例談小學(xué)數(shù)學(xué)的習(xí)題教學(xué)

伏蕓蕓

習(xí)題是小學(xué)數(shù)學(xué)教材的重要組成部分，是學(xué)生進(jìn)行有效學(xué)習(xí)的重要載體，教材中每一道習(xí)題的編排既有知識(shí)應(yīng)用與技能形成的功能，也有為學(xué)生積累基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，明晰數(shù)學(xué)基本思想，鍛煉思維的價(jià)值。在實(shí)踐中，一般教師比較重視教材中范例的教學(xué)，但不屑于對(duì)教材習(xí)題進(jìn)行研究，有時(shí)僅僅把教材的習(xí)題作為作業(yè)布置給學(xué)生，缺少對(duì)習(xí)題的挖掘以及教學(xué)過(guò)程的整合，使得習(xí)題功能弱化，教材意圖不能凸顯。

課程標(biāo)準(zhǔn)提出教師要挖掘好習(xí)題背后隱藏的思維內(nèi)涵，在課堂教學(xué)中正確把握好數(shù)學(xué)知識(shí)的深度、廣度、梯度，合理利用教材中相關(guān)基礎(chǔ)習(xí)題進(jìn)行必要的“還原”，優(yōu)化教材，豐富教學(xué)資源。

一、深究習(xí)題，展示思維

深究習(xí)題就是教師在分析學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過(guò)引導(dǎo)使學(xué)生對(duì)知識(shí)有更進(jìn)一步的理解，對(duì)問(wèn)題的思考更深刻。維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)”理論告訴我們，學(xué)生在現(xiàn)有認(rèn)知水平和教師引導(dǎo)下可能達(dá)到的水平之間有一個(gè)區(qū)域，這就是“最近發(fā)展區(qū)”。教學(xué)就要作用于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，從而促進(jìn)學(xué)生發(fā)展。

【案例1】四年級(jí)教材上有這樣一題：在得數(shù)相同的兩個(gè)算式后面畫(huà)“√”。

（1）（28+16）×7 28×7+16×7 □

（2）15×39+45×39 （15+45）×39 □

（3）74×（20+1） 74×20+74 □

（4）40×50+50×90 40×（50+90） □

學(xué)生答題后，教師指著第（4）題引導(dǎo)學(xué)生交流。

師：這題是左邊算式的結(jié)果大，還是右邊算式的結(jié)果大？你是怎樣看出來(lái)的？

生1：左邊等于2000+4500=6500，右邊等于40×140=5600，所以左邊算式結(jié)果大。

生2：40×50+50×90=50×（40+90）=50×130=6500，40×（50+90）=40×140=5600，所以左邊算式的結(jié)果大。

生3：40×（50+90）=40×50+40×90，和左邊的算式比較，都有40×50，而40×90比50×90小，所以左邊算式的結(jié)果比右邊大。

上述處理使習(xí)題中內(nèi)在的思維價(jià)值充分外顯，學(xué)生對(duì)乘法分配率的掌握得以深化，不再是為了解題而解題，而是通過(guò)讓學(xué)生獨(dú)立思考、自主探索、合作交流、猜測(cè)驗(yàn)證等來(lái)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平及問(wèn)題解決的能力，學(xué)生在解題過(guò)程中獲得了成功的體驗(yàn)，數(shù)學(xué)能力得到了發(fā)展。

【案例2】六年級(jí)教材中的一題：

■

分?jǐn)?shù) 分?jǐn)?shù) 分?jǐn)?shù)

小數(shù) 小數(shù) 小數(shù)

一位教師是這樣教學(xué)的。

第一層次：讓學(xué)生用分?jǐn)?shù)和小數(shù)表示陰影部分。這是對(duì)素材中基本要求的達(dá)成。

第二層次：讓學(xué)生用分?jǐn)?shù)和小數(shù)表示空白部分。這是對(duì)素材進(jìn)一步的開(kāi)發(fā)，也是辯證統(tǒng)一思想的滲透。

第三層次：教師出示另一個(gè)空白圖形和0.3、0.35、0.012三個(gè)數(shù)，讓學(xué)生在空白圖形中分別表示出這三個(gè)數(shù)。這是對(duì)學(xué)生逆向思考能力的培養(yǎng)。

第四層次：教師繼續(xù)提供空白圖形，讓學(xué)生自主涂色，并用分?jǐn)?shù)和小數(shù)表示陰影和空白部分。這是創(chuàng)造和提升。

在這個(gè)教學(xué)片斷中教師順著學(xué)生的思維特點(diǎn)，由淺入深對(duì)同一個(gè)素材進(jìn)行了充分的挖掘和深究，從不同的角度來(lái)審視素材的內(nèi)蘊(yùn)，使課堂變得簡(jiǎn)約卻富有意蘊(yùn)。

