìn)行處理。這種處理方式具有一定的局限性，存在圖像檢測(cè)出的邊緣相對(duì)較寬以及分辨率低的不良現(xiàn)象。而且，使用單一的形態(tài)學(xué)梯度算法來(lái)對(duì)邊緣信息進(jìn)行提取，雖然可以抑制噪聲，但也會(huì)存在對(duì)部分形態(tài)學(xué)梯度幅值與噪聲相近或低于噪聲的低強(qiáng)度邊緣造成損壞。

針對(duì)上述傳統(tǒng)圖像邊緣檢測(cè)算法的不足，文中提出了一種基于改進(jìn)的數(shù)學(xué)形態(tài)邊緣檢測(cè)算法。實(shí)驗(yàn)仿真表明，該算法在檢測(cè)圖像邊緣信息的完整性方面具有良好的效果，同時(shí)，能確保圖像邊緣的平滑性。

1 傳統(tǒng)形態(tài)邊緣檢測(cè)算子

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是一門建立在嚴(yán)格數(shù)學(xué)集合論基礎(chǔ)上的學(xué)科，它的基本思想是用具有一定形態(tài)的結(jié)構(gòu)元素去度量和提取圖像中的對(duì)應(yīng)形狀以達(dá)到對(duì)圖像分析和識(shí)別的目的[11]。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在圖像數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)化方面具有優(yōu)勢(shì)，同時(shí)能夠確保圖像數(shù)據(jù)的形狀特征不改變，并將不相關(guān)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行清理。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)可以進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算，其主要的運(yùn)算規(guī)則有：膨脹、腐蝕、開啟以及閉合。

腐蝕運(yùn)算的主要作用是使物體沿著邊界逐漸減小的過程，膨脹則是合并的過程，它們之間的關(guān)系是互為對(duì)偶運(yùn)算。

數(shù)學(xué)運(yùn)算定義[9]如下：

(1) 腐蝕運(yùn)算：

FΘB(x,y)=min{F(x-s,y-t)-B(s,t)}

(1)

(2) 膨脹運(yùn)算：

F⊕B(x,y)=max{F(x-s,y-t)+B(s,t)}

(2)

式中：F(x,y)表示的是灰度圖像；B(s,t)表示的是結(jié)構(gòu)元素。

閉運(yùn)算主要用來(lái)對(duì)物體內(nèi)部細(xì)小空洞進(jìn)行填充，開運(yùn)算的功能則是用來(lái)將細(xì)小的物體刪除，并將邊緣某些不必要的內(nèi)容清除。相應(yīng)的，閉運(yùn)算和開運(yùn)算也是互為對(duì)偶的運(yùn)算。

數(shù)學(xué)公式定義如下：

(3) 開運(yùn)算：

F°B=(FΘB)⊕B

(3)

(4) 閉運(yùn)算：

F·B=(F⊕B)ΘB

(4)

式中：Θ用來(lái)描述的是腐蝕運(yùn)算；⊕用來(lái)描述的是膨脹運(yùn)算。形狀決定圖像中的對(duì)象及其特征。針對(duì)時(shí)域空間形狀的研究是數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的主要方向，因此，在圖像處理方面應(yīng)用形態(tài)學(xué)是非常適合的。膨脹運(yùn)算、腐蝕運(yùn)算、開啟運(yùn)算以及閉合運(yùn)算都是基于集合的運(yùn)算。其中，結(jié)構(gòu)元素用來(lái)調(diào)節(jié)圖像特征變換的幾何結(jié)構(gòu)，扮演著至關(guān)重要的角色。

在膨脹運(yùn)算、腐蝕運(yùn)算、開啟運(yùn)算以及閉合運(yùn)算的基礎(chǔ)上，能夠推演出灰度形態(tài)梯度邊緣檢測(cè)算子、灰度腐蝕邊緣檢測(cè)算子和灰度膨脹邊緣檢測(cè)算子三個(gè)常見算子。它們的數(shù)學(xué)定義如下：

灰度膨脹邊緣檢測(cè)算子

Cgd=(f⊕g)(x,y)-f(x,y)

(5)

灰度腐蝕邊緣檢測(cè)算子

Cge=f(x,y)-(fΘg)(x,y)

(6)

灰度形態(tài)梯度邊緣檢測(cè)算子

Cgsun=(f⊕g)(x,y)-(fΘg)(x,y)

(7)

