妙用“數(shù)形結(jié)合”，巧解小學(xué)數(shù)學(xué)問題

羅海明

“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)的重要思想方法之一，而且“數(shù)形結(jié)合”能培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維、抽象思維和形象思維。著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)形結(jié)合千般好，數(shù)形分離萬事休。”可見數(shù)形結(jié)合的重要性。

一、注重“形”與“數(shù)”之間的結(jié)合

在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中，應(yīng)注重“數(shù)”與“形”之間的結(jié)合。通過“形”來刺激學(xué)生的感官，使其首先進(jìn)行仔細(xì)觀察，進(jìn)而得出計(jì)算關(guān)系，而這種計(jì)算關(guān)系則涉及“數(shù)”。根據(jù)數(shù)學(xué)問題中“數(shù)”的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造出與之相應(yīng)的集合圖形，并利用幾何圖形的特征、規(guī)律來研究和解決問題，這樣可以化抽象為直觀，易于顯露出問題的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)借助幾何直觀審題，還可以避免一些復(fù)雜的數(shù)字討論，在這里我們暫且稱之為“以形助數(shù)”。 “以形助數(shù)”其實(shí)是指在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，經(jīng)常會(huì)有抽象的數(shù)學(xué)概念和復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，而我們往往可以借助圖形使之形象化、直觀化，把抽象的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，避免繁雜的計(jì)算，獲得出奇制勝的解法。 “以形助數(shù)” 中的“形”，或有形或無形。若有形，則可為圖表與模型；若無形，則可另行構(gòu)造或聯(lián)想。因此“以形助數(shù)”的途徑大體有三種：一是運(yùn)用圖形；二是構(gòu)造圖形；三是借助于代數(shù)式的幾何意義。小學(xué)階段常用第一種或第二種，第三種則在高學(xué)段中偶爾有出現(xiàn)。那么“以形助數(shù)”該如何運(yùn)用到課堂中去呢？

【例1】計(jì)算如圖1所示圖形的面積。

■

圖1

首先讓學(xué)生審題：（1）從整體上來看，圖1為一個(gè)什么平面圖形？（2）圖1中有幾個(gè)三角形，它們的特征是什么？讓學(xué)生帶著這兩個(gè)問題進(jìn)行思考，最終得出如下解題思路。

解題思路分析：要求梯形的面積，那么就需要知道上底、下底以及高這三個(gè)條件。由圖1可以看出，該梯形的高是6厘米，那么解題的關(guān)鍵就是求出上底以及下底的長(zhǎng)度，或者求出它們二者的長(zhǎng)度和。在左邊的直角三角形中，其中一個(gè)內(nèi)角是45°，由此可知左邊這個(gè)直角三角形為等腰直角三角形，因此梯形高的左邊部分與下底相等。同理可知，右邊的小三角形也是一個(gè)等腰直角三角形，因此梯形的上底與高的右邊部分相等。然后按照等腰直角三角形的含義推出該梯形上下底長(zhǎng)度之和為梯形高，即為6厘米，因此根據(jù)梯形的面積公式得（上底+下底）×高÷2=（6×6）÷2=18（平方厘米）。

【例2】如圖2所示，直角三角形的面積為12平方厘米，計(jì)算圓的面積大小。

■

圖2

首先提出兩個(gè)問題：（1）圖2中包括哪兩種圖形？（2）兩種圖形各自的面積計(jì)算的基本公式是什么？

解題思路分析：根據(jù)圓的面積計(jì)算公式S=πr2，若要計(jì)算圓的面積，那么解決此題的關(guān)鍵之處在于先求出r。在圖2中，三角形的底以及高都是圓的半徑，圖中陰影部分三角形面積S=r×r÷2=12（平方厘米），即r2=12÷2=6（平方厘米），所以圓的面積為6π=6×3.14=18.84（平方厘米）。