二、拆分習(xí)題，點(diǎn)撥思維

教材習(xí)題是對(duì)教學(xué)內(nèi)容的鞏固和發(fā)展。教師要領(lǐng)會(huì)教材意圖，優(yōu)化使用教材習(xí)題，放大習(xí)題資源功能，在新課程理念的引領(lǐng)下，將習(xí)題教學(xué)演繹得更加精彩。教材習(xí)題的呈現(xiàn)方式是多樣的，有的可以直接呈現(xiàn)，有的可以逐步呈現(xiàn)，有的需要設(shè)計(jì)一定的情境呈現(xiàn)，要根據(jù)教學(xué)的需要靈活選擇呈現(xiàn)的方式，使習(xí)題功能增值。

【案例3】有這么一節(jié)“百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”的公開(kāi)課，讓人聽(tīng)后不由得為教者對(duì)教材的教學(xué)資源的充分挖掘與利用贊嘆。

第一層次出示圖1，讓學(xué)生用三種數(shù)表示出陰影部分的面積。

■

圖1 圖2

分?jǐn)?shù) 小數(shù) 百分?jǐn)?shù)

師：你想先填哪一個(gè)？（讓學(xué)生根據(jù)自己喜好任選一種數(shù)先填）能把這三類(lèi)數(shù)進(jìn)行互化嗎？

（師先示范一個(gè)，學(xué)生自己開(kāi)始填其余兩種數(shù)）

第二層次：用這樣的三種數(shù)你能表示出空白部分的面積嗎？

學(xué)生試一試，相互選一題說(shuō)一說(shuō)是如何想的。

教師選一題讓學(xué)生匯報(bào)。

第三層次：（電腦出示圖2）按要求在圖2中用陰影分別表示出0.4，■，0.012。

師：如何在圖2中把0.4表示出來(lái)？

生：先把0.4化為■。（學(xué)生試做）

師：■可以直接表示嗎？

師：0.012化為百分?jǐn)?shù)是多少？化為多少便于表示，可以試著涂一涂。

第四層次：（電腦出示空白圖）

師：用自己喜歡的方式，自主在圖形中涂色，并說(shuō)說(shuō)小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)該如何表示。

綜觀教者對(duì)習(xí)題四個(gè)層次的設(shè)計(jì)，層層推進(jìn)，思維逐步深入，提升與發(fā)展了學(xué)生的綜合能力。教師對(duì)書(shū)本習(xí)題資源進(jìn)行挖掘與利用的處理方式，使得習(xí)題的內(nèi)涵更加豐富，教學(xué)不再停留在就題講題的層面上，有利于學(xué)生加深對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)，點(diǎn)撥了學(xué)生的思維，拓展了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成了一定的解題策略。

教學(xué)要以教材中的習(xí)題為依據(jù)，但又不拘泥于教材習(xí)題，教學(xué)中習(xí)題呈現(xiàn)方式的改變給學(xué)生提供了更多實(shí)踐、探索的空間，從而達(dá)到激活課堂、點(diǎn)化思維的教學(xué)目的。

【案例4】教學(xué)“7的乘法口訣”一節(jié)，教材上有一道習(xí)題設(shè)計(jì)了“每排七罐奶粉，共有六排，問(wèn)一共有多少罐奶粉”的問(wèn)題情境，教學(xué)時(shí)教師除了讓學(xué)生在解決問(wèn)題中進(jìn)一步熟練7的乘法口訣，同時(shí)還有意培養(yǎng)學(xué)生的估算意識(shí)，激活思維。（下圖中用○表示一個(gè)牛奶罐）endprint

■

出示圖3，請(qǐng)學(xué)生估計(jì)出這個(gè)盒子里可以放多少牛奶罐。在學(xué)生猜的基礎(chǔ)上給出圖4進(jìn)行提示，多數(shù)學(xué)生的估計(jì)比較接近于答案。這時(shí)出示圖5，學(xué)生都能說(shuō)出得到正確答案的原因。教師通過(guò)圖示，為學(xué)生估計(jì)、判斷提供了支點(diǎn)，讓學(xué)生感悟到估計(jì)時(shí)所考慮的相關(guān)因素越多，結(jié)果越準(zhǔn)確。這一經(jīng)歷，學(xué)生對(duì)“估”的認(rèn)識(shí)不僅僅停留在“猜”的經(jīng)驗(yàn)上，而是提升了學(xué)生的思維，使估算有理。事實(shí)證明，靈活拆分、組合、調(diào)整習(xí)題的內(nèi)容，能較好地實(shí)現(xiàn)教材編寫(xiě)者的意圖，切實(shí)體現(xiàn)了新課程的理念。

