將數(shù)學(xué)背景融入微積分教學(xué)的實(shí)例

程淑芳

（中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué) 武漢學(xué)院，湖北 武漢 430070）

將數(shù)學(xué)背景融入微積分教學(xué)的實(shí)例

程淑芳

（中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué) 武漢學(xué)院，湖北 武漢 430070）

通過(guò)還原知識(shí)的歷史背景，向?qū)W生介紹有關(guān)數(shù)學(xué)史料或數(shù)學(xué)家等的趣事，增強(qiáng)微積分教學(xué)的趣味性和思想性，盡量消除微積分教學(xué)的枯燥性，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)微積分的文化價(jià)值、欣賞微積分的美。本文對(duì)改革微積分的教學(xué)內(nèi)容和方法做了嘗試。

微積分；數(shù)學(xué)史；背景

微積分的傳統(tǒng)教材往往較少關(guān)注知識(shí)的形成過(guò)程及其背景，更側(cè)重于關(guān)注知識(shí)的邏輯性、系統(tǒng)性上，且與各應(yīng)用學(xué)科嚴(yán)重脫節(jié)。而授課老師在教學(xué)中也是更多地注重學(xué)科知識(shí)的連貫性和邏輯推理的嚴(yán)密性。這些都嚴(yán)重影響了微積分教學(xué)的趣味性，削弱了學(xué)生對(duì)微積分的學(xué)習(xí)興趣。

感性材料和生動(dòng)情境能夠削弱數(shù)學(xué)知識(shí)的枯燥性和抽象性，增添數(shù)學(xué)的趣味性和靈動(dòng)性及思想性。在微積分教學(xué)中如能結(jié)合數(shù)學(xué)史料知識(shí)，還原知識(shí)產(chǎn)生或形成的過(guò)程，這將會(huì)讓學(xué)生更加生動(dòng)感性地了解學(xué)習(xí)內(nèi)容和情景，對(duì)微積分的基本概念和定理的理解將更深入，有利于促進(jìn)學(xué)生在已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上同化、順應(yīng)、平衡微積分知識(shí)。本文嘗試將數(shù)學(xué)背景融入微積分教學(xué)，對(duì)微積分教學(xué)作出一些思考和嘗試。

一、結(jié)合教材內(nèi)容，使數(shù)學(xué)史巧妙地融入課堂教學(xué)

每一個(gè)數(shù)學(xué)分支、知識(shí)點(diǎn)都有它的起源、發(fā)展甚至數(shù)學(xué)家為之付出各種努力的一些故事。教師可以仔細(xì)分析教材內(nèi)容和學(xué)生的心理特點(diǎn)，在適當(dāng)?shù)牡胤教暨x一些相關(guān)的奇聞趣事及其來(lái)源、發(fā)展，引起學(xué)生對(duì)這一知識(shí)點(diǎn)的了解興趣，也為新的課程的展開(kāi)作好準(zhǔn)備。這里將以微積分的兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)舉例說(shuō)明。

圖1 圓內(nèi)接正n邊形

圖2

二、以背景故事激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解

愛(ài)因斯坦曾說(shuō)過(guò)“興趣是最好的老師”。孔子曰：“知之者，不如好之者；好之者，不如樂(lè)之者”。只有對(duì)學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣，才會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲。而數(shù)學(xué)史料中大量的奇聞趣事，正是激發(fā)學(xué)生興趣的好素材。因此在微積分教學(xué)中，可以適當(dāng)?shù)卮┎鍞?shù)學(xué)史料中的有趣故事，這樣不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還可以加深其對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理的理解。

例3 無(wú)窮級(jí)數(shù)。講解這一內(nèi)容時(shí)，可以先向?qū)W生講述“蠕蟲(chóng)與橡皮繩”的運(yùn)動(dòng)悖論：已知橡皮繩長(zhǎng)1公里，一條蠕蟲(chóng)在橡皮繩的一端以每秒1厘米的均勻速度沿橡皮繩爬行；與此同時(shí)橡皮繩也在變化，每經(jīng)過(guò)1秒鐘，橡皮繩就拉長(zhǎng)1公里，這樣一直持續(xù)下去。問(wèn)蠕蟲(chóng)最后究竟會(huì)不會(huì)到達(dá)橡皮繩的終點(diǎn)？

