廣義延拓插值法在衛(wèi)星精密星歷中的應(yīng)用

申俊飛，鄭 沖，陳金春

（北京衛(wèi)星導(dǎo)航中心，北京 100094）

1 引言

在衛(wèi)星導(dǎo)航定位中需要不斷地計(jì)算出導(dǎo)航衛(wèi)星的瞬時(shí)坐標(biāo)和速度，而衛(wèi)星坐標(biāo)和速度是根據(jù)接收到的廣播星歷來(lái)計(jì)算的，而每次計(jì)算都需要占用大量?jī)?nèi)存，影響計(jì)算速度。衛(wèi)星在軌道上的位置和速度用星歷表示，具體形式可以是衛(wèi)星位置和速度的時(shí)間列表，也可以是一組以時(shí)間為引數(shù)的軌道參數(shù)。衛(wèi)星通過(guò)發(fā)布星歷參數(shù)為用戶(hù)提供實(shí)時(shí)定位、精確導(dǎo)航以及授時(shí)等服務(wù)；用戶(hù)根據(jù)提供的星歷參數(shù)由用戶(hù)終端設(shè)備按固定公式計(jì)算出的衛(wèi)星位置和速度稱(chēng)之為導(dǎo)航衛(wèi)星廣播星歷。當(dāng)然廣播星歷還包括其他一些如衛(wèi)星鐘等參數(shù)，這里只討論星歷中發(fā)播的軌道參數(shù)［1］。

廣播星歷是通過(guò)衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的測(cè)軌分系統(tǒng)外推軌道得到，隨著時(shí)間的推移，預(yù)報(bào)軌道會(huì)偏離實(shí)際軌道，導(dǎo)航和定位的精度降低，所以只能保證一定時(shí)間段內(nèi)的精度要求。隨著衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的不斷發(fā)展，對(duì)廣播星歷的精度和實(shí)時(shí)性提出了更高的要求，因此，如何快速、精確、方便地為用戶(hù)提供導(dǎo)航衛(wèi)星的位置和速度信息是衛(wèi)星導(dǎo)航定位應(yīng)用中的一個(gè)極其重要的問(wèn)題［2］。

2 新插值方法

考慮到提供給用戶(hù)的廣播星歷的精確性和實(shí)時(shí)性要求，廣播星歷應(yīng)是盡可能精確的提供衛(wèi)星軌道預(yù)報(bào)值，即考慮了衛(wèi)星所受的地心引力和各種攝動(dòng)力；廣播星歷參數(shù)能很好的擬合這些值，計(jì)算誤差應(yīng)盡量小，用戶(hù)利用廣播星歷參數(shù)計(jì)算衛(wèi)星位置的過(guò)程應(yīng)盡量簡(jiǎn)單。

為此，將導(dǎo)航衛(wèi)星星歷表示為某種特定的多項(xiàng)式（即將一定時(shí)間段內(nèi)的衛(wèi)星星歷擬合于選定的多項(xiàng)式），然后將多項(xiàng)式系數(shù)作為星歷參數(shù)廣播給用戶(hù)是一種可行的方式。目前在精密星歷數(shù)據(jù)處理中，應(yīng)用較多的是拉格朗日多項(xiàng)式插值，切比雪夫多項(xiàng)式在軌道擬合標(biāo)準(zhǔn)化中也由于其良好的插值精度有著廣泛的應(yīng)用［3－8］。

文獻(xiàn) ［9］提出了廣義延拓插值法的基本原理與方法，并對(duì)其精度進(jìn)行評(píng)價(jià)，但沒(méi)有探討3個(gè)參數(shù)的取值對(duì)插值結(jié)果的影響。本文采用廣義延拓插值法進(jìn)行導(dǎo)航衛(wèi)星廣播星歷的插值，探討了3個(gè)參數(shù)的取值與插值精度之間的關(guān)系。

3 廣義延拓插值原理

廣義延拓插值是在插值法和擬合法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一種插值方法。它一方面在分片邊界點(diǎn)上滿(mǎn)足插值條件，使得分片之間的變化具有一定的協(xié)調(diào)性；另一方面又利用分片插值區(qū)域的周?chē)?jié)點(diǎn)的信息，實(shí)現(xiàn)分片區(qū)域內(nèi)部的最佳擬合。

設(shè)函數(shù)u有一組離散數(shù)據(jù)

欲在區(qū)域Ω上構(gòu)造一個(gè)近似函數(shù)U滿(mǎn)足

將Ω劃分為m個(gè)互不重疊的子區(qū)域（e＝1，2，…，m），稱(chēng)作單元域Ωe，單元域共有r個(gè)節(jié)點(diǎn)，其相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為xi（i＝1，2，…，r），節(jié)點(diǎn)函數(shù)值為ui（i＝1，2，…，r）。將單元域拓展，得單元延拓域Ω′e。

設(shè)Ω′e內(nèi)有s個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中屬于Ωe的有r個(gè)節(jié)點(diǎn)（r＜s）。利用延拓域內(nèi)信息來(lái)構(gòu)造單元域內(nèi)逼近函數(shù)。

式（3）中，g1（x），g2（x），…，gt（x）為Ω′e上的一組基函數(shù)；ak（k＝1，2，…，t）為待定系數(shù)；t為逼近函數(shù)項(xiàng)數(shù)，且r＜t＜s。

利用最佳平方逼近，求a1，a2，…，at，使

同時(shí)，使Ue（x）滿(mǎn)足Ωe上的插值條件：

將兩式合并寫(xiě)成為

由式（6）解出逼近函數(shù)式（3）中的待定系數(shù)，便可確定Ωe上的插值函數(shù)。式（6）稱(chēng)為廣義延拓逼近方法的數(shù)學(xué)模型。

