螺栓連接結構接觸面剛度識別方法①

姜 東，史勤豐，費慶國，吳邵慶

(1．江蘇省工程力學分析重點實驗室，南京 210096;2．東南大學土木工程學院工程力學系，南京 210096)

0 引言

螺栓連接在機械結構中應用廣泛，連接結構在預緊力和荷載作用下會產生多種力學效應，如粘合、微觀滑移(局部滑移)和宏觀滑移(整體滑移)等，在極端工況下，甚至會發生分離和拍擊現象。但在預緊力足夠大或者激振力幅值較小情況下，所發生的微觀滑移能夠線性化處理［1］。螺栓連接的有限元模擬方法主要分為2類:非線性接觸算法和界面單元法［1－2］。前者需要不斷通過接觸算法判別接觸狀態，迭代計算結構響應，計算量較大。薄層單元屬于界面接觸單元的一種，最早來自于模擬巖石接觸的力學分析［3－5］。近年來，國外已將薄層單元應用于焊接、螺栓連接等形式的機械連接建模中［6－8］。研究表明，薄層單元可準確模擬連接結構的力學特性，相對于接觸算法計算效率較高，但需要通過試驗得到接觸面薄層單元的剛度參數，對不同方向的接觸剛度需要分別進行試驗，工作量較大;對試驗裝置、試驗方法要求較高。國內方面，薄層單元的應用主要集中于巖土結構的分析，如金峰等［9］用薄層單元分析了重力壩體的抗震穩定性分析;黃耀英等［10］分析了基于橫觀各向同性體本構方程簡化得到的薄層單元的本構方程;螺栓連接模擬方法方面，采用虛擬各向同性材料模擬固定連接界面的方法［11］，計算頻率與試驗值誤差小于9%。黃開放等基于虛擬材料的方法［12］能夠應用于預緊力變化的連接結構動力學仿真，其結果與試驗值誤差在±6%以內。接觸面剛度對螺栓連接結構動態特性具有重要影響。

針對固定結合面的螺栓連接結構，本文提出了一種能夠準確識別螺栓搭接結構接觸面剛度性能的方法。在薄層單元基本理論基礎上，對單個螺栓搭接和多個螺栓搭接2種結構進行有限元建模，接觸界面采用基于正交各向異性本構關系的薄層單元模擬，根據試驗模態參數，識別其材料參數。

1 基本理論

1．1 接觸面力學性能

對于固定接觸界面螺栓連接，外力作用下接觸狀態為粘合，或者僅發生微小的局部相對位移(微觀滑移)，不會發生宏觀滑移及分離等非線性效應，此時各接觸面之間僅存在法向接觸力和切向摩擦力，圖1為螺栓連接接觸面力學性能示意圖。在此前提下，可近似地將接觸剛度線性等效，建立具有線性本構關系的固定結合面單元，無需定義接觸以及采用接觸搜索算法來判斷連接部位接觸狀態;進而在很大程度上簡化接觸面模擬和計算。采用薄層單元針對實際的接觸狀態建立結合面參數化模型，便于進行連接結構的參數識別。

圖1 螺栓連接接觸面力學性能Fig．1 Mechanical properties of contact surface in bolted-joint

1．2 薄層單元理論

薄層單元最早由Desai等［3］提出，在相鄰接觸體之間，定義一層特殊單元來等效連接界面接觸力學特征。

考慮尺寸為l1×l2×d的薄層單元，根據虛位移原理，得到如下的虛功方程:

其中，l1和l2是薄層單元在單元局部坐標系下x和y方向上的長度;d為z方向尺寸。通過等參變換計算薄層單元剛度矩陣K:

