含五個未知函數的方程的非平凡整函數解

陳 靜，朱美玲

(楚雄師范學院數學與統計學院，云南 楚雄 675000)

1.引言及主要結果

在研究費馬型丟番圖方程時，人們把方程的整數解與對應的代數曲線上的有理點的研究聯系起來。例如求解丟番圖方程xn+yn=zn的整數解可轉化為求方程F(X，Y):=Xn+Yn=1在有理數域Q上的解;求解xn+yn+zn=tn的非平凡整數解的問題可以轉化為求方程F(X，Y，Z):=Xn+Yn+Zn=1的非平凡有理數解的存在性問題［1］。通過類似的研究方法，人們可以得出函數方程沒有級小于1的非常數整函數解［2—3］。而對于一般的正整數n，方程xn+yn+zn+tn+un=hn的非平凡整數解的存在性問題目前尚未解決。在本文中我們考慮一個類似的問題，即函數方程在整函數環上是否有非平凡解?獲得如下結果:

2.三個引理

對于C中的亞純函數f(z)，記log+x=max(log x，0)，

其中n(t，f)表示f(z)在圓|z|≤t(0≤t≤r)上的極點的個數(重數極點按其重數算)。n(0，f)表示f(z)在z=0處的極點重數，T(r，f)=m(r，f)+N(r，f)。

關于亞純函數，有以下結果:

引理1［1］設函數f(z)為開平面C上的亞純函數，則f(z)與其導數f'(z)有相同的級。

引理2［2］設 fj(z)(j=1，2，…，l)是非常數的整函數，如果 max{ρf1，ρf2，…，ρfj}＜ 1，則

引理3［3］設為開平面C上的n個亞純函數，則W(f，f，…，f)≡0的充要條件12n是f1，f2，…，fn線性相關，其中W(f1，f2，…，fn)表示f1，f2，…，fn的朗斯基行列式。

3.定理的證明

假設方程

存在級小于1的非常數整函數解f1(z)，f2(z)，f3(z)，f4(z)和f5(z).記

再令

因為τ(z)恒不為零，進而可得

其中 j=1，2，3，4 時，順次地分別取 k=2，3，4，5，m=1，3，4，5，n=1，2，4，5，s=1，2，3，5，t=1，2，3，4。

將(3.2)(3.3)(3.4)(3.5)(3.6)相乘并整理得

由引理1可知

于是 max{ρf1，ρf1'，ρf2，ρf2'，ρf3，ρf3'，ρf4，ρf4'，ρf5，ρf5'}＜ 1，

從而由引理2和(3.7)得

又由于τ(z)為整函數，所以τ(z)=0，這與所設矛盾，定理得證。

［1］儀洪勛，楊重駿.亞純函數唯一性理論 ［M］.北京:科學出版社，1995:376—379.

［2］LiYuhua.Uniqueness theorems for meromorphic function of order less than one［J］.Northeast，math，2000，16(04):411—416.

［3］蘇敏.函數方程f6(z)+g6(z)+h6(z)=1的整函數解 ［J］.云南師范大學學報 (自然科學版)，29(02)，2009:41—44.