4 結(jié)果分析及應(yīng)用

本文中用美國(guó)國(guó)家大地測(cè)量機(jī)構(gòu)（national geodetic survey，NGS）提供的精密星歷來(lái)進(jìn)行廣義延拓插值計(jì)算，然后對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析。軌道擬合的效果受到多項(xiàng)式階數(shù)、擬合時(shí)段長(zhǎng)度等參數(shù)的影響，分析這些參數(shù)的影響以及參數(shù)間的關(guān)系對(duì)于更好地使用廣播星歷有一定的意義。

目前NGS精密星歷采樣間隔為15min 本文采用 NGS跟蹤站提供的2002－01－01PRN1衛(wèi)星15min等間隔的GPS精密星歷，利用廣義延拓插值法將15min間隔的數(shù)據(jù)插值到5min間隔，依次改變單元域節(jié)點(diǎn)數(shù)r、延拓域節(jié)點(diǎn)數(shù)s和逼近函數(shù)的項(xiàng)數(shù)t等3個(gè)參數(shù)的取值，組成多種組合，比較在取不同參數(shù)時(shí)插值的精度，分析參數(shù)和精度之間的關(guān)系，并與GPS精密星歷中的衛(wèi)星坐標(biāo)值進(jìn)行比較，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 插值結(jié)果與GPS精密坐標(biāo)比較

表1中給出了3個(gè)參數(shù)取得不同值時(shí)，廣義延拓插值結(jié)果與精密星歷坐標(biāo)的最大差值。可以看出，3個(gè)參數(shù)的取值和插值精度之間存在著一定的規(guī)律，當(dāng)3個(gè)參數(shù)取值較小時(shí)，插值誤差較大，r＝3，s＝5，t＝4時(shí)最大誤差可達(dá)到90m以上。隨著r，s，t等3個(gè)參數(shù)的增大，插值的精度不斷提高，在一定的范圍內(nèi)，精度保持穩(wěn)定，具有較高的精度。從表中數(shù)據(jù)可以看出，插值精度與參數(shù)s的關(guān)系最為密切，可以看到當(dāng)s大于10時(shí)才能得到較高的插值精度；而當(dāng)s的取值固定時(shí)，插值精度隨著t的變化而改變，t和s越接近，插值精度就越高，當(dāng)時(shí)，精度最高。一般地，當(dāng)s大于10后，再增加3個(gè)參數(shù)的值，插值精度基本保持穩(wěn)定，不會(huì)有明顯的變化，可以認(rèn)為r＝7，s＝11，t＝10即滿(mǎn)足需要。X、Y、Z的最大誤差為2.7mm2.1mm1.8mm 具有很高的精 度，達(dá)到毫米級(jí)。參數(shù)繼續(xù)增加時(shí)，計(jì)算量增加，插值精度反而不斷降低。

由以上可見(jiàn)用廣義延拓插值法是可以滿(mǎn)足導(dǎo)航定位精度的要求。對(duì)于精密廣播星歷來(lái)說(shuō)，如果采用r、s、t三個(gè)參數(shù)分別為7、11、10時(shí)，在廣播星歷播送時(shí)，只需要知道X、Y、Z三個(gè)方向上的系數(shù)，即t＝10時(shí)共計(jì)30個(gè)參數(shù)即可。

并且這30個(gè)參數(shù)可由主控站將衛(wèi)星在在地球協(xié)議坐標(biāo)系中的軌道直接擬合得到。用戶(hù)收到這30個(gè)精密廣播星歷參數(shù)后，應(yīng)用廣義延拓逼近多項(xiàng)式，可直接計(jì)算衛(wèi)星在地球協(xié)議坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)時(shí)刻的位置和速度，無(wú)需進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，物理意義明確，計(jì)算簡(jiǎn)單，速度快。

5 結(jié)論

通過(guò)以上數(shù)據(jù)計(jì)算統(tǒng)計(jì)的結(jié)果和分析，可以初步得出以下結(jié)論：

（1）用項(xiàng)數(shù)為10的廣義延拓逼近多項(xiàng)式逼近擬合衛(wèi)星軌道，將多項(xiàng)式系數(shù)作為導(dǎo)航衛(wèi)星精密星歷參數(shù)廣播，這是一種新的廣播星歷形式，導(dǎo)航定位終端利用這組星歷參數(shù)解算實(shí)時(shí)導(dǎo)航定位時(shí)的所需衛(wèi)星軌道，方法簡(jiǎn)單、快捷。

（2）利用這組星歷參數(shù)解算衛(wèi)星軌道，計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)潔，計(jì)算速度快，占用計(jì)算機(jī)內(nèi)存空間少、能滿(mǎn)足精度要求等優(yōu)點(diǎn)，但同時(shí)可能造成廣播星歷中信息的損失，還需要進(jìn)一步研究；同時(shí)對(duì)廣義延拓逼近多項(xiàng)式系數(shù)可根據(jù)實(shí)際精度需要進(jìn)行合理選擇。該方法在GPS定位測(cè)量中為實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星軌道標(biāo)準(zhǔn)化提供了一種較好的、行之有效的方法。

（3）這種方法是否適用于具有多種軌道類(lèi)型的導(dǎo)航衛(wèi)星系統(tǒng)還待研究，這對(duì)于我國(guó)具有多種軌道類(lèi)型共存的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)具有一定的參考價(jià)值。

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