三、延伸習(xí)題，引深思維

教材中的習(xí)題是編者根據(jù)大部分學(xué)生的水平設(shè)計(jì)的，因此不可能面面俱到，不可能完全照顧到每個(gè)學(xué)生的實(shí)際情況。課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)：不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。因此，教師要盡可能拓展習(xí)題的功能，既要鞏固基礎(chǔ)又能培養(yǎng)能力，使每個(gè)層次的學(xué)生都能有所發(fā)展。

【案例5】四年級(jí)上冊(cè)教材第97頁(yè)“想想做做”第5題是這樣的：□中可以填哪些數(shù)？

9□875≈10萬(wàn) 39□0000000≈39億

在學(xué)生獲得準(zhǔn)確結(jié)果后，教師提出：老師也想了一個(gè)整數(shù)，它四舍五入到萬(wàn)位后也是10萬(wàn)，這個(gè)數(shù)最大可能是多少？最小可能是多少呢？

學(xué)生迅速思考、動(dòng)筆嘗試。

生1：這個(gè)數(shù)最大是99999，最小是95000。

生2：不對(duì)，最大應(yīng)該是104000。

師：你是怎樣想的？

生2：要想原來(lái)這個(gè)數(shù)最大，顯然不能五入得到10萬(wàn)，而應(yīng)四舍得到10萬(wàn)。所以，原數(shù)千位上應(yīng)該是4，這個(gè)數(shù)最大是104000。

生3：我覺(jué)得還可以更大，應(yīng)該是104999。因?yàn)榍簧鲜恰?”后，百位、十位和個(gè)位上的數(shù)不會(huì)影響結(jié)果。

生4：我也覺(jué)得是104999，因?yàn)槿绻俦人?，那就成105000了，而這個(gè)數(shù)四舍五入到萬(wàn)位是11萬(wàn)，不符合題目要求。

盡管原題已經(jīng)具備了一定的開(kāi)放性，但這種開(kāi)放性更多的是建立在嘗試、歸納的基礎(chǔ)上，思維含量并不豐富。而延伸后的習(xí)題，無(wú)論從其答案的開(kāi)放性，還是其思維容量上來(lái)看，都有了更多的超越，在培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密、有序、合理性等方面，都是原題所無(wú)法比擬的。

【案例6】四年級(jí)上冊(cè)第101頁(yè)有這樣一道習(xí)題：先用計(jì)算器算出前四題的得數(shù)，再直接填出后兩題橫線上的數(shù)。

1×1=

11×11=

111×111=

1111×1111=

× =

一位教師在教學(xué)中，對(duì)習(xí)題進(jìn)行了改編與延伸。

師：既然同學(xué)們都會(huì)用計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算了，下面就請(qǐng)大家拿出計(jì)算器，試著算出下面這道題的結(jié)果。

111111111×111111111=

很快，學(xué)生通過(guò)操作紛紛發(fā)現(xiàn)這道題的“問(wèn)題所在”。

生1：我的計(jì)算器只能顯示8位，9個(gè)1顯示不了。

生2：我的計(jì)算器只能顯示10位，但計(jì)算結(jié)果顯示不出來(lái)，大概是數(shù)位不夠吧。

師：看來(lái)，計(jì)算器也不是萬(wàn)能的。我們是否能想點(diǎn)法子進(jìn)行研究呢？

生3：我們可以從11×11算起。

師：那你們就研究吧！

（學(xué)生在邊研究邊討論）

生4：11×11=121，111×111=12321，1111×1111=1234321。

生5：我知道了，這題的結(jié)果為12345678987654321。

師：說(shuō)說(shuō)你的想法。

（學(xué)生交流了自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律）

在這個(gè)教學(xué)中教師不是讓學(xué)生按部就班地去“發(fā)現(xiàn)”規(guī)律，而是先引出認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生進(jìn)行自主思考，并讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下自覺(jué)建構(gòu)模型，并最終利用模型解決相關(guān)問(wèn)題。這種教學(xué)方式給了我們豐富的啟示，值得我們深思、借鑒。

四、拓展習(xí)題，發(fā)散思維

數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要的作用。教師應(yīng)將思維訓(xùn)練貫穿于整個(gè)教學(xué)過(guò)程，當(dāng)然，在教學(xué)習(xí)題時(shí)也不能例外，教師要用足用好每一道練習(xí)題，認(rèn)真鉆研教材，理解編排意圖，明確每一道習(xí)題的作用和功能，有效地加以拓展、發(fā)散學(xué)生的思維。

【案例7】四年級(jí)下冊(cè)教材第81頁(yè)有這樣一道習(xí)題：4個(gè)任意的小球，分別標(biāo)上數(shù)字1、2、3、4。每次任意摸出2個(gè)小球，兩數(shù)之和為偶數(shù)算小紅贏，兩數(shù)之和為奇數(shù)算小明贏。這樣的游戲規(guī)則公平嗎？