圖2為薄層單元等參變換，其中ξ、η、ζ是自然坐標符號;J為雅克比矩陣。當自然坐標與局部坐標的坐標軸方向一致，J可表示為

圖2 薄層單元等參變換Fig．2 Iso-parametric transformation of thin-layer element

對于薄層單元，厚度d遠小于另2個方向的特征尺寸 l1和 l2，單元的面內應變分量(εx，εy，γxy)和應力分量(σx，σy，τxy)將被忽略［3］。采用單元形函數進行分析［10］，?Ni/?z遠大于 ?Ni/?x 和 ?Ni/?y(其中 Ni為單元形函數)，可認為 ?Ni/?x= ?Ni/?y≈0，從而得出應變分量εx=εy=γxy≈0。因此，薄層單元在高斯點上的應變分量只有3個不為零，應變分量簡化為ε=［εzγyzγzx］T。將接觸面的法向{e}n和2 個切向{e}t分別定義為薄層單元局部坐標系的z、x、y方向，假設連接界面法向和切向接觸性能相互獨立，2個切向的接觸性能具有一致性，表征界面接觸性能的薄層單元本構方程可表示為

總之，基于碳氟鍵斷裂或活化的硼化反應作為新的氟化學和硼化學的交叉研究領域正日益引起人們的關注，新反應、新方法也層出不窮。我們相信將碳氟鍵的惰性與硼酯基團強大的反應能力相結合，一定會為藥物的后階段修飾策略 (the late-stage drug modification) 提供強有力工具。鈀或鐵催化的芳基氟的硼化反應[12]發表在Organic Letters, 2018, 20, 5564上，銅催化的偕二氟烯烴的硼化反應[14]發表在Organic Letters, 2017, 19, 3283上。該兩項工作得到了國家自然科學基金和中國科學院有機氟化學重點實驗室開放課題的支持。

其中，En、Gt分別是薄層單元的法向彈性常數和切向剪切模量，由連接結構接觸面性能決定。若接觸面的法向與切向接觸性能相互耦合，可在本構關系式(4)中加入耦合項來實現［13］。

在有限元計算中，可采用正交各向異性材料本構關系模擬薄層單元，其本構方程為

正交各向異性材料共有9個獨立的材料參數，3個方向的楊氏模量 E11、E22、E33，3 個泊松比 ν12、ν23、ν31，3 個剪切模量 G12、G23、G31。根據薄層單元的基本理論，εx=εy=εxy≈0，材料本構方程將退化為

此時，薄層單元僅采用3個獨立的彈性參數E33、G23、G31來模擬接觸性能。

2 薄層單元參數

2．1 單元厚度

薄層單元厚度對接觸性能的描述有較大影響。若厚度過大，難以準確體現接觸界面的力學特征;厚度過小，則會導致雅可比矩陣行列式的值趨向于零，矩陣病態，求逆困難，有限元求解時，無法計算位移-應變關系。對于厚度的選擇，定義一個比例系數［3－4，13］:

2．2 接觸剛度

薄層單元材料參數是螺栓連接結構有限元分析關鍵問題之一。對于接觸面保持線性粘合狀態的情況，彈性矩陣中的G和E都是常數［8］，一般通過試驗得出，將其集成到薄層單元中，就能對連接結構進行準確的有限元動力分析。但對不同方向的接觸剛度需分別進行測試，工作量較大;對試驗裝置、試驗方法要求也較高。本文采用動態試驗數據來識別連接結合面薄層單元的參數。

3 算例研究

采用單個螺栓和多個螺栓的搭接結構開展研究?；诼菟ù罱咏Y構模態試驗結果，將系統參數識別轉化為優化問題，采用靈敏度分析方法，識別接觸面薄層單元的正交各向異性本構關系材料參數。

螺栓搭接結構Ⅰ為1個螺栓的2塊鋁板搭接情況，螺栓搭接結構Ⅱ是2塊鋁板通過4個螺栓搭接而成。結構幾何尺寸和搭接情況如圖3所示，搭接板材料為鋁合金，材料彈性模量E=6 800 MPa，密度ρ=2 800 kg/m3，泊松比 ν=0．33。

圖3 螺栓搭接結構Ⅰ和ⅡFig．3 Bolted-joint structuresⅠ and Ⅱ

3．1 模態試驗

對自由-自由狀態下2種螺栓搭接結構的線性連接狀態分別進行模態試驗，得到前4階橫向振動模態參數。圖4為螺栓搭接結構I、II前4階振型和頻率。

3．2 參數識別

建立了模型Ⅰ和模型Ⅱ的初始有限元模型，側重整體連接結構的動態特征分析，忽略螺栓質量和螺孔的影響，主要考慮等效接觸剛度模型。搭接板用實體單元，接觸界面用正交各向異性本構關系的薄層單元模擬。

