傾瀉流體研究及數值模擬

于光遠, 宋 楠, 楊 雄, 潘永華, 高惠濱

(南京大學 物理學院， 江蘇 南京 210093)

0 引 言

在倒水時，我們發現自然傾瀉的水流可能會發生分節的情況[1]，出現所謂水“波節”現象。通過實驗重復這一現象，并記錄大量數據來找出影響這一現象的因素。實驗過程中又發現了水流旋轉的“水麻花”現象[2]，新現象促使我們設計新儀器和建立新模型，并重復更多的實驗，結合相關知識分析討論，并用計算機模擬，找出現象的本質。

1 實驗現象

實驗所用出水管管口分別有圓口和方口兩種，如圖1、2所示。實驗中使用水泵供水，流量計調節流量。圖1為水“波節”現象，使用圓口裝置，可以明顯看出下瀉水流分成了類似“波節”的形狀，即圖中H2段。圖2為水“麻花”現象，使用非對稱方口裝置，可以明顯看出下瀉水流發生旋轉[3]。

記錄數據是由高清攝像頭記錄實驗影像，再從視頻影像中抽樣讀數得到實驗數據。

2 水“波節”模型建立

2.1 流速模型

2.1.1流速模型1

首先考慮的是出水速率均勻分布情況。實驗采用半徑r=3.50 cm的圓口裝置,如圖3所示。當水流量Q=100 L/h時，水流經過的管口寬度為L=3.78 cm。因此,水流經過的管口面積S=1.42 cm2,如圖3中陰影部分所示。進而可求得此時平均水流速率v=Q/S=0.196 m/s。

圖1 水“波節”現象圖2 水“麻花”現象

圖3 圓口裝置示意圖

2.1.2流速模型2

流速模型1比較粗糙，求出的速率只能作為參考。一般情況下水流速率不是嚴格相等的，故建立模型2。

水在圓筒中流動時，各流層為自管道中心開始而半徑逐漸加大的圓筒形[4]。中心處流速最大，隨著半徑的增大而流速逐漸變小[5]。當它的密度ρ及黏滯系數η為常數時，列出相關的流體動力學基本方程[6]。

連續性方程：

divv=0

(1)

運動方程：

(2)

式中,F是單位質量流體所受的力。

式(1)可寫成：

(3)

式(2)可寫成：

(4)

(5)

(6)

式中，u、v、w是速率在x、y、z軸方向的分量。

在等直徑圓截面直管中，流體作平行流動(不考慮起始段)，所有質點都沿同一方向運動，只有一個不為零的速度分量。如取直角坐標系，并把運動方向取作x軸,則

v=0,w=0

(7)

在僅考慮重力而忽略電磁力等的情況下，F=g，為了簡便，令

(8)

將式(7)、(8)代入式(5)、(6)，得：

(9)

可見p′僅是x的函數,即p′=p′(x)。將式(7)代入式(3)，得：

(10)

將式(7)～(9)代入(4)～(6)，得：

(11)

由于是穩定流動，?u/?t=0,上式變為

(12)

上式左邊只與y,z有關，而右邊只與x有關，所以它們都必須等于同一常數，即：

常數

(13)

換成柱坐標為

(14)

兩次積分得：

(15)

式中，系數簡化為k。r0是圓口半徑，假設邊沿處速率為0，則c=1，得到

(16)

(17)

2.1.3流速模型3

模型2的缺陷在于要求邊沿流速為零，而邊沿處水流較多，為了保證流量，中心速率就過高。因此模型2也應進行修正，必須考慮到邊沿處流速不為零，修正后的模型如下式所示：

(18)

則邊沿速率為

(19)

圖4是流量為100 L/h時的實驗截圖，現以其為例來求解模型3中的系數k、c1和中心速率。因為在管口處，水流噴涌而出以后主要受到來自水的表面張力的作用。表面張力改變了邊緣液滴的速度方向，使其向中心靠攏[7]。對于一個直徑1 mm的液滴，受到的表面張力約為其重力的45倍。表面張力使得邊沿速度方向發生了改變，離開管口以后，速度方向近似指向水流中央。于是可以先利用水流在豎直和水平方向上的位移，求出水流運動時間t和u邊，再計算k、c1，最后求得中心速率:0.5gt2=0.028 4,t=0.076 1 s,u邊=0.014 3/t=0.188 m/s。