看到這道習(xí)題，生1忍不住回答：當(dāng)然公平啦。

師（及時(shí)給他表達(dá)的機(jī)會(huì)）：那你說(shuō)說(shuō)自己的想法。

生1：因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)相加的和可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)，所以可能性同樣大，也就是這個(gè)游戲規(guī)則公平。

生2：我也認(rèn)為這個(gè)游戲規(guī)則公平，因?yàn)榻o我們的4個(gè)數(shù)當(dāng)中有2個(gè)奇數(shù)和2個(gè)偶數(shù)，當(dāng)然是公平的。

師：你們說(shuō)的似乎很有道理，其他同學(xué)有不同看法嗎？

生3：不一定吧，雖然是2個(gè)奇數(shù)和2個(gè)偶數(shù)，但是它們的和也不一定正好一半是奇數(shù)，一半是偶數(shù)吧。

師：那我們就動(dòng)筆來(lái)算算，用數(shù)據(jù)說(shuō)話吧。

（學(xué)生探究的欲望被調(diào)動(dòng)起來(lái)了，紛紛在作業(yè)本上計(jì)算起來(lái)）

生4：我知道了，這個(gè)游戲規(guī)則不公平。它們?nèi)我鈨蓚€(gè)數(shù)字的和有6種不同情況，分別是“1+2=3，1+3=4，1+4=5，2+3=5，2+4=6，3+4=7”。在這6種和之中，偶數(shù)的只有2種情況，而奇數(shù)的卻有4種情況。

師（適時(shí)進(jìn)行引導(dǎo)，將學(xué)生的思維引向深處）：可是剛才幾個(gè)同學(xué)的回答聽(tīng)起來(lái)也挺有道理的，怎么就會(huì)不公平了呢？

生5：因?yàn)橹灰瞧鏀?shù)加偶數(shù)就得到奇數(shù)，而偶數(shù)加偶數(shù)或者奇數(shù)加奇數(shù)才得到偶數(shù)，但是偶數(shù)加偶數(shù)或者奇數(shù)加奇數(shù)的情況比較少。

教師并沒(méi)有結(jié)束此題的教學(xué)，而在原有問(wèn)題的基礎(chǔ)上進(jìn)行了發(fā)散。因?yàn)橹灰辛碎_(kāi)放的交流，學(xué)生的思維一定會(huì)在發(fā)散中得到提升。

師：那有什么辦法讓這個(gè)游戲變得公平呢？

（學(xué)生立刻在作業(yè)本上驗(yàn)算起來(lái)，過(guò)了一會(huì)，他們又有了新的收獲）

生6：只要將這4個(gè)數(shù)字改成1個(gè)偶數(shù)和3個(gè)奇數(shù)就公平了。比如改成1、2、3、5。

生7：或者將這4個(gè)數(shù)字改成3個(gè)偶數(shù)和1個(gè)奇數(shù)也公平。比如改成2、3、4、6。

真為學(xué)生精彩的發(fā)言和獨(dú)到的見(jiàn)解而驕傲。在這個(gè)教學(xué)過(guò)程中，教師讓學(xué)生通過(guò)訓(xùn)練不斷探索解題的捷徑，使學(xué)生思維的廣闊性得到不斷地?cái)U(kuò)充，而多次的漸進(jìn)式的拓展訓(xùn)練，又使學(xué)生進(jìn)入了廣闊而又發(fā)散思維的佳境。

教材習(xí)題是整合知識(shí)的重要載體，也是提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要工具。教學(xué)中教師要充分挖掘好習(xí)題的內(nèi)涵，放寬教學(xué)思路，引導(dǎo)學(xué)生參與分析、類(lèi)比、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)，將知識(shí)系統(tǒng)化，實(shí)現(xiàn)解題思路的自我發(fā)現(xiàn)、自我構(gòu)建和自我創(chuàng)造，將知識(shí)轉(zhuǎn)化成智慧。

（責(zé)編 金 鈴）endprint

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出示圖3，請(qǐng)學(xué)生估計(jì)出這個(gè)盒子里可以放多少牛奶罐。在學(xué)生猜的基礎(chǔ)上給出圖4進(jìn)行提示，多數(shù)學(xué)生的估計(jì)比較接近于答案。這時(shí)出示圖5，學(xué)生都能說(shuō)出得到正確答案的原因。教師通過(guò)圖示，為學(xué)生估計(jì)、判斷提供了支點(diǎn)，讓學(xué)生感悟到估計(jì)時(shí)所考慮的相關(guān)因素越多，結(jié)果越準(zhǔn)確。這一經(jīng)歷，學(xué)生對(duì)“估”的認(rèn)識(shí)不僅僅停留在“猜”的經(jīng)驗(yàn)上，而是提升了學(xué)生的思維，使估算有理。事實(shí)證明，靈活拆分、組合、調(diào)整習(xí)題的內(nèi)容，能較好地實(shí)現(xiàn)教材編寫(xiě)者的意圖，切實(shí)體現(xiàn)了新課程的理念。

