基于極弧系數選擇的直線電動機法向力波動削弱方法

夏加寬，宋德賢，沈 麗

(沈陽工業大學，沈陽110870)

0 引 言

隨著永磁電機的發展，永磁同步直線電動機具有推力大、加速快、精度高以及實現進給系統的“零傳動”等優勢，逐漸取代傳統的滾珠絲桿在機床伺服系統中的作用。但由于齒槽效應、端部效應，電流諧波、電樞磁動勢諧波、永磁勵磁磁動勢諧波等的存在，當直線電動機運動的時候，不僅會在動子側引起推力波動，還會引起法向力波動，法向力的波動會引起摩擦力的攝動，進而引起水平推力的波動，影響機床的加工精度。

有關永磁直線電動機計算方法和法向力波動削弱方法的研究，國內外學者做了許多相關研究。文獻［1－2］通過優化電機動子長度方法降低邊端力，采用分數槽結構方法降低齒槽效應引起的齒槽力;文獻［3－8］研究了槽型、邊齒形狀、斜槽、斜極、輔助槽對齒槽削弱的效應，并提出了一些削弱方法;文獻［9］提出針對齒槽效應產生的諧波分析并給出了削弱方法，但是沒有針對某次諧波進行削弱。由以上文獻可以看出，齒槽效應是引起永磁直線同步電機法向力波動的一個重要原因，但還沒有歸納解析公式來解釋其內在的物理本質。基于此，本文從解析法入手，研究齒槽效應對永磁直線電動機法向力波動的影響，并研究極弧系數對其的影響。

本文以單邊平板永磁同步直線電機為研究對象，提出了在電樞開路時齒槽效應產生的法向力波動的解析方法，通過理論推導，得到了齒槽效應產生的法向力波動的解析表達式。以此為基礎，研究了不同極弧系數對直線電動機法向力波動的影響規律，總結了合理的極弧系數選擇，可以削弱直線電動機法向力波動，最后通過有限元驗證，證明所提出的方法的正確有效性。

1 電樞繞組開路時的氣隙磁場解析分析

永磁直線電動機在電樞繞組開路時，受到切向的磁阻力和法向的電磁吸力均是永磁磁動勢與電樞鐵心相互作用的結果，氣隙磁場分布決定法向吸力的大小和變化規律。永磁直線單元電機的電樞幾何模型如圖1 所示。

圖1 永磁直線單元電機的電樞幾何模型

圖中:l 為電樞鐵心長度;bt為齒頂寬度:t1為槽距;σ 為氣隙長度;τm為永磁體寬度;τ 為極距。y為某一指定齒的中心線與某一q 軸的距離。

為便于分析，本文作如下假設:1)電樞鐵心磁導率μFe為無窮大;2)永磁體的磁導率與空氣相同;3)永磁體的磁力線是垂直進入動子鐵心的，也即只有法向磁場，而無切向磁場;4)動子為無限長，即不考慮端部效應。

根據磁路基爾霍夫第二定律可得到永磁磁極在氣隙中產生的磁場為永磁磁動勢與相對氣隙磁導的乘積。即:

式中:hPM為永磁體磁場強度。

圖1 中相對氣隙磁導波寫成:

其中:

式中:z 為電機槽數。

式中:αp為極弧系數;Br為永磁體剩余磁感應強度最大值。

圖2 Br(x)的分布

由麥克斯韋張力張量定理可知，動子單位鐵心面積的法向力:

對動子鐵心面積積分，可得直線電動機動子的法向力為:

將式(1)、式(2)、式(4)代入式(6)，再將式(6)代入式(7)，并利用三角函數的正交性，得到直線電動機的動子法向力:

從式(8)可以看出，當動子和定子相對位置固定時，動子和定子之間只存在恒定的法向電磁吸力，隨著磁導波和磁場波間的相位y 發生變化，法向電磁力也就產生了波動分量。在對Br(x)進行傅里葉分解后，對法向力波動產生作用的只有kz =np 和kz=2np 次的傅里葉分解系數，其他次傅里葉分解系數對法向力波動不產生影響。

2 針對極弧系數選擇的法向力削弱方法

2.1 對Br(x)傅里葉分解系數的影響

從式(5)可以看出，極弧系數αp的選擇不同，Br(x)的傅里葉分解系數也將產生較大的變化。若使Brn=0 必須滿足=整數，通過實驗仿真可以得出直線電動機法向力的主要諧波次數n 都為3 的倍數，所以當極弧系數αp=2/3 時，對所有法向力波動有影響的Brn都等于零，這時的齒槽效應引起的法向力波動應該為最小;而當極弧系數αp=8/9，n 為9的倍數時，Brn=0。因此，極弧系數的選擇對Br(x)傅里葉分解系數的大小影響息息相關，只要選取合理的極弧系數，才能保證特定次的Br(x)傅里葉分解系數值很小，而且這些系數按照一定的規律變化。圖3 是Br(x)的次數為3 的倍數次傅里葉分解系數Brn隨極弧系數的變化曲線。按照常規電機設計方法，極弧系數一般選擇0.8 左右，從圖3 可以看出Br3、Br6、Br9的值都較大，會引起較大的法向力波動。

