應用型本科院校高等數學教材改革的思路和建議

韓慧蓉，張惠玲

(西安航空學院 理學院，陜西 西安710077)

1 研究現狀

20世紀90年代，由于國民經濟的快速發展、經濟結構的調整以及社會需求的變化，一大批應用型本科院校應運而生，到目前為止，數量已多達本科院校的三分之一，成為我國高校建設中一支不可或缺的力量。

然而，由于應用型本科院校在我國的發展歷史還相對較短，教材的編寫又是一件費時費力、十分繁雜的工作，對編寫者的要求較高，不僅要熟悉應用型本科院校的辦學模式和人才培養定位，還要熟悉教材內容、高瞻遠矚，更要了解學生的特點，否則很難編寫出針對性較強的教材，所以盡管已發行的高等數學的教材從種類到數量十分龐大，但是我們很難尋覓到一部較為權威的、普遍適用于應用型本科院校的、特色鮮明的教材。

2 教材建設的思路

2.1 與高中數學合理銜接

近年來，高中數學課改的幅度是比較大的，從教學理念、教學內容到教學方法都有比較大的變化。數學教學從傳授知識的傳統模式轉變到以激勵學習為特征的、以學生為中心的實踐模式。教學內容上刪去了排列組合、復數、極坐標等內容，三角函數內容也有較大削減，同時增加了計算方法、統計學、概率學的初步知識等[1]。而大學數學相對于高中數學，改革的步伐滯后了許多[2]。教學理念上還相對陳舊，許多現代數學思想沒有得到體現；教學內容上變化不大，特別是對高中數學的變化反應遲鈍，導致大學數學與高中數學教材內容脫節，教師不得不補充一些相關知識才能使教學內容銜接起來，降低了大學數學教學的效果。

高等數學教材是高中生升入大學的第一本大學數學教材，應結合中學數學課改的情況，從教學內容、教學思想上與高中數學合理銜接，充分考慮到科技進步與社會發展對大學數學提出的新要求，才能使學生更好地適應大學數學的學習。

2.2 增強教材的可讀性

高等數學課程在實行教學改革之前，其教學內容和課程體系基本上來源于五十年代初的前蘇聯。長期以來，受蘇聯教材影響，我們的數學教材過于注重理論嚴謹和條理清晰[3]，很多計算和證明以最完美的結果呈現出來，至于這個結果的思維過程，學生往往是看不到的，這就使得教材顯得過于生硬，嚴肅有余而活潑不足。學生自學課本往往感到看不懂，不愛看，問題多。

增強教材的可讀性主要應從以下幾個方面入手：

2.2.1 語言的可讀性

在這點上，國外一些教材做出了有益的嘗試，也取得了不錯的效果[4-6]。美國的微積分教材一般采用與讀者直接交談式的講解，語言親切，講解詳細明白，富有啟發性，別具特色。例如，James Stewart所著微積分教材中經常會出現這樣的語言：“我們猜想……但是這一次我們的猜測是錯誤的”，“這個定理看上去令人驚訝”等[7]。由著名數學家、美國麻省理工學院教授Gilbert Strang所著的《微積分》一書在講解時，摒棄了那種“定義—定理—證明—例題—應用”的枯燥無味的講解模式[8]，用口語化、課堂講授式、提問式的語言啟發讀者一步一步去思考和理解，激發了學生進一步求知的欲望，值得我們借鑒。

2.2.2 圖文并茂、直觀形象

講解定理、例題或概念時，盡量配以精確精美的幾何圖形，可以使學生在學習抽象的知識時先有一個感性的認識。這樣做符合學生的認知過程，還能極大地增強教材的可讀性和趣味性，增強學生的學習興趣。

2.2.3 不追求過分的系統性

國內教材由于主要脫胎于前蘇聯的相關教材，一般比較注重理論體系的完整和推理過程的嚴密。結構上環環相扣，從預備知識到概念引入，然后到性質定理和例題等。這樣做的好處是邏輯性強，十分嚴謹。但是很多有用的知識無法插入，如歐拉公式。很多知識的自然背景和思考過程是看不到的，直接呈現在課本上的就是抽象的概念、公式或結論，學生的學習過程往往是被動的。一般學生只能囫圇吞棗，少數優秀的學生學到后來才恍然大悟。