三、延伸習(xí)題，引深思維

教材中的習(xí)題是編者根據(jù)大部分學(xué)生的水平設(shè)計(jì)的，因此不可能面面俱到，不可能完全照顧到每個(gè)學(xué)生的實(shí)際情況。課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)：不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。因此，教師要盡可能拓展習(xí)題的功能，既要鞏固基礎(chǔ)又能培養(yǎng)能力，使每個(gè)層次的學(xué)生都能有所發(fā)展。

【案例5】四年級(jí)上冊(cè)教材第97頁(yè)“想想做做”第5題是這樣的：□中可以填哪些數(shù)？

9□875≈10萬(wàn) 39□0000000≈39億

在學(xué)生獲得準(zhǔn)確結(jié)果后，教師提出：老師也想了一個(gè)整數(shù)，它四舍五入到萬(wàn)位后也是10萬(wàn)，這個(gè)數(shù)最大可能是多少？最小可能是多少呢？

學(xué)生迅速思考、動(dòng)筆嘗試。

生1：這個(gè)數(shù)最大是99999，最小是95000。

生2：不對(duì)，最大應(yīng)該是104000。

師：你是怎樣想的？

生2：要想原來(lái)這個(gè)數(shù)最大，顯然不能五入得到10萬(wàn)，而應(yīng)四舍得到10萬(wàn)。所以，原數(shù)千位上應(yīng)該是4，這個(gè)數(shù)最大是104000。

生3：我覺(jué)得還可以更大，應(yīng)該是104999。因?yàn)榍簧鲜恰?”后，百位、十位和個(gè)位上的數(shù)不會(huì)影響結(jié)果。

生4：我也覺(jué)得是104999，因?yàn)槿绻俦人?，那就成105000了，而這個(gè)數(shù)四舍五入到萬(wàn)位是11萬(wàn)，不符合題目要求。

盡管原題已經(jīng)具備了一定的開(kāi)放性，但這種開(kāi)放性更多的是建立在嘗試、歸納的基礎(chǔ)上，思維含量并不豐富。而延伸后的習(xí)題，無(wú)論從其答案的開(kāi)放性，還是其思維容量上來(lái)看，都有了更多的超越，在培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密、有序、合理性等方面，都是原題所無(wú)法比擬的。

【案例6】四年級(jí)上冊(cè)第101頁(yè)有這樣一道習(xí)題：先用計(jì)算器算出前四題的得數(shù)，再直接填出后兩題橫線上的數(shù)。

1×1=

11×11=

111×111=

1111×1111=

× =

一位教師在教學(xué)中，對(duì)習(xí)題進(jìn)行了改編與延伸。

師：既然同學(xué)們都會(huì)用計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算了，下面就請(qǐng)大家拿出計(jì)算器，試著算出下面這道題的結(jié)果。

111111111×111111111=

很快，學(xué)生通過(guò)操作紛紛發(fā)現(xiàn)這道題的“問(wèn)題所在”。

生1：我的計(jì)算器只能顯示8位，9個(gè)1顯示不了。

生2：我的計(jì)算器只能顯示10位，但計(jì)算結(jié)果顯示不出來(lái)，大概是數(shù)位不夠吧。

師：看來(lái)，計(jì)算器也不是萬(wàn)能的。我們是否能想點(diǎn)法子進(jìn)行研究呢？

生3：我們可以從11×11算起。

師：那你們就研究吧！

（學(xué)生在邊研究邊討論）

生4：11×11=121，111×111=12321，1111×1111=1234321。

生5：我知道了，這題的結(jié)果為12345678987654321。

師：說(shuō)說(shuō)你的想法。

（學(xué)生交流了自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律）

在這個(gè)教學(xué)中教師不是讓學(xué)生按部就班地去“發(fā)現(xiàn)”規(guī)律，而是先引出認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生進(jìn)行自主思考，并讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下自覺(jué)建構(gòu)模型，并最終利用模型解決相關(guān)問(wèn)題。這種教學(xué)方式給了我們豐富的啟示，值得我們深思、借鑒。

四、拓展習(xí)題，發(fā)散思維

數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要的作用。教師應(yīng)將思維訓(xùn)練貫穿于整個(gè)教學(xué)過(guò)程，當(dāng)然，在教學(xué)習(xí)題時(shí)也不能例外，教師要用足用好每一道練習(xí)題，認(rèn)真鉆研教材，理解編排意圖，明確每一道習(xí)題的作用和功能，有效地加以拓展、發(fā)散學(xué)生的思維。