圖4 Q=100 L/h實驗截圖

將Q=100 L/h和u邊=0.188 m/s代入式(17)和(19)得:k=225.43,c1=0.319。最后求得中心速率v=0.214 m/s。該結果與實際情況比較相符。

綜上所述，模型1為我們提供了平均速率作為參考，以模型2為基礎的模型3求解出了圓口模型的速率分布，且中心速率與平均速率非常接近，是比較理想的模型。

2.2 波長模型

2.2.1實驗觀察

實驗中只能明顯地觀察到2個“波節”點，如圖5中A、B所示。考慮到水流在交會碰撞之后水平速率會降低，由于表面張力作用，分散的水流逐漸向中間靠攏。再一次交會時水平速率已經比較小，所以不會再明顯地分開，觀察不到新的“波腹”和“波節”。

2.2.2猜想假設

把“波節”點間距稱之為“波長”，通過實驗觀察到圓口裝置半徑相同時，流量越大，“波長”越長。我們覺得影響“波長”的關鍵物理量是速率，速率正比于流量，反比于圓口半徑的平方。所以猜想“波長”H與流量Q之間的函數關系可以表示為

圖5 “波長”-流量關系實拍標注圖

H=A(r)·Q+c2

(20)

實驗中測得的H2是A、B兩個“波節”點之間的距離，也就是“波長”被重力拉長之后的長度。可以利用H1與H2計算出“波長”H。

(21)

2.2.3實驗驗證

實驗中，測量了在不同管口直徑和不同流量下的“波長”值，結果如表1所示。結果表明,對于同一流量，不同管口直徑下的“波長”變化不大，說明系數A(r)近似是一個常數。

根據表1中數據，以流量Q為橫坐標，“波長”H為縱坐標繪制“波長”-流量關系圖，如圖6所示。通過直線擬合得到“波長”-流量關系為

H=1 215.600 3Q+0.001 43

(22)

相關系數R=0.957 94。

圖6 “波長”-流量關系圖

我們選取的流量范圍與平時生活中能接觸到的流量比較接近。可見在該范圍內，“波長”與流量近似呈線性關系。

3 水“麻花”模型

水“麻花”現象是在研究水“波節”現象中發現的，考慮到可能是由于出水口處的水流速率分布不均造成了這種現象[8]。由此設計出扁形方口左右不對稱型的出水儀器，利用其不對稱性人為制造速率分布的不對稱[9]。實驗結果驗證了猜想。

表1 波長H與流量Q關系數據 m

水“麻花”速率分布分析推導。當我們將方形口的高度縮小到較小時，可以視為其高度方向上速率均勻分布，進而可以將很薄的方形口流出的水流視為對一層水流進行近似的模擬[10](見圖7)。

圖7 水流薄層模型圖

取出與對稱軸y距離為x處的液滴微元進行分析[11]，

式中，n為黏滯系數。因為是定常流動，有

F=(Pa-Pb)hdx

式中，Pa、Pb為兩端壓強，視為恒定，得

所以，vx=ax2+bx+c。

水流與一個振幅衰減的駐波非常相似，考慮到液體之間的黏滯力以及表面張力,根據流體運動形式，猜想x軸方向上的速率函數為[12]

(23)

根據管口處初始速率分布式(18)以及x軸方向上的速率式(23)進行編程模擬。模擬結果可以驗證所推公式的實用性。

4 水“波節”現象計算機模擬

4.1 水“波節”現象中出水口水流俯視圖模擬[11]

實驗中拍攝到的出水口水流俯視圖如圖8所示。模擬時，先利用實驗測量數據求出管口兩側水流的相遇時間t，再根據管口處每個微元的位置求出它的速率v[13]，之后將y=vt作為縱坐標，管口位置作為橫坐標，繪制出出水口水流俯視模擬圖，如圖9所示，可以看出與實際情況符合得比較好。

圖8 出水口俯視圖

圖9 計算機模擬俯視圖

4.2 水“波節”現象中出水口水流正視圖模擬

圖10是實驗中拍攝到的出水口水流正視圖。利用式(18)、(26)，令b=0，選取適當的β及ω，由計算機生成數據，繪制出出水口水流正視模擬圖[14]，如圖11所示。可以看出，兩者依然符合得比較好，這也就從模擬的角度驗證了模型3的正確性。