新加坡李秉彝教授編寫的微積分教材中許多重要的公式都以應用的方式出現[8]，采用由淺入深、由直觀到抽象、循環反復、層層深入的原則, 以完全新穎科學的方法安排了微積分中重要內容的出場順序，雖然系統性差些，但學生學起來有興趣且容易掌握。

2.3 增加實用性，選用新穎有趣的實例

如何解釋雨后彩虹的形成和它的位置？如何計算水壩所承受的壓力？怎樣分析生態系統中捕食者與被捕食者數量的周期性變化？怎樣推算火箭的逃逸速度？......高等數學的應用問題數量眾多[9]，非常有趣，在物理、幾何、建筑、金融、醫學、軍事等各個方面隨處可見。但我們的教材只是在導數應用和定積分的應用部分有少量涉及，很少觸及其他領域。而且這些問題多年不變，缺少時代氣息，與時俱進的少，解題過程往往比較抽象、枯燥、難以下手。教師也因為這些內容難教因而將應用簡化壓縮，考試題目中也往往不涉及，從而讓學生感覺不到解決實際問題的樂趣和數學的實用價值，學了不會用，甚至有的認為數學無用。所以如果我們在教材中增加一些與實際聯系緊密的應用問題，既能還數學來源于生活和實際的本來面貌，又能培養學生將數學知識應用于日常生活、工程技術、社會實踐的能力，成為培養創新型人才的一條重要途徑。

2.4 重視數學思想，降低證明和計算技巧性難度

2.4.1 降低概念講解和證明的難度

大學一年級學生接觸到的第一個最基本的概念是極限，如何處理極限的ε-δ定義在教學中是一個困難的問題。國內很多教材認為ε-δ能使學生對極限的概念有精確、深刻的認識，但是用ε-δ定義去證明很多結論卻增加了教材的難度。而有些教材為降低理解難度，僅用“無限趨近”等來描述極限，因此余下許多有關的極限定理只好回避ε-δ，使得學生對極限概念的理解比較膚淺。

龔昇教授所著《簡明微積分》中對極限的概念是分兩步驟[10]，第一章引入極限的概念僅用“無限趨近”，“無論預先給定怎樣小的正數”，“差的絕對值總小于預先給定的正數”等描述性語言，對極限的性質一律不講，接著學習連續、定積分、導數的概念，然后講微積分的運算與應用，直到第九章才引入ε-δ語言[10]，介紹數列極限和函數極限的定義和性質。這樣做的好處是，避免學生一開始就陷入對ε-δ語言的理解的困難中，也不影響后續概念的理解，在一定的數學素養的基礎上再介紹ε-δ語言，符合先易后難、循序漸進的認知規律。

一些定理或結論的證明可以適當降低難度，很直觀的結果可以不證，比較復雜的證明可以通過對簡單情況的證明加以說明即可[7]。數學本原問題是處理數學教學的靈魂，對于應用型本科的學生來說，重在對數學思想的理解和把握。蕭樹鐵先生在一份《高等數學》教學改革報告中要求：“講推理，更要講道理。”姜伯駒先生說：“在某種意義上說，會用微積分比會證明更重要。”

2.4.2 降低計算難度

目前，高等數學普遍存在著內容豐富與課時不斷減少的矛盾，存在著要增加近代數學知識與實際有用的問題擠占經典理論知識課時的矛盾。教師總是在抱怨課時不夠，而我們的學生把大量時間花費在學習一些無用的計算技巧上，像很多積分技巧，一般一個普通的工科專業的學生幾乎不會用到，即便是偶然用到，也已經有成熟的數學軟件了。