往往學(xué)生們會(huì)憑直覺(jué)說(shuō)：蠕蟲(chóng)不會(huì)到達(dá)橡皮繩的終點(diǎn)。這時(shí)，教師可告訴學(xué)生蠕蟲(chóng)能爬到終點(diǎn)。這樣學(xué)生們會(huì)對(duì)這個(gè)問(wèn)題產(chǎn)生極大的興趣，同時(shí)課堂氣氛也活躍起來(lái)。接著老師繼續(xù)說(shuō)，我們可以嘗試先分析蠕蟲(chóng)在第n秒末爬行的長(zhǎng)度：由于1公里等于100000厘米，所以在第1秒末，蠕蟲(chóng)就爬行橡皮總繩長(zhǎng)度的1/100000。在第2秒鐘內(nèi)，蠕蟲(chóng)爬了2公里橡皮繩的1/200000，在第3秒內(nèi)，它又爬了3公里長(zhǎng)橡皮繩的1/300000，如此下去，蠕蟲(chóng)爬行的長(zhǎng)度可以表示為：（1/100000）×（1＋1/2＋1/3＋1/4＋……）。當(dāng)n充分大時(shí)，這個(gè)數(shù)能否超過(guò)1呢？停頓一下，告訴學(xué)生，我們可以找到這個(gè)正整數(shù)N，使上述結(jié)果成立。

由這個(gè)出乎意料的結(jié)論引入正題：無(wú)窮數(shù)列1＋1/2＋1/3＋1/4＋……就是一個(gè)級(jí)數(shù)。由于這個(gè)級(jí)數(shù)是發(fā)散的，它的部分和我們要它有多大，就有多大。只要這個(gè)和超過(guò)100000，上面的表達(dá)式就超過(guò)1。

例4 無(wú)窮小量概念。講述這個(gè)內(nèi)容時(shí)，可以先向?qū)W生講述“數(shù)學(xué)的第二次危機(jī)——無(wú)窮小量是零嗎？”的故事。自從微積分由牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立后，一方面改變了原有的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，另一方面也出現(xiàn)了對(duì)概念無(wú)法理解的現(xiàn)象，主要體現(xiàn)在對(duì)“無(wú)窮小量”概念的理解。

喬治·貝克萊是愛(ài)爾蘭的哲學(xué)家，也是英國(guó)近代經(jīng)驗(yàn)主義哲學(xué)家的三位代表人物之一，他在1734年發(fā)表了《分析學(xué)家或者向一個(gè)不信正教數(shù)學(xué)家的進(jìn)言》，矛頭就指向微積分學(xué)的基礎(chǔ)，就是無(wú)窮小量的問(wèn)題，這就是數(shù)學(xué)史上所謂貝克萊悖論。他指出：牛頓在求xn導(dǎo)數(shù)的時(shí)候，先采取了給x以增量0，再用（x+0）n減去xn來(lái)求增量，并除以0用求出xn的增量與x的增量之比，然后又讓0消失，這樣就得出增量的最終比。

他認(rèn)為上面過(guò)程中牛頓違反了矛盾律。先設(shè)xn有增量，又令增量為零，也就是假設(shè)x沒(méi)有增量。這樣即認(rèn)為無(wú)窮小量dx既可以等于零又可以不等于零，也就是無(wú)窮小量是召之即來(lái)，揮之即去，這是荒謬的。微積分由此也就變得“神秘”了。無(wú)窮小量究竟是不是零？無(wú)窮小量及其分析是否合理呢？這個(gè)問(wèn)題就引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第二次危機(jī)。一直到一個(gè)半世紀(jì)以后，數(shù)學(xué)家柯西把無(wú)窮小量定義為一個(gè)以零為極限的變量才得以解決。對(duì)這個(gè)悖論的解釋歸根結(jié)底是人們對(duì)變量及有限、無(wú)限的認(rèn)識(shí)缺陷而造成的。通過(guò)這樣數(shù)學(xué)故事的講述，能夠引起學(xué)生的思考。

三、結(jié)論

總之，在微積分的課堂教學(xué)中，可以結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，適當(dāng)穿插數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史背景及發(fā)展歷程等相關(guān)的感性材料或再現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程。通過(guò)這些感性的具體的生動(dòng)的材料，將讓學(xué)生體會(huì)到微積分中數(shù)學(xué)知識(shí)的美感，削弱學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的枯燥無(wú)味，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和積極性，這時(shí)數(shù)學(xué)的無(wú)窮魅力將會(huì)呈現(xiàn)在學(xué)生面前；同時(shí)，也會(huì)加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理的理解。本文在此方面做了一些有益的嘗試。

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