【案例7】四年級(jí)下冊(cè)教材第81頁(yè)有這樣一道習(xí)題：4個(gè)任意的小球，分別標(biāo)上數(shù)字1、2、3、4。每次任意摸出2個(gè)小球，兩數(shù)之和為偶數(shù)算小紅贏，兩數(shù)之和為奇數(shù)算小明贏。這樣的游戲規(guī)則公平嗎？

看到這道習(xí)題，生1忍不住回答：當(dāng)然公平啦。

師（及時(shí)給他表達(dá)的機(jī)會(huì)）：那你說(shuō)說(shuō)自己的想法。

生1：因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)相加的和可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)，所以可能性同樣大，也就是這個(gè)游戲規(guī)則公平。

生2：我也認(rèn)為這個(gè)游戲規(guī)則公平，因?yàn)榻o我們的4個(gè)數(shù)當(dāng)中有2個(gè)奇數(shù)和2個(gè)偶數(shù)，當(dāng)然是公平的。

師：你們說(shuō)的似乎很有道理，其他同學(xué)有不同看法嗎？

生3：不一定吧，雖然是2個(gè)奇數(shù)和2個(gè)偶數(shù)，但是它們的和也不一定正好一半是奇數(shù)，一半是偶數(shù)吧。

師：那我們就動(dòng)筆來(lái)算算，用數(shù)據(jù)說(shuō)話吧。

（學(xué)生探究的欲望被調(diào)動(dòng)起來(lái)了，紛紛在作業(yè)本上計(jì)算起來(lái)）

生4：我知道了，這個(gè)游戲規(guī)則不公平。它們?nèi)我鈨蓚€(gè)數(shù)字的和有6種不同情況，分別是“1+2=3，1+3=4，1+4=5，2+3=5，2+4=6，3+4=7”。在這6種和之中，偶數(shù)的只有2種情況，而奇數(shù)的卻有4種情況。

師（適時(shí)進(jìn)行引導(dǎo)，將學(xué)生的思維引向深處）：可是剛才幾個(gè)同學(xué)的回答聽(tīng)起來(lái)也挺有道理的，怎么就會(huì)不公平了呢？

生5：因?yàn)橹灰瞧鏀?shù)加偶數(shù)就得到奇數(shù)，而偶數(shù)加偶數(shù)或者奇數(shù)加奇數(shù)才得到偶數(shù)，但是偶數(shù)加偶數(shù)或者奇數(shù)加奇數(shù)的情況比較少。

教師并沒(méi)有結(jié)束此題的教學(xué)，而在原有問(wèn)題的基礎(chǔ)上進(jìn)行了發(fā)散。因?yàn)橹灰辛碎_(kāi)放的交流，學(xué)生的思維一定會(huì)在發(fā)散中得到提升。

師：那有什么辦法讓這個(gè)游戲變得公平呢？

（學(xué)生立刻在作業(yè)本上驗(yàn)算起來(lái)，過(guò)了一會(huì)，他們又有了新的收獲）

生6：只要將這4個(gè)數(shù)字改成1個(gè)偶數(shù)和3個(gè)奇數(shù)就公平了。比如改成1、2、3、5。

生7：或者將這4個(gè)數(shù)字改成3個(gè)偶數(shù)和1個(gè)奇數(shù)也公平。比如改成2、3、4、6。

真為學(xué)生精彩的發(fā)言和獨(dú)到的見(jiàn)解而驕傲。在這個(gè)教學(xué)過(guò)程中，教師讓學(xué)生通過(guò)訓(xùn)練不斷探索解題的捷徑，使學(xué)生思維的廣闊性得到不斷地?cái)U(kuò)充，而多次的漸進(jìn)式的拓展訓(xùn)練，又使學(xué)生進(jìn)入了廣闊而又發(fā)散思維的佳境。

教材習(xí)題是整合知識(shí)的重要載體，也是提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要工具。教學(xué)中教師要充分挖掘好習(xí)題的內(nèi)涵，放寬教學(xué)思路，引導(dǎo)學(xué)生參與分析、類(lèi)比、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)，將知識(shí)系統(tǒng)化，實(shí)現(xiàn)解題思路的自我發(fā)現(xiàn)、自我構(gòu)建和自我創(chuàng)造，將知識(shí)轉(zhuǎn)化成智慧。