圖3 Brn隨極弧系數的變化曲線

本文以一臺12 槽的直線電動機為例說明極弧系數的選取確定方法，電機相關參數如表1 所示。

表1 電機參數

當直線電動機極數為8 時，法向力只與Br(x)的6a(a 為整數)次傅里葉分解系數有關，圖4 為Br(x)的6、12、18 次傅里葉分解系數隨極弧系數的變化曲線。從圖中分析可知，傅里葉分解系數隨著極弧系數的變化而有較大變化。選擇合理的極弧系數使得Br6、Br12、Br18同時最小，只要滿足Br6最小即可，因此選擇使Br6最小的極弧系數，就可以削弱法向力波動。由此可知，對于12 槽8 極電機，當極弧系數選擇2/3 時候，使得Br6a為0，此時齒槽效應產生的法向力波動也應比較小。當極弧系數為5/6 時，Br6a很大，齒槽效應產生的法向力波動也應該很大。

圖4 p=8 時Brn隨極弧系數變化曲線

當直線電動機極數為10 時，法向力只與Br(x)的12a(a 為整數)次傅里葉分解系數有關，圖5 為Br(x)的12、24、36 次傅里葉分解系數隨極弧系數的變化曲線。從圖中分析可知，傅里葉分解系數隨著極弧系數的變化而有較大變化。選擇合理的極弧系數使得Br12、Br24、Br36同時最小，只要滿足Br12最小即可，因此選取使Br12最小的極弧系數，就可以削弱法向力波動。由此可知，對于12 槽10 極電機，當極弧系數選擇為2/3 或5/6 時候，使得Br12a為0，此時的齒槽效應產生的法向力波動也應比較小。當極弧系數為3/4 時，Br12a很大，齒槽效應產生的法向力波動也應該很大。

圖5 p=10 時，Brn隨極弧系數的變化曲線

2.2 有限元仿真

為驗證上述極弧系數選擇對削弱直線電動機法向力波動方法的正確有效性，本文采用Ansoft 軟件進行有限元驗證。由于直線電動機的特殊性，若單純考慮齒槽效應，必須消除端部效應的影響，因此建模時，動子邊齒的長度為無限長，而定子為有限長，其模型如圖6 所示。

圖6 動子無限長電機仿真模型

當電機極數為10 極時，極弧系數分別選擇0.75 和5/6 時的有限元仿真如圖7 所示。

圖7 p=10 時，極弧系數為0.75 和5/6 時的法向力波形

由圖7 可以看出，極弧系數為0.75 時，法向力波動值為47.1 N;極弧系數為5/6 時，法向力波動值為36.8 N，法向力波動值減小了21.8%。當電機極數為8 極時，極弧系數分別選擇0.85 和2/3 時的有限元仿真如圖8 所示。

圖8 p=8 時，極弧系數為0.85 和2/3 時的法向力波形

由圖8 可以看出，極弧系數為0.85 時，法向力波動值為113.6 N;極弧系數為2/3 時，法向力波動值為40.8 N，法向力波動值減小了64.1%。

從以上可以看出，只要選擇合適的極弧系數就能使Brn為0，即法向力為零。但由于本文在分析計算時忽略了漏磁、飽和和切向磁場對電機的影響，因此，從圖7、圖8 可以看出，齒槽效應產生的法向力是一個很小的值，但不為零。由此可知，不同極弧系數的選擇對直線電動機法向力波動的削弱方法是正確有效的。

通過上面的分析和仿真驗證可以看出，法向力波動與極弧系數的選擇具有較大的關系，選擇合理的極弧系數，能夠較大幅度地削弱直線電動機的齒槽效應產生的法向力波動。

3 結 語

齒槽效應產生的法向力波動的大小與剩磁的傅里葉分解次數有關系，但是不是所有的次數都有關系，只有kz =np 和kz =2np 次傅里葉分解次數才對法向力波動產生作用。根據本文給出的解析方法，可以方便地確定齒槽效應引起的法向力波動的頻率和對波動幅值有影響的Br(x)的傅立葉分解次數，進而合理選擇極弧系數，削弱直線電動機法向力的波動。有限元分析結果證明本文的解析方法是正確有效的。

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