將薄層單元材料參數識別轉化為優化問題［14］。建立的目標函數是前四階彎曲振型的計算和試驗結果殘差加權平方和最小

目標函數J(p)定義為在結構待識別參數合理取值范圍p1≤p≤p2內，試驗與計算模態參數的殘差加權平方和取極小值。r為模態參數的殘差，zm、za(p)分別為試驗與計算的模態參數，加權矩陣W為反映各模態參數殘差相對權重的對角陣。設定待修正參數的初值，采用靈敏度分析的方法，迭代求解優化問題(8)，第j個迭代步的問題描述為

式中 Sj=W1/2?zj/?pj為模態參數對待修正參數的加權靈敏度矩陣。

采用數值方法求解式(9)，可得pj+1，迭代直到待識別參數p收斂，且計算模態參數精度滿足要求，則得到準確的接觸面材料參數。

3．2．1 算例1——螺栓搭接結構Ⅰ

圖5為螺栓搭接結構I有限元網格與結合面薄層單元示意圖。圖6為螺栓搭接結構I結合面薄層單元材料參數迭代收斂曲線。表1為薄層單元材料參數初始值和識別值。表2為參數識別前后計算與試驗模態參數誤差比較。

圖4 螺栓搭接結構Ⅰ、Ⅱ前四階試驗振型和頻率Fig．4 The first four mode shapes and modal frequencies of bolted-joint structureⅠandⅡ

根據接觸面與螺栓的距離不同，將其等分為3部分，采用2種不同正交各向異性本構關系，模擬薄層單元，并進行參數識別。靠近螺栓的區域待識別參數為彈性模量 E33－1和剪切模量 G23－1，G31－1;遠離螺栓的區域待識別參數為彈性模量 E33－2和剪切模量 G23－2，G31－2。薄層單元的厚度根據R=10來選取，密度取為0。

圖5 螺栓搭接結構Ⅰ有限元網格與結合面薄層單元Fig．5 Finite element model of structure Ⅰ and thin-layer element of the contact surface

圖6 螺栓搭接結構Ⅰ結合面薄層單元材料參數迭代收斂曲線Fig．6 Convergence of the material properties of thin-layer element in structureⅠ

表1 結構Ⅰ結合面薄層單元材料參數初始值和識別值Table 1 Initial and identified values of thin-layer element in contact surface of the structureⅠ

表2 結構Ⅰ參數識別前后計算與試驗模態參數誤差比較Table 2 Comparison of errors in modal data between before and after identification of the structureⅠ

識別后，固有頻率的最大誤差不超過3．5%，識別精度較高。從表1可見，兩方向的剪切模量G23和G31基本一致，楊氏模量E33顯著大于剪切模量G23和G31，能反映接觸界面法向剛度大于切向接觸剛度的特征;靠近螺栓區域的結合面材料參數識別結果大于遠離螺栓區域，符合實際情況。因此，基于各向異性的薄層單元能反映出描述切向和法向接觸性能之間的關系，并保證一定的計算精度。

3．2．2 算例2——螺栓搭接結構Ⅱ

螺栓搭接結構Ⅱ是2塊鋁板通過4個螺栓搭接而成。相對于結構Ⅰ，螺栓分布更為密集，接觸情況更加復雜。采用2種薄層單元模擬接觸界面。圖7為螺栓搭接結構Ⅱ有限元網格與結合面薄層單元示意圖。圖8為螺栓搭接結構Ⅱ結合面等效虛擬材料參數迭代收斂曲線。表3為結合面薄層單元材料參數初始值和識別值。表4為參數識別前后計算與試驗模態參數誤差比較。

在約2倍螺桿直徑的矩形區域內，定義虛擬正交各向異性材料1，待識別參數為彈性模量E33－1，剪切模量 G23－1、G32－1;在其他區域，定義虛擬正交各向異性材料2，識別參數為彈性模量 E33－2，剪切模量 G23－2、G31－2。薄層單元厚度同樣根據R=10選取，材料密度取0。