通過分析，可以看出上面的三個(gè)算子都是屬于非線性差分算子，其本質(zhì)在某種程度上是對(duì)傳統(tǒng)線性差分算子的推廣應(yīng)用。式(5)用來(lái)描述形態(tài)膨脹，這種算子處理得到的圖像的邊緣比較模糊、產(chǎn)生的邊緣信號(hào)也比較弱。式(6)用來(lái)描述形態(tài)腐蝕，這種算子處理得到的圖像邊緣信號(hào)比較強(qiáng)，不過在噪聲方面有所增強(qiáng)。文獻(xiàn)(10)中修正了灰度形態(tài)學(xué)梯度邊緣檢測(cè)算子：

(8)

文獻(xiàn)中對(duì)邊緣檢測(cè)算子進(jìn)行數(shù)學(xué)定義：

E(x,y)=Ed(x,y)+0.5Edec(x,y)

(9)

通過上面的公式能夠清晰地反映出文獻(xiàn)(10)在檢測(cè)結(jié)果的模糊性方面具有一定的優(yōu)勢(shì)，能夠降低模糊性，是因?yàn)樵撍阕訉?duì)原圖像的一些邊緣細(xì)節(jié)信息進(jìn)行了迭加。因?yàn)楣庠凑丈涞仍颍瑘D像中具有更低的噪聲梯度幅值以及形態(tài)學(xué)梯度幅值。因此，在圖像處理中提取邊緣時(shí)，如果只應(yīng)用式(9)梯度閾值方法進(jìn)行則往往容易對(duì)這類邊緣造成損壞。

2 形態(tài)邊緣檢測(cè)算子的改進(jìn)

2.1 算子原理

針對(duì)傳統(tǒng)的形態(tài)邊緣檢測(cè)算子所存在的種種不足，文中提出了一種抗噪型檢測(cè)算子，是對(duì)傳統(tǒng)的檢測(cè)算子的改進(jìn)。

通過對(duì)形態(tài)學(xué)邊緣檢測(cè)算子的研究可以看出，如果出現(xiàn)噪聲點(diǎn)的尺度小于檢測(cè)算子的結(jié)構(gòu)元尺度的情況，則在去除圖像噪聲方面形態(tài)邊緣檢測(cè)算子可以顯現(xiàn)出明顯的效果。雖然這種大尺度的結(jié)構(gòu)元素具有很強(qiáng)的噪聲去除能力，便于對(duì)原圖像中對(duì)象的整體輪廓進(jìn)行定位，不過，也存在一定的不足，往往會(huì)將原圖像中某些細(xì)小的邊緣信息當(dāng)作噪聲去處理。而如果出現(xiàn)檢測(cè)算子的結(jié)構(gòu)元尺度小于噪聲點(diǎn)的尺度的情況，則存在對(duì)圖像中的噪聲難以消除的現(xiàn)象，雖然其在圖像細(xì)節(jié)保持方面具有很好的效果。

針對(duì)上述存在的不足問題，文獻(xiàn)中給出了多尺度多結(jié)構(gòu)元邊緣檢測(cè)算子來(lái)解決該問題。其數(shù)學(xué)定義：

(10)

式中：EN(x,y)用來(lái)描述多尺度圖像邊緣檢測(cè)結(jié)果；EM(x,y)用來(lái)描述多結(jié)構(gòu)元圖像邊緣檢測(cè)結(jié)果；ai用來(lái)描述加權(quán)系數(shù)。不過，因?yàn)橛?jì)算復(fù)雜度高等因素的影響，該算子一直難以在實(shí)際的研究中推廣應(yīng)用。

鑒于此，本文在該算子的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，即使用雙結(jié)構(gòu)不同尺度的兩個(gè)結(jié)構(gòu)元素來(lái)對(duì)圖像進(jìn)行交替順序形態(tài)開閉濾波，對(duì)噪聲采用平滑圖像的方式去除處理，對(duì)單一結(jié)構(gòu)元素處理所存在的問題進(jìn)行了根本性的解決。

改進(jìn)的雙結(jié)構(gòu)元素多尺度形態(tài)學(xué)邊緣檢測(cè)算子的數(shù)學(xué)定義：

E(F)=(F°B)⊕A-(F·B)ΘA

(11)

式中，A的用鉆石型5×5結(jié)構(gòu)元素來(lái)描述，而B用十字型3×3結(jié)構(gòu)元素來(lái)描述，它們都是基于不同尺度的結(jié)構(gòu)素。

