淺談統計物理學中相空間概念的教學

潘瑞琨，曹萬強，張柏順，鄭克玉

（湖北大學 材料科學與工程學院，湖北 武漢 430062）

淺談統計物理學中相空間概念的教學

潘瑞琨，曹萬強，張柏順，鄭克玉

（湖北大學 材料科學與工程學院，湖北 武漢 430062）

本文從教學方法的角度，對統計物理學中相空間概念的引入、適用對象和相關計算作了一些探討。相空間是為了對粒子或系統的微觀運動狀態進行描述而引入的；這里的粒子或系統必須是由全同和近獨立粒子組成；當微觀粒子在宏觀大小空間運動，兩個相鄰能級的最小間距遠小于粒子熱運動能量時，粒子的波動性不顯著，可以借用μ空間形象地描述粒子的量子狀態；在教學中，可以用微觀狀態數目的計算來舉例，幫助理解相空間概念。

統計物理；相空間；教學

統計物理學的理論基礎或者說基本原理認為：宏觀的物質（物體）是由大量的微觀粒子如分子、原子等組成的，而物質的宏觀特性是這些大量微觀粒子作無規則微觀運動的集體體現，物質或物體的宏觀物理量是相應微觀物理量的統計平均值[1]。要清楚地表述統計物理學這一個基本理論，就要涉及一個重要的物理概念：即相空間。此概念是為了對粒子或系統的微觀運動狀態進行描述而引入的。

在統計物理學中，微觀粒子或系統的微觀運動狀態是指該粒子或系統的力學運動狀態。可以對微觀運動狀態的描述進行分類，一般分為經典描述和量子描述兩種情況：第一，經典描述是指微觀粒子的運動遵守經典力學的規律；第二，當組成系統的微觀粒子按照量子力學的規律在運動時，這樣的描述就稱為量子描述。當滿足一定的條件時，借用相空間的概念還可以對量子描述的量子態給出對應的關系[2]。在教學中，為了全面透徹地講解相空間概念，使學生明了其在統計物理學中的地位和作用，本文將對統計物理學中的相空間進行一些教學上的探討。

一般的統計物理學教材對粒子相空間的定義是這樣的[1]：微觀粒子在m維坐標空間中運動，就用q1，…，qm，p1，…，pm坐標和動量為坐標變量，構成一個2m維的空間，用于形象地描述粒子的力學運動狀態，稱為μ空間。這里的μ空間是相空間概念的一種。微觀粒子在運動中，其力學運動狀態時刻在變化，任意時刻的運動狀態由μ空間中某一點表示，這個點代表粒子某時刻的運動狀態。在一般情形下，粒子的運動狀態還會隨著時間改變，則運動狀態點相應地在μ空間中移動，于是描繪出一條軌道，稱為相軌道。

對于在實際的三維坐標空間中運動的粒子，初學者還能想象到其運動圖像。但是三維坐標空間粒子的相空間有6維，初學者不易想象。在教學中，要著重強調μ空間是描述粒子運動狀態的抽象空間，但不僅僅是為了幾何化、形象化地描述粒子運動狀態。在統計物理學中描述系統微觀狀態時有重要作用，還可以提及固體物理學中，分析原子振動的狀態以及能帶理論中電子運動狀態時，都可以借助相空間的概念。其二，粒子的相空間包含坐標空間和動量空間，粒子實際存在和運動的空間應是坐標空間而不是相空間。其三，相空間中的點，代表著粒子的力學運動狀態，而不是代表一個粒子在實際坐標空間中運動的軌跡圖象。更一般情形下，當粒子在運動時，其狀態會隨著時間變化，則相空間中的代表點相應移動，描劃出“軌道”，但不是粒子實際運動的軌道。