（責(zé)編 金 鈴）endprint

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出示圖3，請(qǐng)學(xué)生估計(jì)出這個(gè)盒子里可以放多少牛奶罐。在學(xué)生猜的基礎(chǔ)上給出圖4進(jìn)行提示，多數(shù)學(xué)生的估計(jì)比較接近于答案。這時(shí)出示圖5，學(xué)生都能說(shuō)出得到正確答案的原因。教師通過(guò)圖示，為學(xué)生估計(jì)、判斷提供了支點(diǎn)，讓學(xué)生感悟到估計(jì)時(shí)所考慮的相關(guān)因素越多，結(jié)果越準(zhǔn)確。這一經(jīng)歷，學(xué)生對(duì)“估”的認(rèn)識(shí)不僅僅停留在“猜”的經(jīng)驗(yàn)上，而是提升了學(xué)生的思維，使估算有理。事實(shí)證明，靈活拆分、組合、調(diào)整習(xí)題的內(nèi)容，能較好地實(shí)現(xiàn)教材編寫(xiě)者的意圖，切實(shí)體現(xiàn)了新課程的理念。

三、延伸習(xí)題，引深思維

教材中的習(xí)題是編者根據(jù)大部分學(xué)生的水平設(shè)計(jì)的，因此不可能面面俱到，不可能完全照顧到每個(gè)學(xué)生的實(shí)際情況。課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)：不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。因此，教師要盡可能拓展習(xí)題的功能，既要鞏固基礎(chǔ)又能培養(yǎng)能力，使每個(gè)層次的學(xué)生都能有所發(fā)展。

【案例5】四年級(jí)上冊(cè)教材第97頁(yè)“想想做做”第5題是這樣的：□中可以填哪些數(shù)？

9□875≈10萬(wàn) 39□0000000≈39億

在學(xué)生獲得準(zhǔn)確結(jié)果后，教師提出：老師也想了一個(gè)整數(shù)，它四舍五入到萬(wàn)位后也是10萬(wàn)，這個(gè)數(shù)最大可能是多少？最小可能是多少呢？

學(xué)生迅速思考、動(dòng)筆嘗試。

生1：這個(gè)數(shù)最大是99999，最小是95000。

生2：不對(duì)，最大應(yīng)該是104000。

師：你是怎樣想的？

生2：要想原來(lái)這個(gè)數(shù)最大，顯然不能五入得到10萬(wàn)，而應(yīng)四舍得到10萬(wàn)。所以，原數(shù)千位上應(yīng)該是4，這個(gè)數(shù)最大是104000。

生3：我覺(jué)得還可以更大，應(yīng)該是104999。因?yàn)榍簧鲜恰?”后，百位、十位和個(gè)位上的數(shù)不會(huì)影響結(jié)果。

生4：我也覺(jué)得是104999，因?yàn)槿绻俦人?，那就成105000了，而這個(gè)數(shù)四舍五入到萬(wàn)位是11萬(wàn)，不符合題目要求。

盡管原題已經(jīng)具備了一定的開(kāi)放性，但這種開(kāi)放性更多的是建立在嘗試、歸納的基礎(chǔ)上，思維含量并不豐富。而延伸后的習(xí)題，無(wú)論從其答案的開(kāi)放性，還是其思維容量上來(lái)看，都有了更多的超越，在培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密、有序、合理性等方面，都是原題所無(wú)法比擬的。

【案例6】四年級(jí)上冊(cè)第101頁(yè)有這樣一道習(xí)題：先用計(jì)算器算出前四題的得數(shù)，再直接填出后兩題橫線上的數(shù)。

1×1=

11×11=

111×111=

1111×1111=

× =

一位教師在教學(xué)中，對(duì)習(xí)題進(jìn)行了改編與延伸。

師：既然同學(xué)們都會(huì)用計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算了，下面就請(qǐng)大家拿出計(jì)算器，試著算出下面這道題的結(jié)果。

111111111×111111111=

很快，學(xué)生通過(guò)操作紛紛發(fā)現(xiàn)這道題的“問(wèn)題所在”。

生1：我的計(jì)算器只能顯示8位，9個(gè)1顯示不了。

生2：我的計(jì)算器只能顯示10位，但計(jì)算結(jié)果顯示不出來(lái)，大概是數(shù)位不夠吧。

師：看來(lái)，計(jì)算器也不是萬(wàn)能的。我們是否能想點(diǎn)法子進(jìn)行研究呢？

生3：我們可以從11×11算起。

師：那你們就研究吧！

（學(xué)生在邊研究邊討論）

生4：11×11=121，111×111=12321，1111×1111=1234321。

生5：我知道了，這題的結(jié)果為12345678987654321。

師：說(shuō)說(shuō)你的想法。

（學(xué)生交流了自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律）

在這個(gè)教學(xué)中教師不是讓學(xué)生按部就班地去“發(fā)現(xiàn)”規(guī)律，而是先引出認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生進(jìn)行自主思考，并讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下自覺(jué)建構(gòu)模型，并最終利用模型解決相關(guān)問(wèn)題。這種教學(xué)方式給了我們豐富的啟示，值得我們深思、借鑒。

