灰度理論與二次規劃算法組合模型對LEFP的幾何優化

劉 杰，杜忠華，劉榮忠，董玉財

（南京理工大學機械工程學院，江蘇南京210094）

引 言

針對爆炸成型彈丸（EFP）結構參數優化，研究人員從不同角度提出了相應的優化方法［1－2］。Fisher等［3－4］運用Kalman濾波對EFP 進行結構優化，這種濾波算法僅實現迭代循環，其突出的濾波性特點卻表現不明顯，因此使得Kalman 算法在針對EFP結構優化時可實施性較差；江后滿等［5］利用變尺度非線性優化方法實現了對爆炸成形彈丸的優化，該方法簡潔有效，但是單一建立的最小二乘算法得到的只是整體最優解，不能保證每個參考變量最優；張先鋒等［6－7］利用灰度理論系統并結合數值模擬對每個影響戰斗部因素子序列進行了灰關聯計算，可方便得到每個子序列對聚能裝藥戰斗部的權重，但后期EFP結構直觀性較差，不利于準確計算EFP優化結構幾何特征。因此將灰度理論和非線性優化兩種優化方法的優點結合，用于對LEFP 幾何結構優化具有重要意義。

本研究基于灰度理論，利用其對數組量小但關聯分析強的處理能力，對線性裝藥的每個組件進行權重計算，然后利用二次規劃方法構建了包含每個組件對LEFP 權重的目標函數，進而得到針對LEFP結構優化的灰度理論與二次優化組合模型，最后以某小型幾何特征線性裝藥優化為例，給出整個優化方法的過程。

1 線性裝藥及模型序號

定義線性裝藥為裝配體，簡化為由藥型罩、外殼、炸藥3個組件組成，如圖1所示。

由于每個組件包含各自的幾何結構特征，而不同的幾何特征對LEFP 的權重不同，故幾何特征可作為灰度系統的子序列，分別是藥型罩直徑R，藥型罩厚度t，Γ＊面內藥型罩長度L，Γ＊面內藥型罩大徑R＊，炸藥高度H，炸藥寬度Dk以及外殼厚度a，依次標記為1～7。LEFP觀測參數選用LEFP的頭部速度Vtip、LEFP尾部速度Vtail、LEFP頭部長度L1以及直徑D 來描述，依次標記為Y1～Y4。將子序列進行梳理、正交選取，得到18個模型，列于表1。

圖1 線性裝藥示意圖Fig．1 Sketch of the linear shaped charges

表1 線性裝藥參數與模型序號Table 1 The parameters and model numbers of linear sharped charges

2 優化過程

圖2為整個優化過程的流程圖。

根據預期LEFP要求，視線性裝藥為裝配體，包括藥型罩、外殼、炸藥3個組件。對每個組件的結構幾何特征進行匯總，作為灰度理論系統的子序列，通過對子序列進行正交選取，將得到的計算結果列表。

利用灰度系統理論，得到每個子序列與LEFP觀測值的關聯系數；同時，計算分辨系數時從統計角度對灰關聯系數矩陣的元素實行歸一化處理，得到每個組件對LEFP的貢獻值，即權重。

對整個LEFP系統構造了一個包含二重分辨系數的目標函數，將第（2）步所得到的權重帶入二次序列優化目標方程，實現對藥型罩、外殼、炸藥的同步優化。

2．1 灰度理論

對于一個參考數列y1，y2……yj，存在多個比較數列x1，x2，……，xi作用，式（1）［6］表示比較數列曲線與參考數列曲線在各點或各個時刻的差值。

圖2 LEFP優化過程流程圖Fig．2 Flowchart of optimizing process of LEFP

式中：εi（k）為第k個點或第k個時刻比較數列曲線xi與參考數列曲線x0的相對差值，稱為xi對x0在k時刻的關聯系數；ξ為分辨系數，取值在0～1間，一般為0．5；稱為兩級最小差值。第一級最小差值是對k而言，根據k 選最小者；第二級最小差值是對i而言，根據i選最小者。稱為兩級最大差值，根據k選最大差值，然后根據i選最大差值。灰關聯系數的分步計算按式（2）［7］：

2．2 折算等效關聯系數

分別選取藥型罩、炸藥和外殼的幾何特征，建立各自的分析表格，按照灰關聯理論計算關聯系數，分別得到其相應的關聯系數矩陣。同時，定義ai0為xi0與Y1的關聯系數，記；定義∑D 為成型裝藥一個組件的所有幾何特征對LEFP成型特征的關聯系數總和，記為R＝∑D。定義判斷LEFP成型是否良好的4個參考特征Y1～Y4關注度分別是ζ1～ζ4，其中。根據R 與ζj的定義，ζj與R 的關系為：

定義Ki（i＝1，2，3）分別為藥型罩、炸藥、外殼各自對理想LEFP所有參考特征的貢獻測度，則Ki，其含義即為成型裝藥的一個組件的所有設計特征對理想LEFP所有參考特征的關聯系數總和。

同樣地，定義：

其含義即為成型裝藥各個組件對LEFP成型的整體貢獻測度。之后利用這個值，并結合變尺度二次規劃算法來優化LEFP組件的設計參數。分別建立藥型罩、炸藥和外殼的影響幾何特征分析表格，見表2～表4。