在教學中，需要對學生強調和明確：相空間是為了形象地描述系統的微觀運動狀態，統計物理中提到的物質系統必須由全同的粒子和近獨立的粒子組成，滿足這樣的前提，才能在同一個相空間中描述該系統的所有粒子的力學運動狀態[2，3]。因此，統計物理學的相空間概念，只適用于由全同粒子和近獨立粒子組成的系統。統計物理學中最常用的最概然分布法，也稱為最概然統計法，也只適用近獨立粒子組成的系統。推廣到更一般的情況，就要考慮系統中粒子間的相互作用。此時，系統中每個粒子的力學運動狀態既決定于自身的坐標和動量來確定，也決定于其他粒子的坐標、動量。在這種情形下，必須把系統作為一個整體來考慮。不能用μ空間來描述系統微觀運動狀態，而必須采用一個新的相空間概念，即Γ空間[1]。

一般的統計物理學教材中，是先對幾個經常用到的力學模型舉例，來說明全同和近獨立粒子的相空間，然后對系統微觀狀態作描述，并指出：在經典力學基礎上建立的統計物理理論，稱為經典統計物理學；而量子統計物理學是建立在量子力學基礎上的。二者既有區別，又有聯系：二者在統計原理上是相同的，仍以等概率原理為基本假設；主要的區別在于對微觀運動狀態的描述即力學基礎不同[1，4]。因此在教學中，要強調以上提到的相空間，是為了從三維實際空間上形象地描述粒子力學運動狀態和系統微觀運動狀態，而采用的相空間概念：μ空間或Γ空間。雖然有粒子或系統的經典描述，但是從更基本的物理規律來看，微觀粒子都是遵從量子力學的運動規律，對其力學運動狀態和相應系統的微觀運動狀態的描述，應采用量子力學的原理和方法。

至此，有的學生會迷惑：一般的教材在提出相空間概念后，又提到了量子狀態和量子相格[1，5]。是不是可以認為：也能用粒子的坐標和動量來確定量子態？量子力學的原理指出，微觀粒子都具有粒子性和波動性，微觀粒子的運動不具有宏觀物體的軌道運動，不可能同時確定微觀粒子的坐標和動量。在教學中要仔細講解一個例子：三維粒子在一個長方體盒子中如何被動量子化，進而得出一個結論：采用量子理論描述粒子的運動狀態時，把微觀粒子的運動視為在宏觀大小的體積內運動，那么粒子的動量、能量就是準連續地變化著，才可以用相空間中的相格來描述量子態。當粒子在宏觀大小的體積內作無規則熱運動時，粒子的兩個相鄰能級最小間距遠小于粒子的熱運動能量Δε＜＜kT。這時，普朗克常數h不起重要作用，粒子的波動性不明顯，粒子的動量和能量分立的量子特征就不明顯，則可以借用μ空間形象地描述粒子的量子狀態。

基于以上的討論，由于相空間適用于宏觀體積中運動的近獨立粒子體系，計算粒子微觀狀態數目時，都可以采用這樣的計算式：微觀狀態數目=相空間體積/相格體積=（坐標空間體積×動量空間體積）/相格體積，這里相格的體積在量子情形時即hm，在經典情形時即。在教學中，可以如下舉例：計算在體積V內，在動量大小為p-p+dp范圍內的自由粒子可能的狀態數目為其中4πp2dp為動量空間的球殼體積。推廣到固體物理學中晶格振動模式密度、電子態密度的計算[7，8]，也可以這樣處理，使得初學者很易于接受。

[1]汪志誠.熱力學統計物理（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]彭家驥.統計物理學中的相空間 [J].四川教育學院學報，1998，14（2）：66-69.

[3]蘇汝鏗.統計物理學（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2002.

[4]成元發.量子統計與經典統計的區別和聯系[J].湖北大學成人教育學院學報，2003，21（2）：76-78.

[5]林宗涵.熱力學與統計物理學（第一版）[M].北京：北京大學出版社，2007.

[6]王培楠.統計物理學中的系綜理論[J].運城師專學報，1985，（4）：33-37.

[7]黃昆，韓汝琦.固體物理學[M].北京：高等教育出版社，2010.

[8]郭密.摩擦能量耗散的統計熱力學初步研究[D].南京航空航天大學碩士論文，2009.

G642.3

A

1674-9324（2014）26-0178-02

本項目由湖北大學教學改革與研究項目201302資助。

潘瑞琨，男，湖北大學材料科學與工程學院，主要研究方向：材料物理。