四、拓展習(xí)題，發(fā)散思維

數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要的作用。教師應(yīng)將思維訓(xùn)練貫穿于整個(gè)教學(xué)過(guò)程，當(dāng)然，在教學(xué)習(xí)題時(shí)也不能例外，教師要用足用好每一道練習(xí)題，認(rèn)真鉆研教材，理解編排意圖，明確每一道習(xí)題的作用和功能，有效地加以拓展、發(fā)散學(xué)生的思維。

【案例7】四年級(jí)下冊(cè)教材第81頁(yè)有這樣一道習(xí)題：4個(gè)任意的小球，分別標(biāo)上數(shù)字1、2、3、4。每次任意摸出2個(gè)小球，兩數(shù)之和為偶數(shù)算小紅贏，兩數(shù)之和為奇數(shù)算小明贏。這樣的游戲規(guī)則公平嗎？

看到這道習(xí)題，生1忍不住回答：當(dāng)然公平啦。

師（及時(shí)給他表達(dá)的機(jī)會(huì)）：那你說(shuō)說(shuō)自己的想法。

生1：因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)相加的和可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)，所以可能性同樣大，也就是這個(gè)游戲規(guī)則公平。

生2：我也認(rèn)為這個(gè)游戲規(guī)則公平，因?yàn)榻o我們的4個(gè)數(shù)當(dāng)中有2個(gè)奇數(shù)和2個(gè)偶數(shù)，當(dāng)然是公平的。

師：你們說(shuō)的似乎很有道理，其他同學(xué)有不同看法嗎？

生3：不一定吧，雖然是2個(gè)奇數(shù)和2個(gè)偶數(shù)，但是它們的和也不一定正好一半是奇數(shù)，一半是偶數(shù)吧。

師：那我們就動(dòng)筆來(lái)算算，用數(shù)據(jù)說(shuō)話吧。

（學(xué)生探究的欲望被調(diào)動(dòng)起來(lái)了，紛紛在作業(yè)本上計(jì)算起來(lái)）

生4：我知道了，這個(gè)游戲規(guī)則不公平。它們?nèi)我鈨蓚€(gè)數(shù)字的和有6種不同情況，分別是“1+2=3，1+3=4，1+4=5，2+3=5，2+4=6，3+4=7”。在這6種和之中，偶數(shù)的只有2種情況，而奇數(shù)的卻有4種情況。

師（適時(shí)進(jìn)行引導(dǎo)，將學(xué)生的思維引向深處）：可是剛才幾個(gè)同學(xué)的回答聽(tīng)起來(lái)也挺有道理的，怎么就會(huì)不公平了呢？

生5：因?yàn)橹灰瞧鏀?shù)加偶數(shù)就得到奇數(shù)，而偶數(shù)加偶數(shù)或者奇數(shù)加奇數(shù)才得到偶數(shù)，但是偶數(shù)加偶數(shù)或者奇數(shù)加奇數(shù)的情況比較少。

教師并沒(méi)有結(jié)束此題的教學(xué)，而在原有問(wèn)題的基礎(chǔ)上進(jìn)行了發(fā)散。因?yàn)橹灰辛碎_(kāi)放的交流，學(xué)生的思維一定會(huì)在發(fā)散中得到提升。

師：那有什么辦法讓這個(gè)游戲變得公平呢？

（學(xué)生立刻在作業(yè)本上驗(yàn)算起來(lái)，過(guò)了一會(huì)，他們又有了新的收獲）

生6：只要將這4個(gè)數(shù)字改成1個(gè)偶數(shù)和3個(gè)奇數(shù)就公平了。比如改成1、2、3、5。

生7：或者將這4個(gè)數(shù)字改成3個(gè)偶數(shù)和1個(gè)奇數(shù)也公平。比如改成2、3、4、6。

真為學(xué)生精彩的發(fā)言和獨(dú)到的見(jiàn)解而驕傲。在這個(gè)教學(xué)過(guò)程中，教師讓學(xué)生通過(guò)訓(xùn)練不斷探索解題的捷徑，使學(xué)生思維的廣闊性得到不斷地?cái)U(kuò)充，而多次的漸進(jìn)式的拓展訓(xùn)練，又使學(xué)生進(jìn)入了廣闊而又發(fā)散思維的佳境。

教材習(xí)題是整合知識(shí)的重要載體，也是提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要工具。教學(xué)中教師要充分挖掘好習(xí)題的內(nèi)涵，放寬教學(xué)思路，引導(dǎo)學(xué)生參與分析、類(lèi)比、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)，將知識(shí)系統(tǒng)化，實(shí)現(xiàn)解題思路的自我發(fā)現(xiàn)、自我構(gòu)建和自我創(chuàng)造，將知識(shí)轉(zhuǎn)化成智慧。

（責(zé)編 金 鈴）endprint