識別后，計算模態頻率最大誤差不超過2．5%，識別精度較高。由表3可見，薄層單元材料的彈性參數在螺栓附近明顯高于其他區域，且法向彈性模量大于剪切模量，與搭接結構接觸面力學性能一致;由于螺栓較為密集，接觸剛度分布容易受鄰近螺栓的影響，識別的剪切模量 G23－1、G32－1有一定的差別，但依然能保證結構整體動態性的準確性。因此，基于虛擬各向異性材料的薄層單元，能較好地模擬多個螺栓搭接結構的連接性能。

表3 結構Ⅱ結合面薄層單元材料參數初始值和識別值Table 3 Initial and identified values of thin-layer element in contact surface of the structureⅡ

表4 結構Ⅱ參數識別前后計算與試驗模態參數誤差比較Table 4 Comparison of errors in modal data between before and after identification of the structureⅡ

圖7 螺栓搭接結構Ⅱ有限元網格與結合面薄層單元Fig．7 Finite element model of structure Ⅱ and thin-layer element of the contact surface

4 結論

(1)對于2種螺栓連接結構，識別后計算模態頻率最大誤差均不超過3．5%，薄層單元參數能準確描述螺栓搭接結構的接觸剛度。

圖8 螺栓搭接結構Ⅱ結合面薄層單元參數迭代收斂曲線Fig．8 Convergence of the material properties of thin-layer element in structureⅡ

(2)采用2種不同性能的薄層單元模擬接觸界面，參數識別結果符合接觸面之間的力學關系，能較好地反映接觸界面剛度分布不均勻性。

(3)本文方法適用于單個螺栓搭接和多個螺栓搭接等多種工況的有限元精確模擬及接觸面剛度識別。

［1］ Bograd S，Reuss P，Schmidt A，et al．Modeling the dynamics of mechanical joints［J］．Mechanical Systems and Signal Processing，2011，25(8):2801-2826．

［2］ Yu H，Burgess I W，Davison J B，et al．Numerical simulation of bolted steel connections in fire using explicit dynamic analysis［J］．Journal of Constructional Steel Research，2008，64(5):515-525．

［3］ Desai C S，Zaman M M，Lightner J G，et al．Thin-layer element for interfaces and joints［J］．International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics，1984，8(1):19-43．

［4］ Sharma K，Desai C．Analysis and implementation of thin-layer element for interfaces and joints［J］．Journal of Engineering Mechanics，1992，118(12):2442-2462．

［5］ Pande G N，Sharma K G．On joint/interface elements and associated problems of numerical ill-conditioning［J］．International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics，1979，3(3):293-300．

［6］ Ahmadian H，Ebrahimi M，Mottershead J E，et al．Identification of bolted-joint interface models［C］//Proceeding of ISMA:Noise and Vibration Engineering Conference，Katholieke University，Leuven，Belgium，2002，Volume IV:1741-47．

［7］ Jalali H，Hedayati A，Ahmadian H．Modeling mechanical interfaces experiencing micro-slip/slap［J］．Inverse Problems in Science and Engineering，2011，19(6):751-764．

［8］ Iranzad M，Ahmadian H．Identification of nonlinear bolted lap joint models［J］．Computers and Structures，2012(4):96-97．

［9］ 金峰，邵偉，張立翔，等．模擬軟弱夾層動力特性的薄層單元及其工程應用［J］．工程力學，2002，19(2):36-40．

［10］ 黃耀英，吳中如，王德信．薄層單元基本假設和簡化探討［J］．力學與實踐，2008，130(2):49-52．

［11］ Tian H，Li B，Liu H，et al．A new method of virtual material hypothesis-based dynamic modeling on fixed joint interface in machine tools［J］．International Journal of Machine Tools＆ Manufacture，2011，51(3):239-249．

［12］ 黃開放，金建新．基于虛擬材料方法的螺栓預緊力的研究［J］．機械設計與制造，2012(8):148-150．

［13］ Mayer M，Gaul L．Segment-to-segment contact elements for modeling joint interfaces in finite element analysis［J］．Mechanical Systems and Signal Processing，2007，21(2):724-734．

［14］ 費慶國，張令彌，郭勤濤．GARTEUR有限元模型修正與確認研究［J］．航空學報，2004，25(4):372-375．