圖10 出水口正視圖圖11 計算機模擬正視圖

4.3 水“麻花”現象計算機模擬

通過以上分析，用軟件Origin作出模擬圖。

設定管口處的初始速率分布左側較快，可以得到左側水流壓過右側水流并向右偏的模擬圖像，如圖 12所示。并且，從上俯視時可以看出，水流是逆時針的旋向[15]，這與實際情況(見圖 13)是相符的。類似地，當設定管口處的初始速率分布右側較快時，可以得到右側水流壓過左側水流并向左偏的模擬圖像。

圖12 非對稱流速(左側快)水流模擬正視圖圖13 非對稱流速(左側快)水流實拍正視圖

由模擬圖像與實際圖像的對比可以看出，管口處水流的初始速率分布的不對稱確實是造成水流產生旋轉的主要原因。

5 結 語

根據以上研究可以得出一些比較確定的結論。

水“波節”現象：當傾瀉水流均勻地通過規則的出水口時，在流速不太快、流量不太大情況下，下瀉的水柱會出現分節現象，且這種水“波節”的“波長”和流量呈近似的線性關系，與出水口的半徑無明顯關系。

可以計算出流速分布近似是二次函數分布，在遠離軸線的對稱位置上，速率近似一致。此時水流不發生明顯的旋轉，而會產生類似“波節”的現象。

水“麻花”現象：如果水流傾瀉時，水流于出水口兩側速率分布不對稱，此時下瀉水流會發生旋轉，形成螺旋下瀉的水流，并且速率大的那側水流將會位于上方。此時仍要求流速不太快，流量不太大。

[1] 容 瓊. 一種螺旋流發生器的數值試驗研究[D]. 武漢：武漢理工大學，2007.

[2] 劉少東. 軸向漩渦流動的理論分析[D]. 成都：西華大學，2009.

[3] 王曉飛. 管內螺旋流的實驗研究與分析[D]. 武漢：武漢理工大學，2004.

[4] 賀成才. 圓管分層層流的流動規律[J]. 西南石油學院學報，2002,24(6)：82-84.

He Cheng-cai. The law of laminar flow in pipe[J]. Journal of Southwest Petroleum Institute, 2002,24(6)：82-84.

[5] 吳 望. 流體力學[M]. 北京：北京大學出版社，1983：145-155.

[6] 謝雨浩. 泊肅葉公式的一般推導[D]. 桂林：桂林醫學高等專科學校，1984.

[7] 劉 非. 彎曲水流中固液兩相運動夾角的研究[D]. 上海：上海交通大學，2012.

[8] 傅天清. 簡單圓孤曲線彎道水流特性研究[D]. 山西：太原理工大學，2003.

[9] 賈興豪，彭向和，龍血松. 導流板改善彎管流場的數值模擬與優化[J]. 西南大學學報,2011,33(3):139-143.

Jia Xing-hao, Peng Xiang-he, Long Xue-song. The numerical simulation and optimization of bend flow field improved by the deflector[J]. Journal of Southwest University, 2011,33(3):139-143.

[10] 楊忠國，鄭 鑫，解恒燕. 計算流體力學湍流模型在噴管流場數值模擬中的比較[J]. 黑龍江八一農墾大學學報，2010,22(5)：36-38.

Yang Zhang-guo, Zheng xin, Xie Heng-yan. The comparison of turbulence models of Computational fluid dynamics in the nozzle flow field numerical simulation[J]. Journal of Heilongjiang Bayi Agricultural University, 2010,22(5)：36-38.

[11] 朱林海. 基于物理模型的水流動畫計算機模擬[D]. 西安：西北工業大學，2002.

[12] 史力生. 用數字直接模擬層流[J]. 長沙鐵道學院學報，1994,12(2)：43-54.

Shi Li-sheng. Directly digital simulation of laminar flow[J]. Journal of Changsha Railway University，1994,12(2)：43-54.

[13] 翟 明，董 芃，王希影. 圓管層流脈動流動的數值模擬[J]. 哈爾濱工業大學學報，2009,41(11):73-76.

Zhai Ming, Dong Peng, Wang Xi-ying. The numerical simulation of pulsating flow of laminar flow in pipe[J], Journal of Harbin Institute of Technology, 2009,41(11):73-76.

[14] 喻 宇. 有壓管道水流沖擊氣團的局部三維流場數值模擬研究[D]. 哈爾濱：哈爾濱工業大學，2011.

[15] 魏喜飛. 基于物理模型的三維水流模擬研究[D]. 石家莊：河北工程大學，2012.

好奇——創新意識的萌芽;
興趣——創新思維的營養;
質疑——創新行為的舉措;
探索——創新學習的方法。