新加坡李秉彝教授編寫的微積分講解羅比達法則求極限時[8]，僅給出0/0型，∞/∞型，0·∞型，∞-∞型的五個例子，其余類型和各種演算技巧都不講；介紹積分方法時，僅介紹定積分的計算，不定積分的計算一帶而過。國內教材中，龔昇教授所著《簡明微積分》和西安交通大學馬知恩、王綿森教授所著《高等數學簡明教程》也對積分運算做了大量縮減[11]，體現了僅了解數學思想，計算技巧點到為止的教學理念。這給我們有益的啟示。

2.5 重視數值計算、將數學理論與計算機應用相 結合

國外的教材一般會花大量篇幅介紹與計算機結合的數值計算的思想和方法，能有圖形的例題通常都會提供圖形，如例題，求曲線y=ex/(1+x2)在點(1,e/2)的切線方程，先用數學運算，然后用計算機作圖，兩者結論相互比較相互印證。牛頓法、辛普森法則等使用計算機可以非常便捷得到初值和最優解。積分應用中大量地提供用數學軟件繪制的精美立體、賞心悅目的圖形[7]，這使學生感受到了數形結合之美，還開闊了思維，降低了理解的難度，可以節約時間深入思考理論和更復雜的例子，更容易應用到真正的實踐問題中，也符合計算機應用越來越廣泛的趨勢[12]。

國內教材目前在這方面體現的較少，對數值計算與數學軟件的應用雖有涉及，但是由于課時限制、軟件工具的使用還不普及等因素的影響，純粹手工計算很繁瑣，考試內容又很少涉及，所以往往重視程度不夠，而這一點在工程問題中卻恰好是至關重要的。

3 結語

高等數學教材的改革要想有所突破，一是需要我們轉變觀念，汲取國內外優秀教材中有益的東西, 在教學過程中做一些改革和嘗試。二是改革的步子要加快，盡快與中學課改和現代計算機迅猛發展結合起來。三是教學方式從傳授知識的傳統模式轉變到以激勵學習為特征的、以學生為中心的實踐模式。四是注重學生綜合能力的培養,加強應用研究，調動學生自主解決問題的意識和能力，培養學生參與解決問題的全過程[13]，只有這樣我們才能培養出合格的有創新能力和有創造力的優秀工程師。

[1] 廖小蓮，陳國華，蔣馨初.基于高中課改形勢下的地方本科院校高等數學教學改革[J].當代教育理論與實踐，2011(10)：99-101.

[2] 薛有才.基于高中數學課改的大學數學課程體系改革[J].浙江科技學院學報，2011(2)：63-66.

[3] 馮良貴.關于高等數學教學改革的幾點認識[J].工科數學，2002(10)：62-65.

[4] 曲峰林，張青.美國高校中微積分教材的特點與我國高校微積分教材建設[J].高等函授學報，2010(8)：14-15.

[5] 魏戰線.一本美國微積分教材簡介及高等數學教材改革初探[J].工科數學，1992(4)：122-124.

[6] Finney，Weir，Giordano.Thomasca lculus[M].葉其孝，王耀東，唐兢，譯.北京：高等教育出版社，2003：85-203.

[7] James Stewart.Calculus：Early Transcendentals[M].白峰杉，譯.北京：高等教育出版社，2004：102，111，456-474.

[8] 林熙.從李秉彝教授的微積分教材看國內工科少學時高數教材的改革[J].工科數學，1994(8)：85-88.

[9] 郭鏡明，韓云瑞，章棟恩，等.美國微積分教材精粹選編[M].北京： 高等教育出版社，2012：295-357.

[10] 龔昇.簡明微積分[M].北京： 高等教育出版社，2006：1-33,358-393.

[11] 馬知恩，王綿森.高等數學簡明教程[M].北京：高等教育出版社，2012：189-220.

[12] 葉賽英，胡月.國內外兩本微積分教材的比較與啟示[J].大學數學，2007(2)：187-190.

[13] 田堅.工科本科《高等數學》教學內容改革的研究[J].重慶工業管理學院學報，1996(12)：94-96.