表2 藥型罩折算關聯表Table 2 Conversion and relation table of liner

表3 炸藥折算關聯表Table 3 Conversion and relation table of explosive

表4 外殼折算關聯表Table 4 Conversion and relation table of case

2．3 線性裝藥幾何結構

分別對藥型罩、炸藥和外殼3個組件進行幾何建模。通過藥型罩示意圖（見圖4），確定線性裝藥幾何結構特征所在的位置，即在截面Γ＊和截面Γ兩個正交面內。

圖4 兩個方向弧度藥型罩示意圖Fig．4 Sketch of two radian liner

2．3．1 截面Γ 中藥型罩及炸藥幾何形狀

在炸藥寬度方向的橫截面Γ 上，以炸藥頂點O1為坐標基點，如圖5所示。為保證曲線精度和加工精度，取兩次曲面擬合藥型罩的形狀。

圖5 炸藥寬度方向橫截面示意圖Fig．5 Sketch of intersecting surface in explosive width

截面Γ 中藥型罩拉伸母線幾何模型描述表達式為：

截面Γ 中藥型罩的幾何約束為：

式中：t1（x）為藥型罩最小厚度；y00是坐標原點坐標值，即y00＝0；y1（Dk）－y00≤H。

截面Γ 中炸藥頂層的幾何模型為：

截面Γ 中炸藥形狀約束為：

2．3．2 截面Γ＊中藥型罩幾何模型

圖6為在裝藥長度方向的橫截面Γ＊，以裝藥頂點O2為坐標基點，同樣取兩次曲面擬合藥型罩的形狀。

圖6 裝藥長度方向橫截面示意圖Fig．6 Sketch of intersecting surface in explosive length

根據圖6所示截面Γ＊中藥型罩幾何模型為：

截面Γ＊中藥型罩的幾何約束為：

截面Γ＊中炸藥頂層幾何模型為：

截面Γ＊中炸藥形狀約束為：

式中：t1（x）為藥型罩最小厚度；y＊00是坐標原點坐標值，即y＊00＝0；y＊1（L）－y＊00≤H。

2．3．3 外殼幾何模型約束

外殼形狀可以理解為對炸藥的均勻包裹，其厚度為m，根據一般理論決定m 的約束為：

m0≤m≤m1

2．4 建立目標函數

建立如下帶二重分辨系數的最小二乘形式的目標函數，見式（11）：

式中：X 為設計變量

式中：fj（X）（j＝1，2，3，4）為數值模擬得到的LEFP形狀中某個參考變量的值；Qj為理想LEFP中對應該參考變量的值；pi為各個組件組元對成型效果的貢獻測度；Rj為第i個組件組元的所有設計變量對第j個參考變量的貢獻測度。

3 優化算例及分析

利用ki（i＝3）得到藥型罩、炸藥和外殼厚度對LEFP成型的貢獻測度p1、p2、p3，稱為LEFP 系統優化方程的第一重分辨系數。所以LEFP系統的綜合優化方程為：

通過添加邊界條件后，經過程序運行，得到LEFP幾何約束范圍內的最佳設計幾何特征組合，見表5；數值計算結果見表6。

表5 線性裝藥幾何特征最佳設計Table 5 The optimum design of geometric features of linear sharped charges

表6 LEFP數值計算結果Table 6 Numerical simulation result of LEFP

由表6可看出，LEFP的頭尾速度顯著提高，且比較接近，因此使得速度梯度縮小，能夠保證形成的LEFP 形體穩定，在飛行較遠距離時不會拉斷。然而，由于目標函數為綜合每個子序列權重的最小二乘函數，所以每個尺寸相互牽制，進而只能通過前期灰度理論來分析和表現。另外，根據得到的藥型罩、炸藥以及外殼關聯系數，藥型罩的幾何形狀尺寸對LEFP成型影響更為明顯，同時，在藥型罩尺寸中，藥型罩直徑R 和厚度t尤為突出，即對頭部速度的比較序列關聯度系數大小關系為：R＞t＞a＞H。同樣可對尾部速度、LEFP 長徑比進行序列關聯度系數比較。應用灰度理論與二次規劃算法組合模型對LEFP戰斗部裝藥結構及藥型罩進行數值計算，結果見圖7。

圖7 數值計算LEFP成型結果Fig．7 Figure result of LEFP by numerical simulation

由圖7可看出，LEFP 的外輪廓線近似符合預期形狀曲線，這是因為在描述藥型罩拉伸面母線時，選用在圓弧面的基礎上加兩階多項式修正的函數形式，因此，修正項的階次越高，越能更精確地描述拉伸面母線，實際設計時，對階次的選擇一般視設計結果而定［5］。

4 結 論

（1）從結構幾何特征優化角度對LEFP 的幾何特征實現優化，將成型裝藥看成一個由3個部分組成的系統裝置，優化時同時全部考慮3個組件包含每個尺寸以及變尺度產生的優化效果。

（2）提出了灰度理論與二次規劃算法組合模型和折算等效關聯系數概念，沒有直接將灰關聯系數矩陣的元作為分辨系數，在計算分辨系數時從統計角度對灰關聯系數矩陣的元素實行嚴格地歸一化處理，獲得了較為簡潔的計算模型。

（3）結合灰度系統中灰關聯系數理論，通過幾何建模，運用變尺度二次規劃算法對在兩個正交截面內均有尺度變化的藥型罩優化。對整個LEFP系統構造了一個包含二重分辨系數的優化函數，實現對藥型罩、外殼、裝藥的同步優化，避免只對藥型罩、外殼、裝藥單獨優化并直接組合優化結果產生的系統耦合誤差。也避免了分步優化造成的最優幾何特征組合的遺漏。

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