式中：A為小尺度的結(jié)構(gòu)元素，它的優(yōu)點(diǎn)是能夠?qū)D像的邊緣信息很好的保持住，但它也存在不足之處，即對(duì)噪聲去除處理欠缺；而B為大尺度的結(jié)構(gòu)元素，它的優(yōu)點(diǎn)是對(duì)噪聲去除處理效果好，但也存在不足之處就是會(huì)將一些邊緣信息去除。因此，在文中提出的改進(jìn)算法中，充分的將A、B的優(yōu)點(diǎn)保存下來(lái)，而將其不足去除，這樣不但能有效地保持好邊緣信息，而且對(duì)噪聲的處理也非常有效果。

2.2 改進(jìn)的邊緣檢測(cè)算法的描述

上面對(duì)改進(jìn)的形態(tài)邊緣檢測(cè)算子的原理進(jìn)行了說(shuō)明。針對(duì)該改進(jìn)的算法的執(zhí)行流程用圖1描述。

圖1 算法流程圖

本文改進(jìn)的算法的執(zhí)行步驟如下：

Step1：先將圖像輸入，然后利用形態(tài)開閉平滑對(duì)圖像進(jìn)行處理，目的是將圖像中的噪聲進(jìn)行去除。

Step2：計(jì)算多尺度邊緣結(jié)果以及雙結(jié)構(gòu)元素邊緣。

Step3：在提取圖像的邊緣信息時(shí)采用不同方向的結(jié)構(gòu)元素。然后將各個(gè)方向的邊緣進(jìn)行加權(quán)求和處理，最終就可以計(jì)算出圖像的邊緣信息。利用公式(12) 求得加權(quán)和結(jié)果：

(12)

式中，ai用來(lái)描述加權(quán)系數(shù)。

Step4：二值化處理得到的邊緣信息，最后得到檢測(cè)的邊緣。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

在Matlab7.0實(shí)驗(yàn)環(huán)境下，根據(jù)上面所提出的方法，進(jìn)行圖像邊緣檢測(cè)試驗(yàn)，本文算法簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)。給出了兩個(gè)實(shí)驗(yàn)，① 將算法應(yīng)用在灰度圖像中，② 本文算法應(yīng)用在彩色圖像邊緣檢測(cè)中，其中兩幅圖像均為噪聲圖像。為了檢測(cè)算法的有效性，本文給出了幾種常見的邊緣檢測(cè)算法結(jié)果圖，見圖2及圖3。在本文仿真實(shí)驗(yàn)中，選用兩種結(jié)構(gòu)元素類型為十字型結(jié)構(gòu)3×3和鉆石型5×5結(jié)構(gòu)型。

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果不難看出，在初始邊緣檢測(cè)結(jié)果(邊緣圖像)中，原始圖像模糊的部分邊緣像素的連續(xù)性較差。在更大尺度上檢測(cè)到的邊緣是對(duì)初始檢測(cè)結(jié)果的有效補(bǔ)充。這種補(bǔ)充是建立在利用圖像信息基礎(chǔ)上的，并且因?yàn)槌叨容^大，在補(bǔ)充邊緣信息的同時(shí)，有效地抑制了噪聲的干擾。

(a) 噪聲圖像

(b) 小波方法

(c) 傳統(tǒng)形態(tài)學(xué)檢測(cè)

(d) 文獻(xiàn)10檢測(cè)

(e) 本文算法

(a) 噪聲圖像

(b) 小波方法

(c) 傳統(tǒng)形態(tài)學(xué)檢測(cè)

(d) 文獻(xiàn)10檢測(cè)

(e) 本文算法

4 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)傳統(tǒng)邊緣檢測(cè)算法存在的邊緣分辨率較低、低強(qiáng)度邊緣保護(hù)能力較差等問題，提出了基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)彩色圖像邊緣檢測(cè)改進(jìn)算法。該方法將利用數(shù)學(xué)形態(tài)四種運(yùn)算，膨脹、腐蝕、開、閉等變換以及它們的組合，并根據(jù)不同的結(jié)構(gòu)元素的尺度大小和結(jié)構(gòu)元類型，給出了一種改進(jìn)的形態(tài)學(xué)抗噪型邊緣檢測(cè)算子，有效地檢測(cè)出完整的圖像邊緣信息，并保持圖像邊緣的平滑性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了，與傳統(tǒng)的邊緣檢測(cè)算法相比，本文提出的算法能有效提取準(zhǔn)確的邊緣信息，而且又具有很強(qiáng)的抗噪性，是一種有效的邊緣檢測(cè)方法。更加充分地利用了圖像信息，提高了邊緣檢測(cè)的正確率。

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