二、借助圖形想象，感受數(shù)形結(jié)合的魅力

有些數(shù)學(xué)問題看似無從下手，如果引導(dǎo)學(xué)生通過圖形想象，由題目的抽象語言表述構(gòu)想出相應(yīng)的圖形并與圖形聯(lián)系起來思考，常能得到非常新穎、巧妙的解題方法，從而拓寬學(xué)生的解題思路。

【例3】有甲、乙、丙、丁四個(gè)數(shù)，甲數(shù)比乙數(shù)大7，甲數(shù)比丙數(shù)、乙數(shù)比丁數(shù)都大5，甲、乙兩數(shù)的積比丙、丁兩數(shù)的積大140，求甲、乙兩數(shù)的積。

這道題超出小學(xué)的知識(shí)范疇，直接求是有困難的。因此，引導(dǎo)學(xué)生通過想像，將“數(shù)”化為“形”：畫一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為甲，寬為乙，把長(zhǎng)方形的面積想像為甲、乙兩數(shù)之積，陰影面積為丙、丁兩數(shù)的積，空白面積為甲、乙兩數(shù)的積比丙、丁兩數(shù)的積大140。如圖3。

■

圖3

解：由圖可知140-5×5=115，

115=5×23=5×（丙+丁），

所以，丙+丁=23。

根據(jù)已知條件，甲數(shù)比乙數(shù)大7，

所以，丙-丁=7，

丙=（23+7）÷2=15，

丁=15-7=8。

這樣甲、乙兩數(shù)與甲、乙兩數(shù)的積也就都可以求了。

一個(gè)看似關(guān)系復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，因?yàn)榕c圖形的有效結(jié)合，就找到了解決它的一條捷徑。抽象思維的結(jié)果可以用形象的方式表現(xiàn)，當(dāng)然，形象思維的結(jié)果也需要進(jìn)行抽象的表達(dá)。如在教學(xué)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算時(shí)，首先讓學(xué)生操作并觀察“每排擺幾個(gè) ，與長(zhǎng)方形的長(zhǎng)有什么關(guān)系？”“一共擺幾排，與長(zhǎng)方形的寬有什么關(guān)系？”讓學(xué)生在操作觀察中建立表象，從中領(lǐng)悟關(guān)系——長(zhǎng)幾厘米，每排就可以擺幾個(gè)；寬幾厘米，就可以擺幾排。然后學(xué)生“在腦子里擺學(xué)具”，并思考“長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬與它的面積有什么關(guān)系”的問題，學(xué)生通過空間想象，在頭腦中進(jìn)行表象的補(bǔ)形，結(jié)合思考抽象成算式，最后由一組算式抽象概括成“長(zhǎng)方形面積的計(jì)算公式”。還有后繼學(xué)習(xí)的“幾何圖形面積、體積的計(jì)算”都可以這樣形象地表現(xiàn)，抽象地表達(dá)。把要學(xué)的知識(shí)（公式）“創(chuàng)造”出來，運(yùn)用數(shù)與式來細(xì)致入微地刻畫形的特征，就能讓學(xué)生充分感受數(shù)形結(jié)合的無窮魅力。

三、在練習(xí)設(shè)計(jì)時(shí)滲透

線段圖是理解抽象數(shù)量關(guān)系的形象化、視覺化的工具。在解決一些數(shù)量關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問題時(shí)，采用數(shù)形結(jié)合，可以使抽象復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得簡(jiǎn)單明了，使抽象的數(shù)學(xué)問題直觀形象。

【例4】國慶節(jié)期間，文峰商場(chǎng)搞促銷活動(dòng)，如果購買1000元以上的商品，就可以把超過1000元的部分打八折。張叔叔準(zhǔn)備買一個(gè)價(jià)格為1200元的洗衣機(jī)，李阿姨要買一個(gè)500元的電飯煲。兩個(gè)人合著買比分開買可以省多少元？

通過思考，學(xué)生得出了兩種解題方法。

生1：先求出分開購買所花的錢數(shù)，（1200-1000）×80%+1000+500=1660（元）；再求出合著購買所花的錢數(shù)，（1200+500-1000）×80%+1000=1560（元）。最后求出合著買比分開買省的錢數(shù)，1660-1560=100（元）。endprint

