基于齒面點坐標測量值的弧齒錐齒輪齒面建模

徐彥偉，張連洪

(1.河南科技大學 機電工程學院，洛陽 471003；2.天津大學 機械工程學院，天津 300072)

0 引言

弧齒錐齒輪是重要的機械傳動基礎元件，廣泛用于各種高速、重載的相交軸傳動中[1～5]。近年來，研究人員對弧齒錐齒輪齒面加工誤差的測量與評定以及弧齒錐齒輪齒面幾何建模等進行了大量研究。王伏林[6]進行了數字化齒面加工誤差評定基準的研究，提出了一種齒面加工誤差的評定策略，建立了加工誤差評定基準數學模型；曹雪梅[7,8]進行了弧齒錐齒輪齒面誤差檢測與實驗驗證，研究了齒面的加工誤差、加工變形、安裝誤差等因素綜合產生的齒面誤差。本文通過對弧齒錐齒輪齒面數學模型的離散化處理，依據弧齒錐齒輪齒面離散點三維坐標測量方法，通過CNC3906齒輪測量中心對一給定參數的弧齒錐齒輪齒面離散點三維坐標進行了測量。最后，對齒面離散點三維坐標測量結果進行了旋轉處理，并利用NURBS方法建立了齒面空間曲面模型，可以為弧齒錐齒輪齒面加工精度和齒面離散點加工誤差的評定提供模型參考依據。

1 弧齒錐齒輪齒面點坐標測量原理

弧齒錐齒輪齒面是復雜的空間曲面[9]，齒面上任一點的坐標均可表示為機床搖臺轉角q和刀盤相位角θ的二元函數。在弧齒錐齒輪的實際測量中，齒面通常采用離散點表示

圖1 弧齒錐齒輪齒面離散點旋轉投影示意圖

依據圖象旋轉不變距特性[10]，將弧齒錐齒輪空間齒面投影到弧齒錐齒輪軸截面，再將其旋轉到工件齒輪坐標系軸截面內劃分齒面網格，確定弧齒錐齒輪的齒面離散點，通常參照格里森公司弧齒錐齒輪測量標準規定，沿齒長方向取9列，齒高方向取5行，共45個齒面離散點，如圖1所示。

弧齒錐齒輪齒面點坐標測量的基本原理：1）建立弧齒錐齒輪理論齒面。2）理論齒面劃分網格。3）理論齒面點坐標計算。4）對工件齒輪進行定位，使工件齒輪與理論齒面坐標系重合。5）齒面測量基準點定位。將三維側頭放置于齒面中點所在的圓周與XOZ平面的交點處，使三維測頭與被測齒面相切。（6）齒面點坐標測量。工件齒輪定位完成，齒面測量基準點定位后，即可按照一定的順序，對齒面點坐標進行測量。圖2為弧齒錐齒輪齒面離散點坐標測量原理示意圖。

圖2 弧齒錐齒輪齒面離散點坐標測量原理示意圖

2 基于齒面點坐標測量結果的建模原理

依據弧齒錐齒輪齒面離散點三維坐標值建立齒面三維模型，屬于逆向工程中的曲面重構技術范疇。非均勻有理B樣條NURBS（Non-Uniform Rational B-Splines）是在逆向工程實際應用中的一種非常優秀的曲線、曲面造型方法。

利用NURBS方法構建弧齒錐齒輪齒面三維模型的基本原理是通過齒面上離散點的三維坐標值，重構一組NURBS曲線，然后再依據已有的NURBS曲線構造NURBS曲面。一條k次NURBS曲線可以表示為一段有理多項式矢函數

式（2）中，iW和表示控制頂點和與控制頂點相聯系的權因子，是由節點矢量按照德布爾—考克斯遞推公式（3）決定的第i個k次B規范樣條基函數。

式（3）中，對于重節點情況約定0/0=0。

將NURBS曲線以張量積形式推廣，即可得NURBS曲面。一張kl×次NURBS曲面可以用有理分式表示為：

3 弧齒錐齒輪齒面點坐標測量實例

在CNC3906齒輪測量中心（如圖3）上對表1所示幾何參數的弧齒錐齒輪大輪齒面離散點三維坐標進行了測量。表2為部分齒面點三維坐標的初始測量結果。

圖3 CNC3906齒輪測量中心測量齒面點坐標

表1 被測工件齒輪基本幾何參數

表2 部分齒面點三維坐標初始測量結果

4 弧齒錐齒輪齒面三維模型

在圖2所示弧齒錐齒輪齒面點測量原理示意圖中，被測齒輪坐標系與齒輪測量中心的坐標系重合后，被測齒輪仍可以繞齒輪軸線旋轉。齒面點在不同的角向位置下測得的齒面點三維坐標是不相同的，因此在齒輪測量的時候，將被測齒輪繞自身軸線旋轉某一角度，使得齒面中點恰好處于XOZ平面內，完成測量過程的定位。這樣同一齒槽兩側的齒面在測量的時候，兩側齒面中點的測量坐標便相同，依據這種初始測量數據建立的兩個齒面三維模型也會在齒槽的中點處相交，而不是分別處于齒槽的兩側（如圖4所示）。

圖4 依據初始測量數據建立的齒面三維模型

圖5 齒面離散點坐標旋轉示意圖

然而，理論齒面推導過程中，齒槽中點處于XOZ平面內，齒槽兩側齒面的中點位于齒槽中點的兩側，即位于XOZ平面的兩側。因此，對齒面測量結果進行分析和依據測量結果建立齒面三維模型，都必須將凸面和凹面的測量結果繞Z軸分別旋轉?和'?角度（如圖5所示），使得測量齒面中點和理論齒面中點重合，只有這樣才能求得測量值和理論值之間的實際偏差。

在圖5所示齒面測量數據旋轉示意圖中，假設A點為實際測量時齒面中點所在位置，則將齒面凸面的45個測量數據繞Z軸旋轉?角，使得A點轉動到B點，即可求得與齒面凸面理論齒面點相對應的45個點的三維坐標數據。同理，將齒面凹面的45個測量數據繞Z軸旋轉'?角，使得A點轉動到C點，即可求得與齒面凹面理論齒面點相對應的45個點的三維坐標數據。

式（5）中，?取負值。當齒面凹面的45個測量數據繞Z軸旋轉'?角，由A點轉動到C點時有：

由齒面點三維坐標的初始測量結果可得齒面凸面和凹面中點坐標的初始測量值以及齒面凸面和凹面中點坐標的理論計算值分別為A=(105.6359,0,-53.8753)、B=(105.499628,363952,-53.8753)、C=(105.499087,-5.374586,-53.8753)。將A、B、C三點的坐標值分別代入（5）和（6）中可得?角和? '角的值分別為2.9105956°和2.9163687°。將齒面凸面和凹面各個點的初始測量坐標值與?角和? '角的值依次代入（5）和（6）即可得到與理論齒面點相對應的齒面點測量值。部分旋轉后的測量結果如表3所示。依據旋轉后的齒面離散點三維坐標，采用NUBRS方法構建的弧齒錐齒輪齒面三維模型如圖6所示。

表3 部分齒面點三維坐標旋轉后結果

圖6 弧齒錐齒輪齒面NURBS曲面模型

5 結論

依據弧齒錐齒輪齒面數學模型和弧齒錐齒輪齒面離散點三維坐標測量方法，對一給定參數的弧齒錐齒輪齒面離散點三維坐標進行了測量，通過對三維坐標測量結果的旋轉處理，利用NURBS方法建立了弧齒錐齒輪齒面的三維模型，可以為弧齒錐齒輪齒面離散點加工誤差的評定提供模型參考依據。

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