尺規作圖化圓為方

巴彥縣興隆第二中

尺規作圖化圓為方

巴彥縣興隆第二中譚忠仁

“化圓為方”是數學三大作圖難題之一，作者在“尺規作圖，三等分任意角”作圖方法的基礎上，給出“化圓為方”的作圖方法，既準確，又簡捷，并給出科學嚴謹的證明.圓弧和線段原本不是同類量，但在譚老師所作圖形的相互制約下，特定的圓弧與線段可以等點，特定的圓弧與線段可以等長，這無疑是一個數學先例，如同把一根線繞在圓柱上，令其兩端恰好銜接，此時這根線構成了一個圓周，當我們把線取下，拉直，它扔然是一條線段，由此可見，圓弧線與線段是可以等長的.

證明如下：

已知：⊙O的半徑為R，面積為仔R2，

求作：正方形ABCD,使正方形ABCD面積=⊙0的面積.

作法：

G1G的垂直平分線MT，交GA的延長線于T、H為垂足；連結TG1，連結AF；

在AG上截取AT4，使AT4=R；

在GT的延長線上，依次截取TT1=T1T2=T2T3=TA；以T4T3為直徑作⊙O1；

作AB⊥T4T3，A為垂足交⊙01于B；作BC1⊥AB，B作為垂足；

在射線BC1上截取BC，使BC=AB；

在AT3上截取AD，使AD=AB；

連結CD.

則四邊形ABCD即是所求作的正方形.

證明：1.MT是G1G的垂直平分線△TG1G為等腰三角形，AE⊥FG，OF=OG.由于等腰三角形TG1G和等腰三角形AFG特定的位置關系和制約關系，我們可作出下面的輔助線：在線段TA上取任意一點T5，以T5為圓心，以T5G為半徑畫弧，必交于上，令其交點為N，連結T5N，連結NG，則易知△T5NG為等腰三角形，再在線段TA上任意取一點T6，以T6為圓心，以T6G為半徑畫弧，必交于，令其交點為N1，連結T6N1，連結N1G，則易知△T6N1G為等腰三角形，如果繼續在TA上取點按同樣方法作下去，就可以作出類似于等腰三角形T5NG，等腰三角形T6NG的無數個等腰三角形，加之等腰三角形TG1G，等腰三角形AFG，所有這些等腰三角形的共同特點是：頂角的頂點都在TA上，左側底角的頂點都在上，而右側底角的頂點是公共點G，左側腰線都是相交線，且兩兩相交，右側腰線都在TG上，由此可知：線段TA上點的總數，等于等腰三角形的個數，等于等腰三角形左腰的條數，等于等腰三角形左側底角的頂點在上的個數，它們是一一對應關系，由于所有的等腰三角形左腰兩兩相交，所以，所有的左側底角的頂點相互不會再出現重合，因此，我們暫時得出第一個結論：上點的總數≥等腰三角形左側底角的頂點個數，上點的總數≥等腰三角形的個數，上點的總數≥線段TA上點的總數.

2.作弦NG的垂直平分線，則這條垂直平分線必經過圓心O，必經過等腰三角形T5NG頂角的頂點T5，可知T5O即是NG的垂直平分線，再作弦N1G的垂直平分線，則這條垂直平分線也必經過圓心O，必經過等腰三角形T6N1G頂角的頂點T6，可知T6O即是N1G的垂直平分線，只要在上任意取一個點，所取點與G點的連線，就是⊙O的一條弦，分別作每一條弦的垂直平分線，均交于線段TA上，這是由于受弦G1G的垂直平分線MT和直徑FG和垂直平分線AE制約局限所至，因此上點的總數，等于G1G、NG、N1G、FG等弦的條數，等于MT、T50、T60、AE等垂直平分線的條數，等于垂直平分線與TA相交的交點個數，它們也是一一對應關系，由于所有的垂直平分線都經過圓心O，也就是都交于圓心O，所以，所有的垂直平分線與TA的交點之間不會再出現重合，因此，我們暫時得出第二個結論：線段TA上點的總數≥所有垂直平分線與TA相交的交點個數≥線段TA上點的總數≥所有垂直平分線的條數，線段TA上點的總數≥所有弦的條數，線段TA上點的總數≥上點的總數.

下面，我們用反證法也可證明這一命題：

假設上點的總數≠線段TA上點的總數，則會出現兩種情況：第一種情況是上點的總數＞線段TA上點的總數，第二種情況是上點的總數＜線段TA上點的總數.

先證明第一種情況：

當上點的總數＜線段TA上線段TA上點的總數.

由于線段TA上點的總數=等腰三角形的個數=等腰三角形左側底角的頂點個數，所以，當上點的總數＜等腰三角形左側底角的頂點個數，這樣，頂點與頂點之間出現重合，這與已經證出的頂點與頂點之間根本不能重合相矛盾.

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?編輯/張燁