生2：合著買與分開買的區(qū)別在于，少花了一個(gè)500元的（1-80%），所以可以直接用“500×（1-80%）=l00（元）”來進(jìn)行計(jì)算。

聽完生2的話，很多學(xué)生表示不理解。這時(shí)，教師讓學(xué)生在黑板上畫圖來表示。在學(xué)生畫出方法二的線段圖后，教師又請(qǐng)另一個(gè)學(xué)生把方法一的線段圖畫在上面。（如圖4）

■

圖4

當(dāng)學(xué)生借助線段圖對(duì)比，很快就發(fā)現(xiàn)了兩種方法所蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系，頓時(shí)恍然大悟。從圖上容易看出，真正省出的錢就是那500元的20%。

四、幾點(diǎn)建議

1.多樣化呈現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生從圖形中獲取信息來解決問題的能力

荷蘭數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)教育家H.Freudenthal提出數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)再現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過程的觀點(diǎn)。他強(qiáng)調(diào)：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確的方法是實(shí)行再創(chuàng)造。”并指出：“對(duì)學(xué)生和數(shù)學(xué)家應(yīng)該同樣看待，讓他們擁有同樣的權(quán)利，那就是通過再創(chuàng)造，而不是抄襲和仿效。通過再創(chuàng)造獲得的知識(shí)與能力要比以被動(dòng)方式獲得的更容易保持。”如果教師在教學(xué)中畫圖靈活多變，不僅能開拓學(xué)生的視野，而且能讓學(xué)生從中選擇自己喜歡的畫圖方式。除此之外，教師靈活多變的作圖方式可以使學(xué)生真正理解數(shù)與形的意義，在之后遇到相類似卻不同的題目時(shí)不會(huì)只是簡(jiǎn)單的模仿，而會(huì)創(chuàng)造性地運(yùn)用自己已有的對(duì)數(shù)形結(jié)合的知識(shí)解決問題。

2.讓學(xué)生形成運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決問題的習(xí)慣

教師在教授簡(jiǎn)單應(yīng)用題，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的意義，加、減、乘、除的意義和計(jì)算的過程中，應(yīng)該時(shí)時(shí)刻刻讓學(xué)生感受到“形”在這些學(xué)習(xí)中的重要性。教師在自己的教學(xué)過程中不僅要樹立數(shù)形結(jié)合的教學(xué)意識(shí)，還要畫相應(yīng)的圖形來輔助學(xué)生理解新知識(shí)，且要求學(xué)生也能畫出相應(yīng)的圖形。在學(xué)習(xí)了平面圖形、立體圖形后，當(dāng)它們的周長(zhǎng)、面積、表面積及體積發(fā)生變化時(shí)，要求學(xué)生先畫出相應(yīng)的圖形，用“形”來直觀地呈現(xiàn)出它們的變化，從而再用數(shù)來表示，達(dá)到用“形”來理解“數(shù)”，用“數(shù)”來表示“形”的效果。經(jīng)過這樣有目的、有針對(duì)性的訓(xùn)練，能讓學(xué)生形成良好的數(shù)形結(jié)合的好習(xí)慣，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和轉(zhuǎn)化能力，讓學(xué)生獲得運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解題的好習(xí)慣。

綜上所述，數(shù)形結(jié)合是抽象思維與形象思維完美的統(tǒng)一。在學(xué)生獲取知識(shí)和解決數(shù)學(xué)問題的學(xué)習(xí)過程中，教師只有時(shí)時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)學(xué)生靈活地將抽象思維和形象思維有機(jī)結(jié)合，才能有效地提高學(xué)生學(xué)習(xí)的效率和數(shù)學(xué)能力。同時(shí)，學(xué)生在數(shù)形的轉(zhuǎn)換中從“單一”走向“靈活”，才深刻體會(huì)數(shù)學(xué)外在的形式美和內(nèi)在的思維美，從而感嘆數(shù)學(xué)之美妙。

（責(zé)編 金 鈴）endprint

生2：合著買與分開買的區(qū)別在于，少花了一個(gè)500元的（1-80%），所以可以直接用“500×（1-80%）=l00（元）”來進(jìn)行計(jì)算。

聽完生2的話，很多學(xué)生表示不理解。這時(shí)，教師讓學(xué)生在黑板上畫圖來表示。在學(xué)生畫出方法二的線段圖后，教師又請(qǐng)另一個(gè)學(xué)生把方法一的線段圖畫在上面。（如圖4）

■

圖4

當(dāng)學(xué)生借助線段圖對(duì)比，很快就發(fā)現(xiàn)了兩種方法所蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系，頓時(shí)恍然大悟。從圖上容易看出，真正省出的錢就是那500元的20%。

四、幾點(diǎn)建議

1.多樣化呈現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生從圖形中獲取信息來解決問題的能力

荷蘭數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)教育家H.Freudenthal提出數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)再現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過程的觀點(diǎn)。他強(qiáng)調(diào)：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確的方法是實(shí)行再創(chuàng)造。”并指出：“對(duì)學(xué)生和數(shù)學(xué)家應(yīng)該同樣看待，讓他們擁有同樣的權(quán)利，那就是通過再創(chuàng)造，而不是抄襲和仿效。通過再創(chuàng)造獲得的知識(shí)與能力要比以被動(dòng)方式獲得的更容易保持。”如果教師在教學(xué)中畫圖靈活多變，不僅能開拓學(xué)生的視野，而且能讓學(xué)生從中選擇自己喜歡的畫圖方式。除此之外，教師靈活多變的作圖方式可以使學(xué)生真正理解數(shù)與形的意義，在之后遇到相類似卻不同的題目時(shí)不會(huì)只是簡(jiǎn)單的模仿，而會(huì)創(chuàng)造性地運(yùn)用自己已有的對(duì)數(shù)形結(jié)合的知識(shí)解決問題。

2.讓學(xué)生形成運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決問題的習(xí)慣

教師在教授簡(jiǎn)單應(yīng)用題，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的意義，加、減、乘、除的意義和計(jì)算的過程中，應(yīng)該時(shí)時(shí)刻刻讓學(xué)生感受到“形”在這些學(xué)習(xí)中的重要性。教師在自己的教學(xué)過程中不僅要樹立數(shù)形結(jié)合的教學(xué)意識(shí)，還要畫相應(yīng)的圖形來輔助學(xué)生理解新知識(shí)，且要求學(xué)生也能畫出相應(yīng)的圖形。在學(xué)習(xí)了平面圖形、立體圖形后，當(dāng)它們的周長(zhǎng)、面積、表面積及體積發(fā)生變化時(shí)，要求學(xué)生先畫出相應(yīng)的圖形，用“形”來直觀地呈現(xiàn)出它們的變化，從而再用數(shù)來表示，達(dá)到用“形”來理解“數(shù)”，用“數(shù)”來表示“形”的效果。經(jīng)過這樣有目的、有針對(duì)性的訓(xùn)練，能讓學(xué)生形成良好的數(shù)形結(jié)合的好習(xí)慣，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和轉(zhuǎn)化能力，讓學(xué)生獲得運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解題的好習(xí)慣。

綜上所述，數(shù)形結(jié)合是抽象思維與形象思維完美的統(tǒng)一。在學(xué)生獲取知識(shí)和解決數(shù)學(xué)問題的學(xué)習(xí)過程中，教師只有時(shí)時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)學(xué)生靈活地將抽象思維和形象思維有機(jī)結(jié)合，才能有效地提高學(xué)生學(xué)習(xí)的效率和數(shù)學(xué)能力。同時(shí)，學(xué)生在數(shù)形的轉(zhuǎn)換中從“單一”走向“靈活”，才深刻體會(huì)數(shù)學(xué)外在的形式美和內(nèi)在的思維美，從而感嘆數(shù)學(xué)之美妙。

（責(zé)編 金 鈴）endprint

生2：合著買與分開買的區(qū)別在于，少花了一個(gè)500元的（1-80%），所以可以直接用“500×（1-80%）=l00（元）”來進(jìn)行計(jì)算。

聽完生2的話，很多學(xué)生表示不理解。這時(shí)，教師讓學(xué)生在黑板上畫圖來表示。在學(xué)生畫出方法二的線段圖后，教師又請(qǐng)另一個(gè)學(xué)生把方法一的線段圖畫在上面。（如圖4）

■

圖4

當(dāng)學(xué)生借助線段圖對(duì)比，很快就發(fā)現(xiàn)了兩種方法所蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系，頓時(shí)恍然大悟。從圖上容易看出，真正省出的錢就是那500元的20%。

四、幾點(diǎn)建議

1.多樣化呈現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生從圖形中獲取信息來解決問題的能力

荷蘭數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)教育家H.Freudenthal提出數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)再現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過程的觀點(diǎn)。他強(qiáng)調(diào)：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確的方法是實(shí)行再創(chuàng)造。”并指出：“對(duì)學(xué)生和數(shù)學(xué)家應(yīng)該同樣看待，讓他們擁有同樣的權(quán)利，那就是通過再創(chuàng)造，而不是抄襲和仿效。通過再創(chuàng)造獲得的知識(shí)與能力要比以被動(dòng)方式獲得的更容易保持。”如果教師在教學(xué)中畫圖靈活多變，不僅能開拓學(xué)生的視野，而且能讓學(xué)生從中選擇自己喜歡的畫圖方式。除此之外，教師靈活多變的作圖方式可以使學(xué)生真正理解數(shù)與形的意義，在之后遇到相類似卻不同的題目時(shí)不會(huì)只是簡(jiǎn)單的模仿，而會(huì)創(chuàng)造性地運(yùn)用自己已有的對(duì)數(shù)形結(jié)合的知識(shí)解決問題。

2.讓學(xué)生形成運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決問題的習(xí)慣

教師在教授簡(jiǎn)單應(yīng)用題，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的意義，加、減、乘、除的意義和計(jì)算的過程中，應(yīng)該時(shí)時(shí)刻刻讓學(xué)生感受到“形”在這些學(xué)習(xí)中的重要性。教師在自己的教學(xué)過程中不僅要樹立數(shù)形結(jié)合的教學(xué)意識(shí)，還要畫相應(yīng)的圖形來輔助學(xué)生理解新知識(shí)，且要求學(xué)生也能畫出相應(yīng)的圖形。在學(xué)習(xí)了平面圖形、立體圖形后，當(dāng)它們的周長(zhǎng)、面積、表面積及體積發(fā)生變化時(shí)，要求學(xué)生先畫出相應(yīng)的圖形，用“形”來直觀地呈現(xiàn)出它們的變化，從而再用數(shù)來表示，達(dá)到用“形”來理解“數(shù)”，用“數(shù)”來表示“形”的效果。經(jīng)過這樣有目的、有針對(duì)性的訓(xùn)練，能讓學(xué)生形成良好的數(shù)形結(jié)合的好習(xí)慣，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和轉(zhuǎn)化能力，讓學(xué)生獲得運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解題的好習(xí)慣。

綜上所述，數(shù)形結(jié)合是抽象思維與形象思維完美的統(tǒng)一。在學(xué)生獲取知識(shí)和解決數(shù)學(xué)問題的學(xué)習(xí)過程中，教師只有時(shí)時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)學(xué)生靈活地將抽象思維和形象思維有機(jī)結(jié)合，才能有效地提高學(xué)生學(xué)習(xí)的效率和數(shù)學(xué)能力。同時(shí)，學(xué)生在數(shù)形的轉(zhuǎn)換中從“單一”走向“靈活”，才深刻體會(huì)數(shù)學(xué)外在的形式美和內(nèi)在的思維美，從而感嘆數(shù)學(xué)之美妙。

（責(zé)編 金 鈴）endprint